Das spezielle Relativitätsprinzip

Wir folgen in der Betrachtung zum speziellen Relativitätsprinzip [BG69], machen jedoch die vereinfachende Annahme, daß die zur Raumzeit zusammengefaßte Struktur von Raum und Zeit eine differenzierbare Mannigfaltigkeit sein soll, denn wir gehen davon aus, daß die physikalischen Grundgesetze sich durch Differentialgleichungen ausdrücken lassen.

Ebenso schränken wir die Symmetriegruppe der Raumzeit auf die Zusammenhangskomponente mit der Gruppenidentität ein, denn dies ist die physikalisch plausibelste Symmetriegruppe. Die diskreten Transformationen der Raumspiegelung und der ,,Zeitumkehr`` sind nicht notwendig Symmetrien der physikalischen Gesetze, und in der Tat zeigt sich, daß die Raumspiegelungen mit Sicherheit keine Symmetrie der Naturgesetze sind, denn die schwache Wechselwirkung verletzt die Paritätserhaltung, welche unmittelbare Folge der Raumspiegelsymmetrie ist.

Im Rahmen der lokalen Quantenfeldtheorie, die dem überaus erfolgreichen Standardmodell der Elementarteilchen zugrundeliegt, ist die sogenannte CPT-Invarianz Folge der Invarianz unter stetig aus der Identität deformierbaren Poincaré-Transformationen, d.h. beobachtet man einen physikalischen Vorgang, so muß es auch den entsprechenden CPT-gespiegelten Vorgang geben, d.h. ersetzt man alle Teilchen durch Antiteilchen (C-Spiegelung oder Ladungskonjugation), invertiert den Raum (P-Spiegelung oder Raumspiegelung) und kehrt den Zeitpfeil um (T-Spiegelung oder Bewegungsumkehr), muß sich wieder ein in der Natur möglicher Vorgang ergeben.

Nun weiß man, daß die schwache Wechselwirkung nicht nur die Raumspiegelungssymmetrie bricht, sondern auch die CP-Symmetrie, d.h. die aus einer Ladungskonjugation und Raumspiegelung zusammengesetzte Transformation. Da CPT aber eine Symmetrie sein muß, wenn die lokale Quantenfeldtheorie korrekt ist, muß auch die Zeitumkehrinvarianz durch die schwache Wechselwirkung verletzt sein.

Es erscheint aufgrund dieser Argumentation gerechtfertigt, Invarianz nur unter stetig mit der Identität zusammenhängenden Raumzeittransformationen zu verlangen.

(1)

Wir gehen im folgenden davon aus, daß es eine Standarduhr gibt. Darunter stellen wir uns ein von äußeren Einflüssen weitestgehend unabhängiges periodisch funktionierendes System vor, welches mit einer als konstant anzusehenden Frequenz ,,Zeitticks`` aussendet, d.h. daß es immer und überall für einen relativ zu ihm ruhenden Beobachter in exakt gleichen Zeitabständen einen solchen ,,Zeittick`` aussendet.

Es ist dabei zu beachten, daß dies zunächst jedes System sein kann. Ohne den Bezug zu anderen physikalischen Vorgängen, insbesondere zur Bewegung von Körpern, können wir die Korrektheit der Annahme der Existenz einer Standarduhr nicht experimentell feststellen, d.h. die Idee von der universellen Uhr muß sich im weiteren Verlauf unserer Formulierung noch als mit der Erfahrung in hinreichender Übereinstimmung befindlich erweisen.

Wir bemerken hier nur schon im voraus, daß wir nach dem Standardmodell der Elementarteilchen davon ausgehen, daß mit den von Atomen bei elektronischen Übergängen zwischen Energieniveaus ausgesandten elektromagnetischen Wellen solche Standarduhren zu jeder Zeit und an jedem Ort (wenigstens prinzipiell) verfügbar sind. Wir postulieren dann, daß durch relativ zueinander ruhende an beliebigen Orten befindliche Beobachter mit Standarduhren gemessene Zeitabstände gleich sind.

In der Tat wird im Internationalen Einheitensystem (Systéme International oder kurz SI) die Zeit durch die Frequenz der Strahlung eines bestimmten atomaren Übergangs von Cäsiumatomen definiert. Es stellt das genaueste Einheitennormal im SI überhaupt dar.

Ebenso nehmen wir an, es gäbe einen Einheitsmaßstab. Auch dieser kann nach derzeitigem Kenntnisstand durch die Atome als mit hinreichender Genauigkeit realisiert gedacht werden.

Wir werden unten sehen, daß im Rahmen des relativistischen Raumzeitmodells eine universelle Grenzgeschwindigkeit existiert, deren Zahlenwert mit einer Einheitszeit auch eine Einheitslänge notwendig festlegt.

(2)

Es existiert ein Inertialsystem, d.h. es existiert ein Bezugssystem derart, daß für einen relativ zu diesem ruhender Beobachter ein Teilchen, das keinerlei Wechselwirkungen ausgesetzt ist, sich geradlinig gleichförmig bewegt oder in Ruhe verharrt.

Für einen relativ zu einem solchen Bezugssystem ruhenden Beobachter gelten hinsichtlich der Lage- und geometrischen Eigenschaften die Gesetze der Euklidischen Geometrie. Insbesondere existiert eine universelle Längeneinheit, die sich unverändert von einem Ort zu jeden anderen Ort transportieren läßt und die Länge von Strecken an ruhenden Körpern im Sinne der euklidischen Geometrie gemessen werden können. Der Raum für einen bzgl. eines Inertialsystem ruhenden Beobachter ist also ein affin-euklidisches Kontinuum.

Allgemein ist ein Inertialsystem $K$ durch eine in ihm ruhende Standarduhr, die durch ihre ,,Ticks`` die Systemzeit $t$ festlegt und durch ein kartesisches Koordinatensystem, das durch die Befestigung dreier aufeinander senkrecht stehender Einheitsmaßstäbe in einem beliebigen Punkt des Raumes realisiert gedacht werden kann, so daß jeder Punkt im Raum durch die Angabe der Komponenten $\bvec{x}$ des Ortsvektors $\vec{x}$ bzgl. dieses Koordinatensystems lokalisiert werden kann. Wir schreiben für ein solches Bezugssystem kurz $K(t,\bvec{x})$ .

(3)

Das spezielle Relativitätsprinzip postuliert nun, daß alle Naturgesetze in allen durch die Annahmen (1)-(2) axiomatisch begründeten Inertialsystemen gleich sind, d.h. daß die Gleichungen, welche diese Naturgesetze beschreiben, invariant bei Transformationen von einem Inertialsystem in ein beliebiges anderes sein müssen.

(4)

Die Zeit definiert die Kausalstruktur des Geschehens eindeutig, d.h. finden zwei Ereignisse für einen bzgl. $K(t,\bvec{x})$ ruhenden Beobachter am gleichen Ort zu verschiedenen Zeiten $t_1<t_2$ statt, so gilt für die Zeitkoordinaten eines beliebigen Beobachters, der in einem anderen Inertialsystem $K'(t',\bvec{x}')$ ruht, $t_1'<t_2'$ .

Wir wollen nun die Transformationsregeln zwischen den auf Inertialsysteme bezogenen Koordinaten aus diesen allgemeinen Annahmen herleiten.

Zunächst ist es für all unsere Untersuchungen nützlich, die Raum-Zeit als einen vierdimensionalen affinen Vektorraum aufzufassen, der allerdings nicht notwendig mit einer Metrik ausgestattet zu sein braucht. Wir numerieren die Komponenten solcher Vierervektoren mit oberen Indizes durch, was sich insbesondere im relativistischen Kontext sehr bewähren wird. Wir schreiben also für Zeit- und Raumkoordinaten von zwei Inertialsystemen $K(t,\bvec{x})$ und $K'(t',\bvec{x}')$ kurz

$$(x^{\mu})=(t,\bvec{x})^t=(t,X,Y,Z)^t, \quad (x'{}^{\mu})=(t',\bvec{x}')^t=(t',X',Y',Z')^t.$$ (4.1.1)

Wegen des speziellen Relativitätsprinzips muß nun ein im Inertialsystem $K$ gleichförmig bewegter Massenpunkt auch bzgl. des Inertialsystems $K'$ gleichförmig bewegt sein, d.h. es muß für die Bahn $\bvec{y}(t)$ bzw. $\bvec{y'}(t')$ bzgl. $K$ und $K'$ stets gelten

$$\frac{\d^2 \bvec{y}(t)}{\d t^2}=0 \Leftrightarrow \frac{\d^2 \bvec{y}'(t')}{\d t'{}^2}=0.$$ (4.1.2)

Wir können nun gemäß Postulat (1) einem jeden Körper eine relativ zu ihm ruhende Standarduhr zugeordnet denken, welche seine Eigenzeit $\tau$ definiert.

Bewegt sich nun der Körper bzgl. des Inertialsystems $K$ geradlinig gleichförmig, stellt gemäß Postulat (1) und dem Relativitätsprinzip jeder bzgl. dieses Bezugssystems ruhende Beobachter relativ zu seiner Uhr fest, daß die relativ zum Teilchen ruhende Standarduhr Ticks in einem gleichmäßigen Zeitabstand aussendet, der wegen der Homogenität und Isotropie des Raumes nur vom Betrag der Geschwindigkeit des Körpers relativ zu ihm abhängen kann. Das bedeutet aber, daß die Systemzeit proportional zur Eigenzeit des Teilchens sein muß. Wir können also ganz allgemein (4.1.2) auf die Eigenzeit des Teilchens umschreiben:

$$\frac{\d^2 y^{\mu}}{\d \tau^2}=0 \; \Leftrightarrow \; \frac{\d^2 y'{}^{\mu}}{\d \tau^2}=0.$$ (4.1.3)

Da nun die Raum-Zeit-Koordinaten $y'{}^{\mu}$ des Körpers bzgl. $K'$ umkehrbar eindeutige Funktionen der Raum-Zeit-Koordinaten $y^{\mu}$ des Körpers bzgl. $K$ sein müssen, gilt aufgrund der Kettenregel:

$$\frac{\d^2 y'{}^{\mu}}{\d \tau^2}=\frac{\partial ^2 y'{}^{\mu}}{\... ...artial y^{\sigma}} \frac{\d y^{\rho}}{\d \tau} \frac{\d y^{\sigma}}{\d \tau}=0.$$ (4.1.4)

Dabei wenden wir hier und im folgenden die Einsteinsche Summenkonvention an, derzufolge über gleichnamige Raum-Zeit-Indizes von 0 bis $3$ zu summieren ist. Dabei haben wir schon benutzt, daß der Körper bzgl. $K$ und wegen (4.1.3) damit auch bzgl. $K'$ gleichförmig bewegt sein muß.

Die allgemeine Transformationsformel muß folglich affin linear sein, d.h. es existiert eine reelle invertierbare $4 \times 4$ -Matrix $\Lambda$ und ein reeller Spaltenvierervektor $a$ , so daß

$$x'=\Lambda x+a,$$ (4.1.5)

bzw. mit der Summenkonvention in Komponenten geschrieben,

$$x'{}^{\mu} = {\Lambda^{\mu}}_{\nu} x^{\nu}+a^{\mu}$$ (4.1.6)

gilt.

Wir müssen nun die genaue Gestalt der Matrix $\Lambda$ ermitteln. Dabei kommt uns zuhilfe, daß gemäß Postulat 2 ein jeder bzgl. eines Inertialsystems ruhender Beobachter den Raum als affin-euklidisches Kontinuum wahrnimmt.

Wir werden nun zunächst die Bestimmung der Transformationsmatrix $\Lambda$ auf den speziellen Fall zurückführen, daß zur Zeit $t=0$ die Achsen der beiden räumlichen Koordinatensysteme parallel zueinander ausgerichtet sind und sich der Ursprung des Systems $K'$ gegenüber dem System $K$ in Richtung der $x$ -Achse mit der Geschwindigkeit $v$ bewegt.

Offensichtlich muß dazu nur das räumliche kartesische Koordinatensystem in $K$ zur Zeit $t$ so gewählt werden, daß sich der Ursprung von $K'$ in Richtung der neuen $x$ -Achse bewegt. Dies kann durch eine geeignete Drehung erfolgen, die durch zwei Winkel eindeutig bestimmt ist.

Das läßt sich leicht wie folgt zeigen. Es sei $\bvec{v} \neq 0$ der Geschwindigkeitsvektor des Ursprungs von $K'$ , gemessen in $K$ . Dieser läßt sich mit Hilfe zweier Winkel $\varphi \in [0,2 \pi)$ und $\vartheta \in [0,\pi)$ wie folgt charakterisieren:

$$\bvec{v}=v \begin{pmatrix}\cos \;\vartheta \ \sin \varphi \; \sin \vartheta \ \cos \varphi \; \sin \vartheta \end{pmatrix}$$ (4.1.7)

Diesen Vektor können wir offenbar durch die orthogonale Transformation

$$\D(\varphi,\vartheta)=\begin{pmatrix}\cos \vartheta & \sin ... ...artheta \; \sin \varphi & \cos \varphi \; \sin \vartheta \end{pmatrix}$$ (4.1.8)

in die gewünschte Ausrichtung bringen:

$$\D(\varphi,\vartheta) \bvec{v}=\begin{pmatrix}v \ 0 \ 0 \end{pmatrix}.$$ (4.1.9)

Dies können wir uns freilich dadurch realisiert vorstellen, daß ein bzgl. $K$ ruhender Beobachter einfach neue kartesische Basisvektoren aus den bisherigen erzeugt, indem er auf diese die Umkehrmatrix $\D^{-1}(\varphi,\vartheta)$ anwendet. Bzgl. der neuen Basisvektoren besitzt dann der Geschwindigkeitsvektor des Ursprungs von $K'$ gerade die Komponenten (4.1.9).

Ebenso können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, daß der Beobachter in $K'$ zum einen den Zeitnullpunkt seiner Uhr und den Ursprung seines räumlichen kartesischen Koordinatensystems so wählt, daß $t'=0$ und $\bvec{x}'=0$ mit dem Ursprung der Raumzeitkoordinaten bzgl. $K$ übereinstimmen. Es sei weiter angenommen, daß der Beobachter in $K'$ seine Koordinatenachsen durch Drehung so orientiert, daß sie zur Zeit $t'=0$ parallel zu den Achsen des in $K$ gewählten Bezugssystems zu liegen kommen. Das läßt sich etwa durch drei Eulerwinkel $\psi$ , $\chi$ und $\lambda$ parametrisieren, was auf die Drehmatrix $\D'(\psi,\chi,\lambda)$ führen möge.

Die Drehungen können wir uns in die vierdimensionale Schreibweise integriert denken, daß wir sie einfach als unteres rechtes $3 \times 3$ -Kästchen einer $4 \times 4$ -Matrix geschrieben denken, und ${\Lambda^0}_0=1$ sowie ${\Lambda^0}_{j}={\Lambda^j}_0=0$ für $j \in \{1,2,3 \}$ setzen.

Dann können wir schreiben

$$\Lambda=\D'(\psi,\chi,\lambda) _1(v) \D(\varphi,\vartheta).$$ (4.1.10)

Hierbei ist $B_1$ nun die einzige noch unbestimmte Matrix, die die gleichförmig geradlinige Bewegung eines Systems $K'$ mit der Geschwindigkeit $v$ entlang der $x$ -Achse des Koordinatensystems $K$ beschreibt, wobei die Achsen zur Zeit $t=0$ parallel ausgerichtet sind. Durch die Wahl des Zeit- und Raumkoordinatenursprungs durch den Beobachter in $K'$ ist also für diesen Spezialfall

$$x'=B_1(v) x.$$ (4.1.11)

Der Koordinatenursprung von $K'$ ist nunmehr durch $\bvec{x}'=0$ gekennzeichnet. Durch Ableiten der sich daraus ergebenen Bahnkurve $\bvec{x}(t)$ nach $t$ muß sich der konstante Geschwindigkeitsvektor $(v,0,0)$ ergeben, so daß zu allen Zeiten also $y'=y$ und $z'=z$ gelten muß.

Gl. (4.1.11) besitzt also die Gestalt

$$\begin{pmatrix}t' \ X' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}A & B \ C & D \end{pmatrix} \begin{pmatrix}t \ X \end{pmatrix}, \quad Y'=Y, \quad Z'=Z.$$ (4.1.12)

Außerdem muß, weil ja der Koordinatenursprung von $K'$ durch $\bvec{x}'=0$ definiert ist und dieser sich bzgl. $K$ mit der Geschwindigkeit $(v,0,0)^t$ bewegen soll,

$$v=-C/D$$ (4.1.13)

gelten. Unsere Transformation (4.1.12) liest sich also nunmehr wie folgt

$$\begin{pmatrix}t' \ X' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}A & B \ -v D & D \end{pmatrix} \begin{pmatrix}t \ X \end{pmatrix} .$$ (4.1.14)

Es ist klar, daß $A$ , $B$ und $D$ Funktionen von $v$ sind, und diese gilt es nun zu bestimmen.

Als nächstes beweisen wir dazu das sog. Reziprozitätsgesetz, demzufolge die Geschwindigkeit des Systems $K'$ gegenüber $K$ gerade $-v$ sein muß.

Die gesuchten Transformationen $B_1(v)$ müssen in ihrer Gesamtheit eine Gruppe bilden, denn transformiert man von einem Inertialsystem $K$ in ein Inertialsystem $K'$ und von diesem in ein weiteres System $K''$ , so muß die Komposition beider Transformationen, welche direkt von $K$ nach $K''$ führt, aufgrund des Relativitätsprinzips wieder vom gleichen Typ sein, d.h. die Funktionen $A(v)$ und $B(v)$ gelten für alle Boosts in $X$ -Richtung. Die Inertialsysteme sind vollständig durch die Geschwindigkeit $v$ bestimmt. Analoges gilt für die Umkehrtransformation, welche von $K'$ zurück nach $K$ transformiert, d.h. für dieselben Funktionen $A$ und $B$ gibt es eine Geschwindigkeit $\bar{v}$ , so daß

$$\begin{pmatrix}t \ X \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}A(\bar{v}) & ... ...v} D(\bar{v}) & D(\bar{v}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix}t' \ X' \end{pmatrix}.$$ (4.1.15)

Andererseits ist aber die Geschwindigkeit von $K$ bzgl. $K'$ , die wir mit $\bar{v}$ bezeichnet haben, auch durch (4.1.14) bestimmt. Setzen wir nämlich $X=0$ , folgt sofort, daß

$$\bar{v}=-\frac{D(v)}{A(v)} v:=\varphi(v).$$ (4.1.16)

Umgekehrt folgt aus (4.1.15), daß

$$v=\varphi(\bar{v})$$ (4.1.17)

zu gelten hat, d.h. für alle zulässigen Geschwindigkeiten $v$ zwischen Inertialsystemen muß die Eigenschaft

$$\varphi(\varphi(v))=v$$ (4.1.18)

gelten.

Wegen (4.1.18) müssen nun der Definitionsbereich und der Bildbereich von $\varphi$ übereinstimmen, $\varphi$ insbesondere also surjektiv sein. Weiter muß $\varphi$ auch injektiv sein, denn aus $\varphi(v_1)=\varphi(v_2)$ folgt wegen (4.1.18) zwangsläufig $v_1=v_2$ .

Wir gehen weiter davon aus, daß der Definitionsbereich von $\varphi$ zusammenhängend ist, d.h. es muß sich um ein symmetrisches Intervall um $v=0$ oder ganz $\R$ handeln. Weiter nehmen wir an, $\varphi$ sei stetig, d.h. die Transformationen gehen allesamt durch eine stetige Abbildung aus $v=0$ hervor. Dann ist aber $\varphi$ notwendig streng monoton. Angenommen, es ist $\varphi(v)=\bar{v}<v$ und $\varphi$ strikt monoton wachsend. Dann muß gelten $v=\varphi(\bar{v})<\varphi(v)=\bar{v}$ , d.h. $v=\varphi(v)$ . Wegen (4.1.16) muß dann $A(v)/D(v)=-1$ sein. Wegen des Kausalitätsprinzips (4) muß allemal $A(v)>0$ gelten, so daß dann also $D(v)=-A(v)<0$ sein muß. Dies impliziert eine Umorientierung der räumlichen Richtung, in der der ,,Boost`` erfolgt. Wir hatten aber durch unsere Drehung gerade erreicht, daß die Achsen gleich orientiert sein sollten. Wir schließen diesen Fall also zunächst aus^4.1.

Wir müssen also verlangen, daß $\varphi$ strikt monoton fällt. Dann ist aber $(-\varphi)$ strikt monoton wachsend und erfüllt auch sonst alle Eigenschaften wie $\varphi$ . Also muß aufgrund der soeben durchgeführten Betrachtung $-\varphi(v)=v$ oder

$$\varphi(v)=-v$$ (4.1.19)

sein. Damit ist aber wegen (4.1.16)

$$A=D.$$ (4.1.20)

Die Transformation erweist sich also bislang als von der Form

$$\begin{pmatrix}t' \ X' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}D & B \ -v D & D \end{pmatrix} \begin{pmatrix}t \ X \end{pmatrix}.$$ (4.1.21)

Wir betrachten nun die Hintereinanderausführung zweier Boosts $B_1(v') B_1(v)$ . Die erste Transformation führt wie bisher von $K$ nach $K'$ (Geschwindigkeit $v$ ) und die zweite von $K'$ nach $K''$ (Geschwindigkeit $v'$ ).

Aus (4.1.21) ersehen wir die Gleichheit der Diagonalelemente einer jeden Transformation $B_1(v)$ . Bilden des Matrixprodukts $B_1(v')B_1(v) \stackrel{!}{=} B_1(v'')$ und Vergleich der Diagonalelemente ergibt damit nach einer einfachen Umformung die Beziehung

$$\frac{B}{v D}=\frac{B'}{v' D'}.$$ (4.1.22)

Also ist diese Kombination eine für alle fraglichen Transformationen universelle Konstante $K$ , d.h. es gilt stets die Beziehung

$$B=K v D$$ (4.1.23)

mit einer von $v$ unabhängigen Konstanten $K$ .

Wir benötigen noch eine weitere Beziehung, um schließlich auch $D$ bestimmen zu können. Dazu betrachten wir nun eine in $K$ ruhende Einheitsuhr bei $X=0$ , die durch zwei Ticks die Standardzeit $\tau$ definieren möge. Aus (4.1.21) geht dann hervor, daß ein Beobachter in $K'$ zwischen den beiden Ticks die Zeitdauer

$$\tau'=D(v) \tau$$ (4.1.24)

mißt. Wir können dieselbe Betrachtung auch für den Fall anstellen, daß wir das System $\bar{K}$ , das sich gegen $K$ mit der Geschwindigkeit $-v$ bewegt, anstellen. Wegen der angenommenen Isotropie des Raumes, vergeht auch für einen gegen $\bar{K}$ ruhenden Beobachter dieselbe Zeitspanne $\tau'$ zwischen den beiden Ticks der in $K$ ruhenden Normaluhr.

Dies ist wegen des Reziprozitätsgesetzes (4.1.19) jedoch genau die Situation für den Beobachter in $K$ hinsichtlich einer in $K'$ ruhenden Normaluhr. Andererseits ist jedoch die Transformation von den Koordinaten bzgl. $K'$ zu Koordinaten bzgl. $K$ durch die Umkehrtransformation zu (4.1.21) gegeben. Durch Matrixinversion erhalten wir damit

$$\tau'=\frac{D \tau}{D^2+v D B},$$ (4.1.25)

und dies ergibt zusammen mit (4.1.24)

$$D^2+v D B=1.$$ (4.1.26)

Substituieren wir hierin (4.1.23), erhalten wir schließlich

$$D=\frac{1}{\sqrt{1+K v^2}}, \quad B=\frac{K v}{\sqrt{1+K v^2}}$$ (4.1.27)

Es ergeben sich nun nur $3$ bis auf Isomorphie verschiedene Möglichkeiten $K=0$ , $K=-1/c^2<0$ und $K=+1/c^2>0$ , wo $c$ in den beiden letzteren Fällen jeweils eine universelle Konstante von der Dimension einer Geschwindigkeit darstellt.

Der Fall $K=0$ entspricht der Galileitransformation. Für diesen Fall lautet nämlich (4.1.21) zusammen mit (4.1.27)

$$t'=t, \quad x'=-v t+x.$$ (4.1.28)

Hier ist offenbar der Geschwindigkeit $v$ keinerlei Beschränkung auferlegt. Man darf also $v \in \R$ annehmen.

Wir müssen weiterhin den Fall $K>0$ ausschließen, weil ansonsten das Kausalitätsprinzip nicht gewährleistet wäre. Um dies zu sehen, nehmen wir jedoch für einen Moment an, dieser Fall beschreibe eine physikalisch sinnvolle Raumzeit. Dann darf jedenfalls $v \in \R$ liegen. Setzen wir also $K=+1/c^2>0$ , $x^0=c t$ und schließlich $v/c=\tan \alpha$ . Dann folgt für die Transformation (4.1.21):

$$\begin{pmatrix}x'{}^0 \ X' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\cos \a... ...-\sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x^0 \ X \end{pmatrix}.$$ (4.1.29)

Verlangt man nun ,,Orthochronizität``, d.h. die Erhaltung der Kausalfolge von Ereignissen beim Wechsel des Bezugssystems, so muß $\cos \alpha > 0$ sein, d.h. $-\pi/2<\alpha<\pi/2$ (was übrigens den gesamten Bereich $v \in \R$ abdecken würde), verlangt werden. Die Gesamtheit dieser Transformationen bilden jedoch keine Gruppe. Man erhält nur eine Gruppe, nämlich die Drehgruppe in zwei Dimensionen SO$(2)$ , wenn man $\alpha \in [\alpha_0,\alpha_0+2 \pi)$ wählt und also zwangsläufig auch solche Transformationen zulassen müßte, die die Umkehrung der Kausalfolge von Ereignissen durch Wechsel des Bezugssystems zuließe. Anders ausgedrückt bedeutet dies, daß die so gebildete Raum-Zeit gar keine Kausalstruktur besitzt, was freilich für die Galilei-Newtonsche Raumzeit, welche im jetzigen Zusammenhange durch $K=0$ charakterisiert ist, wegen der ,,Universalität der Zeit``, d.h. $t'=t$ , selbstverständlich der Fall ist.

Kommen wir also schließlich zu dem letzten Falle $K=-1/c^2<0$ . Dann ist notwendig $v=\beta c$ mit $-1<\beta<1$ und

$$\begin{pmatrix}x'{}^{0} \ X' \end{pmatrix}= \frac{1}{\sqrt{1-\be... ...x}1 & -\beta \ -\beta & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x^0 \ X \end{pmatrix}.$$ (4.1.30)

Daß diese Transformationen für $\beta \in (-1,1)$ bereits eine Gruppe durchlaufen, folgt sehr schnell durch eine Parametrisierung, die die der Drehgruppe nachempfunden ist. Offenbar können wir nämlich

$$\beta=\tanh \eta$$ (4.1.31)

setzen, wo $\eta \in \R$ Rapidität genannt wird. Dann schreibt sich (4.1.30)

$$\begin{pmatrix}x'{}^0 \ X' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\cosh \... ... -\sinh \eta & \cosh \eta \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x^0 \ X \end{pmatrix}.$$ (4.1.32)

Die Hintereinanderausführung zweier solcher Lorentztransformationen mit $\eta$ und $\eta'$ führt dann in der Tat wieder zu einer solchen Transformation mit $\eta''=\eta+\eta'$ und also durchlaufen die Transformationen mit $\eta \in \R$ bereits eine Gruppe, die eigentlich orthochrone Lorentzgruppe für die $1+1$ -dimensionale Raumzeit. Die auf dieser Transformation beruhende Realisierung der Raumzeit heißt Einstein-Minkowski-Raumzeit.

Wir bemerken noch, daß die Galileitransformationen aus (4.1.32) formal hervorgehen, indem man den Grenzübergang $c \rightarrow \infty$ vornimmt. Physikalisch gesehen kann man die Galileitransformation als Näherung für (4.1.32) verwenden, wenn $\vert v\vert/c \ll 1$ ist. Die Galileitransformation ist bis auf Korrekturen der Ordnung $v^2/c^2$ korrekt, was den Erfolg der Newtonschen Physik für Geschwindigkeiten $\vert v\vert \ll c$ erklärt.

Wir wenden uns nun der vollständigen Lorentzgruppe für die $1+3$ -dimensionale Raumzeit zu, die wir jedoch nunmehr wegen (4.1.10) im Prinzip bereits vollständig bestimmt haben. Allerdings ist (4.1.10) relativ kompliziert und wird zum Glück in der Praxis selten benötigt.

Aus der Annahme, daß das spezielle Relativitätsprinzip gilt, folgt also, daß es physikalisch bis auf Äquivalenz genau zwei wohlunterscheidbare Raum-Zeit-Modelle gibt, nämlich den Fall, daß $c$ eine endliche Größe ist. Dann gibt es eine universelle Grenzgeschwindigkeit, die ein materieller Körper nicht überschreiten kann. Das ist die Einstein-Minkowski-Raumzeit. Für sie ist $\Lambda$ eine Lorentztransformation. Sie läßt sich durch zwei Drehungen und einen Boost eindeutig parametrisieren. Insgesamt bieten die Lorentztransformationen eine Untergruppe der Raum-Zeitsymmetriegruppe. Wie wir oben gesehen haben, ist sie insgesamt $6$ -dimensional (zwei Winkel, um die $x$ -Achse des räumlichen Koordinatensystems von $K$ in Richtung der Geschwindigkeit von $K'$ zu legen, die Komponente $v$ der Geschwindigkeit in der neuen $X$ -Richtung und drei Winkel, um die räumlichen Basisvektoren von $K'$ in Richtung der Basisvektoren von $K$ zu legen). Den ,,Boost`` in $X$ -Richtung, der die Bewegung des Bezugssystems $K'$ gegenüber $K$ beschreibt, haben wir soeben durch Ermittlung der Parameter $A$ , $B$ , $\C$ , $D$ als Funktion der Geschwindigkeitskomponente $v=\beta c$ bestimmt. Wir schreiben der Übersicht halber das Resultat für die Boostmatrix in vierdimensionaler Form noch einmal hin:

$$B_1(v)=\begin{pmatrix}\gamma & -\beta \gamma & 0 & 0 \ -\beta \gamma & \gamma &0 &0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0& 0 &0 &1 \end{pmatrix} \quad \beta=\frac{v}{c}, \quad \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}.$$ (4.1.33)

Der numerische Wert von $c$ ist dabei physikalisch irrelevant. Er legt lediglich sie Wahl des Einheitensystems näher fest, d.h. alle Raum-Zeitmodelle mit verschiedenen Werten der Grenzgeschwindigkeit $c$ sind zueinander äquivalent. Für endliches $c$ kann die Einheitslänge mit Hilfe der Normaluhr als eine bestimmte Zeitspanne festgelegt werden und ist insofern nicht mehr unabhängig, sondern durch die Wahl des Wertes für $c$ bestimmt.