Der schwere symmetrische Kreisel

Wir wenden uns nun der Bewegung eines symmetrischen Kreisels unter Einfluß des homogenen Schwerefeldes zu, der in einem Punkt auf der Figurenachse aber nicht im Schwerpunkt befestigt ist. Dann legen wir den Ursprung des raum- und körperfesten Bezugssystems zusammen, so daß $\vec{a}=0$ , d.h. vermöge (3.6.2) $\vec{x}_{\alpha}=\vec{r}_{\alpha}$ . Da der Schwerpunkt aus Symmetriegründen auf der Figurenachse liegt, ist $\vec{s}=s \vec{f}=s \vec{e}_3'$ und mit (3.6.13) und (3.6.50) erhalten wir die potentielle Energie zu

$$V=-\bvec{g} \sum_{\alpha} \bvec{r}_{\alpha}=-M \bvec{g} \bvec{s}=M g s \cos \vartheta,$$ (3.6.57)

wobei wir die raumfeste $3$ -Achse senkrecht nach oben gelegt haben, so daß $\vec{g}=-g \vec{e}_3$ ist. Zusammen mit (3.6.41) folgt für die Lagrangefunktion

$$L=\frac{1}{2} \op{\omega}'{}^t \op{\Theta}' \op{\omega}'+V = \fra... ...t{\varphi}+\dot{\psi} \cos \vartheta \right)^2 \right ] - M g s \cos \vartheta.$$ (3.6.58)

Die Symmetrien des Problems ergeben wieder die drei ersten Integrale, die wir schon beim freien symmetrischen Kreisel erhalten haben: $\psi$ und $\varphi$ sind zyklisch, entsprechend der Symmetrie unter Rotationen um die raumfeste $3$ -Achse (also die Richtung von $\vec{g}$ ) bzw. um die körperfeste $3'$ -Achse, also die Figurenachse $\vec{f}$ . Außerdem ist die Gesamtenergie erhalten, weil $L$ nicht explizit von der Zeit abhängt. Wir haben also wieder die Erhaltungsgrößen

$$p_{\psi}=\frac{\partial L}{\partial{\dot{\psi}}} = A \dot{\psi} \sin^2 \vartheta + C (\dot{\varphi}+\dot{\psi} \cos \vartheta) \cos \vartheta$$ (3.6.59)

$$p_{\varphi}=\frac{\partial L}{\partial{\dot{\varphi}}}=C(\dot{\varphi}+\dot{\psi} \cos \vartheta),$$ (3.6.60)

$$E=T+V=\frac{1}{2} \left [ A \left (\dot{\psi}^2 \sin^2 \vartheta ... ...t{\varphi}+\dot{\psi} \cos \vartheta \right)^2 \right ] + M g s \cos \vartheta.$$ (3.6.61)

Freilich können wir nun nicht mehr wie im Anschluß an (3.6.45) auf die Erhaltung des Gesamtspins schließen, da nun $\vec{g}$ eine Richtung im Raume auszeichnet und folglich nur noch Rotationen um diese Achse eine Symmetrie des Systems darstellen, nicht mehr jedoch beliebige Drehungen um den Drehpunkt.

Wir können aber die Integration der Bewegungsgleichungen nach dem Standardschema des Hamiltonformalismusses vornehmen. Dazu substituieren wir in (3.6.61) $\dot{\psi}$ und $\dot{\varphi}$ durch die erhaltenen kanonischen Impulse (3.6.59) und (3.6.60):

$$E=\frac{1}{2} \left [\frac{A}{2} \dot{\vartheta}^2 + \frac{(p_{\p... ...2A \sin^2 \vartheta} + \frac{p_{\varphi}^2}{2C} \right] + M g s \cos \vartheta.$$ (3.6.62)

Dies können wir nach $t$ auflösen. Nach Substitution $u=\cos \vartheta$ erhalten wir

$$t-t_0=\pm \int_{\vartheta_0}^{\vartheta} \dd u \frac{A}{\sqrt{2 A... ...u^2) - (A/C) p_{\varphi}^2(1-u^2) - (p_{\psi}- p_{\varphi} \cos \vartheta)^2}}.$$ (3.6.63)

Auflösen nach $\vartheta$ ergibt wieder eine elliptische Funktion. Dabei ist das Vorzeichen der Wurzel nach dem bei Schwingungen üblichen Verfahren zu wählen: Für physikalisch sinnvolle Anfangsbedingungen muß nämlich $u$ im Intervall $[-1,1]$ zwei reelle Nullstellen $u_{1,2}$ haben, zwischen denen das Argument der Wurzel positiv ist. Zwischen den entsprechenden Winkeln $\vartheta_{1,2}$ schwingt dann die Figurenachse relativ zur $3$ -Achse hin und her. Dies bezeichnet man als Nutationsbewegung. Aus (3.6.59) und (3.6.60) folgt

$$\dot{\psi}=\frac{p_{\psi}-p_{\varphi} \cos{\vartheta}}{A \sin^2 \vartheta}.$$ (3.6.64)

Betrachtet man die Bewegung der Spitze des Einheitsvektors $\vec{f}$ , besagt dies, daß sich die Figurenachse unter den der Nutationsbewegung entsprechenden Schwankungen entweder vorwärtsbewegt, falls $\dot{\psi}$ stets ein Vorzeichen besitzt oder auch teilweise rückläufig sein kann, falls $\dot{\psi}$ das Vorzeichen wechselt. Diese Bewegung bezeichnet man als Präzession.

Ein Spezialfall liegt vor, wenn $\vartheta=$const (aber von 0 und $\pi$ verschieden) ist, also $\vartheta_1=\vartheta_2$ eine Nullstelle zweiter Ordnung ist. Dann ist gemäß (3.6.64) auch $\dot{\psi}=$const und damit wegen (3.6.60) auch $\dot{\varphi}$ . Dies bezeichnet man als reguläre Präzession.

Wir analysieren nun noch zwei Spezialfälle, die wir näherungsweise analytisch behandeln können.