Der Newtonsche Grenzfall

Um diese recht abstrakten mathematischen Konzepte etwas besser physikalisch interpretieren zu können, gehen wir zur Beschreibung in einem inertialen Bezugssystem über und formulieren die Bewegungsgleichungen (4.3.5) bzgl. der Koordinatenzeit $t=x^0$ . Betrachten wir zunächst die räumlichen Komponenten als Funktionen der Koordinatenzeit:

$$\bvec{v}=\d_t \vec{x}=\d_{\tau} \bvec{x} \frac{\d \tau}{\d t}=\bvec{u} \sqrt{1-\bvec{v}}^2 \; \Rightarrow \; \bvec{u}=\gamma \bvec{v},$$ (4.3.8)

wobei

$$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\bvec{v}^2/c^2}}=u^0/c.$$ (4.3.9)

Weiter ist

$$\d_{\tau} \bvec{u}=\frac{\d t}{\d \tau} \d_t \bvec{u}=\gamma \d_t (\gamma \bvec{v}).$$ (4.3.10)

Damit folgt die Dreierformulierung der relativistischen Bewegungsgleichung

$$m \d_t (\gamma \d_t \bvec{x})= \frac{1}{\gamma} \bvec{K}:=\bvec{F}.$$ (4.3.11)

Nehmen wir nun an, die Geschwindigkeiten der beteiligten Teilchen in einem inertialen Bezugssystem seien in einem bestimmten Zeitbereich klein gegen die Lichtgeschwindigkeit, so daß wir Größen in zweiter Ordnung in $\bvec{v}/c$ vernachlässigen können, so gelangen wir in der Tat zur Newtonschen Bewegungsgleichung

$$m \d_t^2 \bvec{x}=\bvec{F},$$ (4.3.12)

wobei sich nun in der Tat $m$ als die Masse des Teilchens und $\bvec{K}$ als die Kraft erweist, wobei diese allerdings i.a. von der Geschwindigkeit $\bvec{v}$ des Teilchens abhängen wird^4.7