Pseudoreguläre Präzession

Als erstes denken wir uns den Kreisel zu Anfang in schnelle Rotation um die Figurenachse versetzt und dann mit der Figurenachse um einen Winkel $\vartheta=\vartheta_0$ (mit $\vartheta_0 \neq 0,\pi$ ) gegen die $3$ -Richtung gekippt ohne weiteren Anstoß auf seine Spitze gesetzt. Dann haben wir die Anfangsbedingungen

$$\vartheta(0)=\vartheta_0, \quad \psi(0)=\varphi(0)=0, \quad \dot{\varphi}(0)=\omega_0, \quad \dot{\psi}(0)=\dot{\vartheta}(0)=0.$$ (3.6.65)

Wir nehmen nun an, daß

$$\vartheta=\vartheta_0+\epsilon$$ (3.6.66)

mit $\vert\epsilon\vert \ll 1$ . Wir wollen dann die Bewegungsgleichungen nach kleinen Größen in $\epsilon$ entwickeln. Wir werden noch genauer zu spezifizieren haben, in welchen Fällen die Näherung anwendbar ist. Aus den Anfangsbedingungen und (3.6.59)-(3.6.61) folgt

$$p_{\psi}=C \omega_0 \cos \vartheta_0, \quad p_{\varphi}=C \omega_0, \quad E=\frac{p_{\varphi}^2}{2C}+M g s \cos \vartheta_{0}.$$ (3.6.67)

Wir betrachten die Energie in der Form (3.6.62), setzen (3.6.66) ein und entwickeln bis zur zweiten Ordnung in $\epsilon$ . Dann folgt

$$\frac{A}{2} \dot{\vartheta}^2=\frac{A}{2} \dot{\epsilon}^2=M g s ... ...rtheta_0-\frac{C^2 \omega_0^2}{A} \right) \epsilon^2 + \mathcal{O}(\epsilon^3).$$ (3.6.68)

Ableiten dieser Gleichung nach der Zeit und Division durch $\dot{\epsilon}$ ergibt schließlich die Differentialgleichung

$$\ddot{\epsilon}=\Omega^2(a-\epsilon),$$ (3.6.69)

wobei wir

$$\Omega^2=\frac{C^2 \omega_0^2}{A}-M g s \cos \vartheta_0, \quad a=\frac{M g s \sin \vartheta}{\Omega^2}$$ (3.6.70)

gesetzt haben. Offensichtlich bleibt $\epsilon$ nur klein, wenn $\Omega^2>0$ . Die allgemeine Lösung lautet dann nämlich

$$\epsilon(t)=c_1 \cos(\Omega t+c_2)+a.$$ (3.6.71)

Mit den Anfangsbedingungen $\epsilon(0)=\dot{\epsilon}(0)=0$ ist schließlich

$$\epsilon(t)=a[1-\cos(\Omega t)].$$ (3.6.72)

Die Näherung ist also gerechtfertigt, wenn $\vert a\vert \ll 1$ , und das ist offenbar erfüllt, wenn

$$M g s \ll \frac{C^2 \omega_0^2}{A}.$$ (3.6.73)

Das bedeutet, daß die potentielle Energie der Schwerkraft sehr viel kleiner sein muß als die anfängliche Rotationsenergie.

Entwickeln wir nun (3.6.64) unter Verwendung von (3.6.67) bis zur linearen Ordnung in $\epsilon$ , erhalten wir

$$\dot{\psi}=\frac{C \omega_0}{A \sin \vartheta_0} \epsilon+\mathcal{O}(\epsilon^2).$$ (3.6.74)

Setzen wir hierin (3.6.72) ein, finden wir durch Integration unter Verwendung der Anfangsbedingungen (3.6.65)

$$\psi(t)=\frac{C \omega_0 a}{A \sin \vartheta_0} \left [t-\frac{\sin(\Omega t)}{\Omega} \right].$$ (3.6.75)

Das bedeutet, daß der Kreisel dem Drehmoment aufgrund der Gravitationskraft ,,ausweicht``, indem die Figurenachse um die $3$ -Achse präzediert, d.h. der Kreisel weicht senkrecht zum angewandten Drehmoment aus. Diese Präzession erfolgt zwar nicht mit konstanter Winkelgeschwindigkeit, aber für $t \gg 1/\Omega$ fallen die dann relativ dazu kleinen schnellen Schwingungen nicht mehr sonderlich auf, so daß die Bewegung fast wie eine reguläre Präzession erscheint. Man spricht daher von pseudoregulärer Präzession. Ebenso erhalten wir

$$\dot{\varphi}=\omega_0-\frac{C \omega_0 \cot \vartheta_0}{A} \epsilon + \mathcal{O}(\epsilon^2)$$ (3.6.76)

mit der Lösung

$$\varphi(t)=\omega_0 t - \frac{C \omega_0 a \cot \vartheta_0}{A} \left [t-\frac{\sin(\Omega t)}{\Omega} \right].$$ (3.6.77)