Kriechfall ( $\omega _0<\gamma$ )Kriechfall

In diesem Fall besitzt die quadratische Gleichung (1.3.6) zwei verschiedene reelle Lösungen

$$\lambda_{1,2}=-\gamma_{1,2}=-\gamma \pm \sqrt{\gamma^2-\omega_0^2},$$ (1.3.19)

und wir haben direkt die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung in der reellen Form

$$x(t)=C_1 \exp(-\gamma_1 t) + C_2 \exp(-\gamma_2 t).$$ (1.3.20)

Da offenbar $\gamma_2>\gamma_1>0$ ist, ist $x(t) \rightarrow 0$ für $t \rightarrow \infty$ . Die Dämpfung ist hierbei so stark, daß es zu keinerlei Schwingungen kommt. Der Massepunkt läuft gegen den Gleichgewichtspunkt bei $x=0$ . Für große $t$ dominiert der Term mit der kleineren Dämpfungskonstante $\gamma_1$ .

Die Anfangsbedingungen (1.2.3) liefern für die Integrationskonstanten $C_1$ und $C_2$ die Gleichungen

$$x(0)=C_1+C_2\stackrel{!}{=} x_0,\quad \dot{x}(0)=-C_1 \gamma_1 - C_2 \gamma_2 \stackrel{!}{=} v_0.$$ (1.3.21)

Die Lösung des linearen Gleichgungssystems ergibt

$$C_1=-\frac{v_0+\gamma_2 x_0}{\gamma_1-\gamma_2}=+\frac{v_0+\gamma... ...x_0}{\gamma_1-\gamma_2}=-\frac{v_0+\gamma_1 x_0}{2 \sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}}.$$ (1.3.22)

Die Lösung für das Anfangsproblem lautet also

$$x(t)=\frac{1}{2 \sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}} \left [(v_0+\gamma_2) \exp(-\gamma_1 t)-(v_0+\gamma_1 x_0) \exp(-\gamma_2 t) \right ].$$ (1.3.23)

Setzt man hierin für $\gamma_1$ und $\gamma_2$ (1.3.19) ein, erhält man das Resultat in der Form

$$x(t)=\exp(-\gamma t) \left [x_0 \cosh(\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}t... ...a x_0}{\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}} \sinh(\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}t) \right ].$$ (1.3.24)

Dabei haben wir die Definition der Hyperbelfunktionen

$$\cosh z=\frac{\exp z+\exp(-z)}{2}, \quad \sinh z=\frac{\exp z-\exp(-z)}{2}$$ (1.3.25)

benutzt, die übrigens nicht nur im Reellen sondern auch für alle $z \in \C$ gilt. Daraus folgt (wieder für $z \in \C$ )

$$\cosh(\ii z)=\frac{\exp(\ii z)+\exp(-\ii z)}{2}=\cos z, \quad \sinh(\ii z)=\frac{\exp(\ii z)-\exp(-\ii z)}{2}=\ii \sin z.$$ (1.3.26)

Wir können also die Lösung für den Schwingfall (1.3.8) gewinnen, indem wir einfach in (1.3.24) überall

$$\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}=\ii \sqrt{\omega_0^2-\gamma^2} = \ii \omega$$ (1.3.27)

setzen. Denn dann liefert die Anwendung der Formeln (1.3.26) in (1.3.24) in der Tat sofort (1.3.8).