Die Raum-Zeit-Geometrie

Wir schreiten nun mit der Behandlung der Einstein-Minkowskischen Raum-Zeit-Beschreibung fort. Ein Blick auf (4.1.33) lehrt uns, daß die soeben hergeleiteten speziellen Lorentztransformationen, die den Übergang von einem Inertialsystem zu einem anderen unter Beibehaltung der Orientierung der räumlichen Koordinaten beschreiben, sogenannte drehungsfreie Lorentztransformationen oder Boosts, die Eigenschaft besitzen, daß sie die Bilinearform

$$x \cdot y :=x y = x^0 y^0-\bvec{x} \cdot \bvec{y}$$ (4.2.1)

unverändert lassen. Dies gilt nun für alle Lorentztransformationen, denn die Drehungen lassen die Zeitkomponenten der Vierervektoren ungeändert, und das Skalarprodukt $\vec{x} \cdot \vec{y}$ ist unter Drehungen invariant.

Wir numerieren hier und im folgenden die Komponenten der Raum-Zeit-Vierervektoren mit oberen Indizes, die die Werte $0,1,2,3$ annehmen können. Die unter Lorentztransformationen invariante Bilinearform (4.2.1), das Minkowskiprodukt können wir dann mit Hilfe der Matrix $(\eta_{\mu \nu})=$diag$(1,-1,-1,-1)$ auch in der Form

$$x \cdot y= \eta_{\mu \nu} x^{\mu} y^{\nu}$$ (4.2.2)

schreiben. Dabei wird, dem Gebrauch Einsteins folgend, über gleichnamige gegenständige Indizes summiert.

Wir können nun die allgemeinen Lorentztransformationen sehr einfach dadurch charakterisieren, daß dies alle linearen eineindeutigen Transformationen des $\R^4$ sind, die das Minkowskiprodukt invariant lassen. Besonders einfach wird die Raum-Zeit-Geometrie in Koordinatensystemen beschrieben, die im Sinne des Minkowskiprodukts ,,orthonormal`` sind, d.h. für die gilt

$$\uvec{e}_{\rho} \cdot \uvec{e}_{\sigma}=\eta_{\rho \sigma}.$$ (4.2.3)

Dabei bezeichnen wir Vierervektoren mit einem Unterstrich, so wie wir bereits zu Beginn dieses Skripts Dreiervektoren mit Vektorpfeilen versehen haben. Die kontravarianten Komponenten $x^{\mu}$ bzgl. einer Basis $\uvec{e}_{\mu}$ fassen wir zu Spaltenvektoren zusammen, die wir einfach mit $x$ bezeichnen. Die räumlichen Komponenten, als Spaltenvektor geschrieben, bezeichnen wir wie gehabt mit fett gedruckten Buchstaben: $\bvec{x}=(x^1,x^2,x^3)^t$ . Auf diese Weise erhalten wir eine einheitliche Bezeichnungsweise für Dreier- und Vierervektoren sowohl in der relativistischen als auch der nichtrelativistischen Physik.

Eine beliebige Lorentztransformation kann nun durch eine Matrix ${\Lambda^{\mu}}_{\nu}$ definiert werden, die diese orthonormalen Basisvektoren umkehrbar eindeutig in neue orthonormale Basisvektoren $e_{\mu}'$ abbildet:

$$\uvec{e}_{\rho}=\uvec{e}_{\mu}' {\Lambda^{\mu}}_{\rho}.$$ (4.2.4)

Daraus folgt sofort, wie sich die Komponenten von Vektoren transformieren:

$$\uvec{x}=\uvec{e}_{\rho} x^{\rho} = \uvec{e}_{\mu}' {\Lambda^{\mu}}_{\rho} x^{\rho} \; \Rightarrow \; {x'}^{\mu} = {\Lambda^{\mu}}_{\rho} x^{\rho}.$$ (4.2.5)

Die Vektorkomponenten transformieren sich also kontragredient zu den Basisvektoren. Schreiben wir für die Umkehrmatrix $\bar{\Lambda}:=\Lambda^{-1}$ , gilt ja gemäß (4.2.4):

$$e_{\mu}'=e_{\rho} {{\bar{\Lambda}^{\rho}}}_{\;\; \mu}.$$ (4.2.6)

I.a. bezeichnet man die Objekte mit unteren Indizes, die sich gemäß (4.2.6) transformieren, als kovariant, solche mit oberen Indizes, die sich wie die Vektorkomponenten gemäß (4.2.5) transformieren, als kontravariant.

Die Forderung, daß auch die neuen Basisvektoren orthonormal sein sollen, ergibt

$$\eta_{\rho \sigma} = \uvec{e}_{\mu}' {\Lambda^{\mu}}_{\rho} \cdot... ...\nu}}_{\sigma} = \eta_{\mu \nu} {\Lambda^{\mu}}_{\rho} {\Lambda^{\nu}}_{\sigma}$$ (4.2.7)

In Matrix-Vektorschreibweise können wir die Bedingung (4.2.7) an eine Matrix $\Lambda=({\Lambda^{\mu}}_{\rho})$ dann in der Form

$$\Lambda^{t} \eta \Lambda = \eta$$ (4.2.8)

erfassen. Multiplizieren wir (4.2.8) von links mit der Matrix $\eta$ und von rechts mit $\Lambda^{-1}$ , ergibt sich wegen $\eta^2=1$

$$\Lambda^{-1} = \eta \Lambda^t \eta.$$ (4.2.9)

Es ist klar, daß umgekehrt jede invertierbare reelle $4 \times 4$ -Matrix, die (4.2.8) bzw. (4.2.9) erfüllt, eine Lorentztransformation definiert.

Es wird daraus sofort ersichtlich, daß auch $\Lambda^{-1}$ eine Lorentztransformation ist. Transponiert man nämlich (4.2.9), folgt wegen der Symmetrie von $\eta$ :

$$(\Lambda^{-1})^t = \eta \Lambda \eta \; \Rightarrow \; \eta (\Lambda^{-1})^t \eta=\Lambda = (\Lambda^{-1})^{-1},$$ (4.2.10)

d.h. $\Lambda^{-1}$ erfüllt ebenfalls (4.2.9), ist also eine Lorentztransformation.

Untersuchen wir nun weiter die Hintereinanderausführung von Lorentztransformationen. Seien also $\Lambda_1$ und $\Lambda_2$ Lorentztransformationen. Da beide Orthonormalsysteme in Orthonormalsysteme abbilden, ist sofort klar, daß auch ihre Hintereinanderausführung diese Eigenschaft besitzt, so daß also auch $\Lambda=\Lambda_1 \Lambda_2$ wieder eine Lorentztransformation repräsentiert. Das läßt sich mit Hilfe von (4.2.8) auch leicht formal nachweisen:

$$\Lambda^t \eta \Lambda = \Lambda_2^t \Lambda_1^t \eta \Lambda_1 \Lambda_2 = \Lambda_2^t \eta \Lambda_2 = \eta.$$ (4.2.11)

Dabei haben wir lediglich davon Gebrauch gemacht, daß (4.2.8) für $\Lambda_1$ und $\Lambda_2$ gelten muß, weil diese Matrizen ja voraussetzungsgemäß Lorentztransformationen sein sollten.

Zusammenfassend können wir also sagen, daß für jede Lorentzmatrix $\Lambda$ auch $\Lambda^{-1}$ wieder eine solche ist. Ebenso ist für beliebige Lorentzmatrizen $\Lambda_1,\Lambda_2$ auch ihr Produkt wieder eine Lorentzmatrix. Das bedeutet nun aber, daß die Lorentzmatrizen mit der Matrixmultiplikation eine Gruppe bilden, die Lorentzgruppe, wie es schon das spezielle Relativitätsprinzip verlangt. Sie wird oft auch als O$(1,3)$ bezeichnet, was so viel wie Orthogonale Gruppe bzgl. des Minkowskiprodukts.

Wir werden nun diese Gruppe näher analysieren. Wir können zunächst eine wichtige Untergruppe aussondern. Bilden wir die Determinante der Bedingung (4.2.8), folgt

$$(\det \Lambda)^2=1 \; \Rightarrow \; \det \Lambda = \pm 1.$$ (4.2.12)

Nun bilden offenbar diejenigen Lorentzmatrizen mit der Determinante $+1$ eine Untergruppe der vollen Lorentzgruppe, die man als SO$(1,3)$ bezeichnet, die spezielle orthogonale Gruppe zur Bilinearform mit der Signatur $(1,3)$ .

Wir können nun die Gruppe aber auch noch unter dem Aspekt betrachten, daß sie eine Untergruppe besitzt, die eine Liegruppe ist, und das wird sich für die Physik als besonders wichtig erweisen.

Kommen wir dazu noch einmal auf den reinen Boost in $x^1$ -Richtung zurück. Wir können sie nun viel einfacher als im vorigen Abschnitt herleiten, indem wir verlangen, daß die Lorentzmatrix $\Lambda$ die folgende Gestalt haben soll

$$\Lambda=\begin{pmatrix}a & b & 0 & 0 \ c & d & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ (4.2.13)

Die Bedingung (4.2.8) verlangt dann

$$a^2-c^2=1, \quad b^2-d^2=-1, \quad a b-c d=0.$$ (4.2.14)

Das sind drei Gleichungen für vier Matrixelemente, so daß diese Art Transformationen also einen freien Parameter beinhalten muß. Das wissen wir schon aus der physikalischen Bedeutung dieser Transformation: Die Geschwindigkeit $v$ zwischen den beiden Bezugssystemen ist frei wählbar, solange nur $-c<v<c$ ist.

Die erste Bedingung in (4.2.14) legt die Parametrisierung

$$a=\cosh \eta, \quad c=-\sinh \eta$$ (4.2.15)

nahe. Dabei haben wir verwendet, daß wir zunächst nur Transformationen behandeln wollen, die die Zeitrichtung erhalten, was $a>0$ verlangt. Aus der dritten Bedingung folgt

$$b=\frac{c d}{a}=-d \tanh \eta.$$ (4.2.16)

Das in die zweite Bedingung eingesetzt ergibt

$$d^2(1-\tanh^2 \eta)= \frac{d^2}{\cosh^2 \eta} = 1 \; \Rightarrow \; d=\pm \cosh \eta,$$ (4.2.17)

und daraus wiederum folgt mit (4.2.16)

$$b=\mp \sinh \eta.$$ (4.2.18)

Betrachten wir nun noch die Determinante:

$$\det \Lambda = ad-b c=\pm \cosh^2 \eta \mp \sinh^2 \eta =\pm 1.$$ (4.2.19)

Für die Wahl des oberen Vorzeichens in (4.2.17) und (4.2.18) erhalten wir also eine SO$(1,3)$ -Matrix, und allein diese kann durch einen stetigen Weg mit der Identität verbunden sein, denn die Determinante einer O$(1,3)$ -Matrix kann ja nur entweder $1$ oder $-1$ sein. Da die Determinante eine stetige Funktion der Matrixelemente ist, muß also eine innerhalb der Gruppe O$(1,3)$ stetig mit der Identität verbundene Matrix die Determinante $1$ haben.

In der Tat sind die stetig mit der Identität zusammenhängenden Matrizen, welche Boosts in $x^1$ -Richtung entsprechen, durch die Wahl des oberen Vorzeichens in (4.2.17-4.2.18) gegeben:

$$B_1(\eta)=\begin{pmatrix}\cosh \eta & -\sinh \eta & 0 & 0\ -\sinh \eta & \cosh \eta & 0 & 0\ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$ (4.2.20)

Ein Vergleich mit (4.1.33) zeigt, daß der Zusammenhang der Relativgeschwindigkeit $v$ zu dem Parameter $\eta$ , den man Rapidität nennt, durch

$$v=\beta=\tanh \eta, \quad \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}=\cosh \eta, \quad \beta \gamma=\sinh \eta$$ (4.2.21)

gegeben ist. Hierbei ist $\eta \in \R$ beliebig zu wählen, so daß alle Geschwindigkeiten zwischen $-c$ und $+c$ erreicht werden können.

Der Vorteil der Wahl der Rapidität als Parameter wird offensichtlich, wenn man die Hintereinanderausführung zweier Boosts betrachtet:

$$B_1(\eta_1) B_1(\eta_2)=B_1(\eta_1+\eta_2),$$ (4.2.22)

wobei wir von den Additionstheoremen der hyperbolischen Funktionen Gebrauch gemacht haben:

$$\begin{split}\cosh(\eta_1+\eta_2) &=\cosh(\eta_1) \cosh(\eta_... ...(\eta_1) \cosh(\eta_2)+\cosh(\eta_1) \sinh(\eta_2). \end{split}$$ (4.2.23)

Wir haben nun schon im vorigen Abschnitt bemerkt, daß wir alle Lorentztransformationen durch zwei Drehungen und einen solchen Boost in $x^1$ -Richtung gemäß (4.1.10) ausdrücken können. Dies ergibt eine stetige Funktion von $6$ Parametern (fünf Winkel und $v$ bzw. $\eta$ ).

Betrachten wir die Wirkung von $B_1(\eta)$ auf den Raumzeitvektor $(1,0,0,0)^t$ , wird klar, daß $B_1(\eta)$ die Orientierung der Zeitachse erhält. Deshalb heißen solche Transformationen orthochrone Lorentztransformationen. Wir stellen also fest, daß die stetig mit der Identität verbundenen Lorentztransformationen durch die eigentlich orthochronen Lorentztransformationen gegeben sind, und allein von diesen verlangen wir innerhalb der Speziellen Relativitätstheorie, daß sie eine Symmetriegruppe der Naturgesetze sein muß, damit dieselben mit der Raumzeitstruktur verträglich sind. Wie schon oben bemerkt, sind die übrigen drei Zusammenhangskomponenten der O$(1,3)$ tatsächlich keine (exakten) Symmetrien der Naturgesetze, weil die Raumspiegelungsinvarianz und mit ziemlicher Sicherheit auch die Zeitumkehrinvarianz durch die schwache Wechselwirkung verletzt wird.

Wir wollen nun zeigen, daß diese eigentlich orthochronen Lorentztransformationen zusammengenommen einen Normalteiler sowohl der O$(1,3)$ als auch der SO$(1,3)$ bildet, den wir als SO$(1,3)^{\uparrow}$ bezeichnen wollen. Auch die orthochronen Lorentztransformationen für sich bilden einen Normalteiler der vollen Lorentzgruppe, den wir als O$(1,3)^\uparrow$ bezeichnen wollen.

Dazu bemerken wir zunächst, daß die Hintereinanderausführung zweier orthochroner Lorentztransformationen wieder eine orthochrone Lorentztransformation darstellt. Wir müssen dazu ja nur das $00$ -Element der zusammengesetzten Lorentztransformation untersuchen. Seien also $A$ und $B$ zwei orthochrone Lorentztransformationen. Schreiben wir nun

$$A=\begin{pmatrix}{A^0}_0 & \bvec{a}^t \ * & * \end{pmatrix} B=\begin{pmatrix}{B^0}_0 & * \ \bvec{b} & * \end{pmatrix},$$ (4.2.24)

so gilt wegen der Bedingung (4.2.8) und wegen ${A^0}_0>0$ und ${B^0}_0>0$

$${A^0}_0=\sqrt{1+\bvec{a}^2}, \quad {B^0}_0= \sqrt{1+\bvec{b}^2}.$$ (4.2.25)

Damit ist aber die Behauptung schnell bewiesen:

$${C^0}_0={A^0}_{\mu} {B^{\mu}}_0 = {A^0}_0 {B^0}_0 + \bvec{a} \bve... ...\bvec{a}\vert \vert\bvec{b}\vert \geq {A^0}_0 ({B^0}_0-\vert\bvec{b}\vert) > 0.$$ (4.2.26)

Damit ist gezeigt, daß O$(1,3)$ eine Untergruppe ist, denn mit (4.2.9) ersieht man auch sofort, daß mit $A$ auch $A^{-1}$ orthochron ist, weil beide Matrizen dasselbe $00$ -Element besitzen.

Daß es sich sogar um einen Normalteiler, d.h. daß die Links- und die Rechtsnebenklassen identisch sind, sieht man sofort daran, daß die Zeitumkehrmatrix $T=$diag$(-1,1,1,1) \in$   O$(1,3)$ ist, und daß jede Matrix $\Lambda \in$   O$(1,3)$ entweder orthochron ist oder daß andernfalls die Matrizen $\Lambda'=\Lambda T$ und $\Lambda''=T \Lambda$ orthochron sind und sich dann entsprechend $\Lambda=\Lambda' T=T \Lambda''$ schreiben läßt.

Man kann nun statt $T$ zu diesem Zweck genausogut die ,,große Raum-Zeit-Spiegelung'' $PT=-1$ verwenden. Diese besitzt im Gegensatz zu $T$ die Determinante $1$ , ist also sogar $\in$   SO$(1,3)$ . Da nun wegen SO$(1,3)^{\uparrow} =$   O$(1,3)^{\uparrow} \cap$   SO$(1,3)$ ebenfalls eine Untergruppe der O$(1,3)$ ist, muß also SO$(1,3)^{\uparrow}$ in der Tat ein Normalteiler sowohl der O$(1,3)$ als auch der SO$(1,3)$ sein.

Offenbar gilt O$(1,3)^\uparrow=$SO$(1,3)^{\uparrow} P = P$   SO$(1,3)^{\uparrow}$ , wobei $P=$diag$(1,-1,-1,-1)$ der Paritäts- oder Raumspiegelungsoperator ist. Wir werden sehen, daß die diskreten Symmetrietransformationen eine wichtige Rolle in der Physik spielen. Wir beschäftigen uns jedoch zunächst einmal mit den eigentlich orthochronen Lorentztransformationen, die, wie soeben gezeigt, innerhalb der Lorentzgruppe stetig mit der Identität verbunden sind. Wir stellen fest, daß das Relativitätsprinzip nur verlangt, daß die physikalischen Gesetze unter dieser spezielleren Lorentzgruppe invariant sein müssen, denn nur solche Transformationen können den Wechsel von einem Inertialsystem in eine anderes beschreiben, also ,,aktive Transformationen`` sein.

Wir beschließen diesen Abschnitt mit der Herleitung des drehungsfreien Boosts in einer beliebigen Richtung, da wir diesen im folgenden noch öfter benötigen werden.

Dazu greifen wir am bequemsten auf (4.1.33) zurück. Die dort angegebene Matrix beschreibt ja gerade einen drehungsfreien Boost in $X$ -Richtung. Wir müssen nun lediglich die Wirkung dieser Matrix in einer Basis der Raumzeitvektoren ausdrücken, die sich leicht verallgemeinern läßt. Offensichtlich zeichnet die in beliebiger Richtung vorgegebene Relativgeschwindigkeit $\vec{v}$ der Bezugssysteme $K$ und $K'$ ^4.2 eine Raumrichtung aus, und wir wählen geschickterweise als räumliche Basis einen Einheitsvektor $\vec{e}_{\parallel}$ in Richtung von $\vec{v}$ und eine beliebige orthonormale Ergänzung, d.h. zwei Vektoren $\vec{e}_{j\perp}$ . Wir wissen dann von (4.1.33), wie sich die Vektorkomponenten zu transformieren haben: Die Komponente in Richtung der Geschwindigkeit erhält einen Lorentzfaktor $\gamma$ , die Komponenten senkrecht dazu bleiben ungeändert.

Die Transformationsformel für die Zeitkomponente können wir offenbar durch

$$x'{}^0=\gamma (x^0-\vec{v} \vec{x}) \gamma=[1-(\vec{v}/c)^2]^{-1/2}$$ (4.2.27)

drehungsinvariant beschreiben. Insgesamt haben wir damit die allgemeine Boostmatrix gefunden:

$$B(\bvec{v})= \begin{pmatrix}\gamma & -\gamma \bvec{v}^t \ -\gamm... ...c{v} & \frac{\gamma-1}{\bvec{v}^2} \bvec{v} \otimes \bvec{v} + 1 \end{pmatrix},$$ (4.2.28)

wobei wir uns den Ausdruck in der unteren rechten Ecke als $3 \times 3$ -Matrix vorzustellen haben. Das Tensorprodukt $\vec{v} \otimes \vec{v}$ ist durch seine Wirkung auf die räumlichen Komponenten eines beliebigen Vektors $\vec{x}$ eindeutig definiert:

$$\bvec{v} \otimes \bvec{v} \vec{x}:=\bvec{v} (\bvec{v} \cdot \bvec{x}).$$ (4.2.29)

Es ist nun leicht zu zeigen, daß (4.2.28) das Gewünschte leistet: Zunächst handelt es sich tatsächlich um eine Lorentztransformation. Wegen $B^t(\bvec{v})=B(\bvec{v})$ muß ja gelten

$$B(\bvec{v}) \eta B(\bvec{v})=\einsop_4,$$ (4.2.30)

und das weist man schnell durch eine direkte Rechnung nach, wozu man zweckmäßiger auch die Fundamentalform $\eta$ in der zeit-räumlichen Schreibweise notiert:

$$\eta=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \ 0 \ 0 & & -\einsop_3 \ 0 \end{pmatrix}$$ (4.2.31)

Weiter bemerken wir, daß

$$(\bvec{v} \otimes \bvec{v})(\bvec{v} \otimes \bvec{v})=\bvec{v}^{ 2} (\bvec{v} \otimes \bvec{v}),$$ (4.2.32)

und Ausschreiben der linken Seite von (4.2.30) mit Hilfe von (4.2.28) und (4.2.31) und Ausmultiplizieren liefert in der Tat die Vierereinheitsmatrix.

Weiter bemerken wir, daß die Richtung eines rein räumlichen Vektors in Bewegungsrichtung oder eines Vektors senkrecht dazu nicht geändert wird, so daß keine Drehung involviert sein kann. Für einen beliebigen rein räumlichen Vektor wird sich die Richtung allerdings ändern, da seine Komponente in Bewegungsrichtung um den Faktor $\gamma$ größer werden, während die Komponenten senkrecht dazu ungeändert bleiben.