Die Minkowskikraft

Nun wollen wir den einfachsten Fall eines einzelnen Punktteilchens, das sich in einem vorgegebenen Kraftfeld bewegt, betrachten. Die einfachste Möglichkeit, das zweite Newtonsche Gesetz auf die Relativitätstheorie zu übertragen, ist seine manifest kovariante Formulierung. Dazu betrachten wir die kartesischen Raumzeitkoordinaten eines Massenpunktes bzgl. eines beliebigen Inertialsystems $(x^{\mu})$ als Funktionen eines skalaren Parameters. Dazu können wir die Eigenzeit $\tau$ des Massenpunktes wählen, die differentiell durch

$$c^2 \d \tau^2 = \eta_{\mu \nu} \d x^{\mu} \d x^{\nu}$$ (4.3.1)

definiert ist. Daraus folgt sofort, daß die Vierergeschwindigkeit, deren Komponenten durch

$$u^{\mu} = \frac{\d x^{\mu}}{\d \tau} := \dot{x}^{\mu}$$ (4.3.2)

definiert sind^4.4, die Nebenbedingung

$$\eta_{\mu \nu} u^{\mu} u^{\nu}=u_{\mu} u^{\mu}=c^2=$$ (4.3.3)

erfüllen muß. Durch diese Nebenbedingung kann eine der vier Koordinaten aus dem Bewegungsgesetz eliminiert werden, so daß schließlich für jeden inertialen Beobachter die Bewegung eindeutig durch die drei räumlichen Koordinaten des Massenpunktes als Funktion der Zeit^4.5 gegeben ist, wie es sein muß. Außerdem läßt sich die Zeit stets als strikt monoton wachsende Funktion der Eigenzeit festlegen:

$$\dot{x}^0>0.$$ (4.3.4)

Aufgrund der Nebenbedingung (4.3.3) wird die relativistische Verallgemeinerung des Newtonschen Kraftbegriffes i.a. von $u^{\mu}$ abhängige Kräfte erfordern.

Wir postulieren also als Erweiterung des zweiten Newtonschen Gesetzes

$$m \ddot{x}^{\mu}=m \dot{u}^{\mu}=K^{\mu}(x,u),$$ (4.3.5)

wobei wir vorausgesetzt haben, daß die Minkowskikraft $K^{\mu}$ eine lokale Funktion ist, d.h. nur vom Ort des Massenpunktes und seiner Geschwindigkeit abhängt. Dies hängt mit dem oben erwähnten Konzept der Nah- oder Feldwirkung zusammen: Kräfte auf einen Massepunkt werden durch Felder am jeweiligen Ort des Teilchens hervorgerufen. Die Felder selbst haben ihre Ursache in Quellen, die wir hier noch nicht näher spezifizieren und sind eigenständige dynamische Objekte, so daß das relativistische Kausalitätsprinzip erfüllt ist. Die Felder selbst sind über die Bewegung von Probeteilchen, die durch Gleichungen der Form (4.3.5) beschrieben werden, operational definiert: Durch Beobachtung der Bewegung von Probeteilchen kann auf die Felder zurückgeschlossen werden, wobei wir davon ausgehen, daß die Rückwirkung der Probeteilchen auf die Felder vernachlässigt werden kann. Dies ist prinzipiell problematisch, wie wir weiter unten noch sehen werden. Wegen (4.3.3) müssen die Kräfte die Bedingung

$$u_{\mu} K^{\mu}(x,u) = 0$$ (4.3.6)

erfüllen.

Der Parameter $m=$const in (4.3.5) ist die Masse des Teilchens, wie wir im nächsten Abschnitt durch Betrachtung des Newtonschen Grenzfalles zeigen werden.

Es lassen sich leicht Kräfte dieser Art postulieren. Als Beispiele seien hier nur genannt^4.6:

$$\begin{split}K^{\mu}(x,u)&=(\eta^{\mu \nu}-u^{\mu} u^{\nu}) V... ...mu \nu}(x) u_{\nu}, \quad F^{\mu \nu}=-F^{\nu \mu}. \end{split}$$ (4.3.7)