Überdämpfung

Falls nämlich $\alpha>\omega_0$ , haben wir zwei verschiedene rein reelle Lösungen, die beide negativ sind. Die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung ist demnach durch die exponentiell gedämpfte Bewegung

$$x(t)=\exp(-\alpha t) [A \exp(\kappa t)+B \exp(-\kappa t)] \quad \kappa=\sqrt{\alpha^2-\omega_0^2}.$$ (1.2.20)

Die reellen Integrationskonstanten $A$ und $B$ bestimmen sich wieder aus der Anfangsbedingung (1.2.8):

$$x(0)=A+B=x_0, \quad \dot{x}(0)=-A \beta_1-B \beta_2=v_0.$$ (1.2.21)

Dieses lineare Gleichungssystem besitzt die Lösung

$$A=\frac{(\alpha+\kappa)x_0+v_0}{2 \kappa}, \quad B=-\frac{(\alpha-\kappa)x_0+v_0}{2 \kappa}.$$ (1.2.22)