Energie und Impuls des Punktteilchens

Wenden wir uns nun wieder der exakten Bewegungsgleichung im Dreierformalismus (4.3.11) zu und definieren als Impuls des Teilchens die Größe

$$\bvec{p}=m \gamma \bvec{v}=m \bvec{u},$$ (4.3.13)

folgt die exakte Bewegungsgleichung (4.3.11) in der an Newtons ursprüngliche Formulierung des zweiten Gesetzes erinnernden Gestalt

$$\d_t \bvec{p}=\bvec{F}.$$ (4.3.14)

Man beachte, daß wir hier ausnahmsweise den Boden der kovarianten Schreibweise vollständig verlassen haben. Lediglich $\bvec{p}$ sind die räumlichen eines Vierervektors, nicht jedoch $\bvec{F}$ ^4.8. Betrachten wir nun noch die 0 -Komponente der Bewegungsgleichung (4.3.5) und schreiben sie in die Dreierformulierung um

$$m \d_{\tau} \gamma =m \gamma \d_t \gamma= K^0.$$ (4.3.15)

Schreiben wir nun (4.3.6) im Dreierformalismus, ergibt sich

$$u^0 K^0-\vec{u} \bvec{K}=0 \; \Rightarrow \; K^0=\gamma \bvec{v} \bvec{F}.$$ (4.3.16)

Dies in (4.3.15) eingesetzt ergibt schließlich

$$\d_t m \gamma=\bvec{v} \bvec{F}.$$ (4.3.17)

Dies zeigt, daß die Identifikation von

$$T=m \gamma=m + \frac{m}{2} \bvec{v}^2+\cdots$$ (4.3.18)

mit der (kinetischen) Energie des Teilchens konsistent mit der Identifikation von $\bvec{p}$ mit den Impulskomponenten des Teilchens ist. Es ist wichtig zu bemerken, daß der Impulssatz in der relativistischen Mechanik im Gegensatz zur Newtonschen nur für das abgeschlossene System aus Teilchen und Feldern gilt. Der Grund dafür ist, daß das dritte Newtonsche Gesetz (,,actio = reactio'') für ein System von wechselwirkenden Punktteilchen allein nicht gelten kann, da es ja keine instantanen Fernwirkungen geben kann. Der Energiesatz kann in speziellen Fällen hingegen gültig sein, nämlich dann, wenn die Kräfte konservativ sind, sich also als Dreiergradient eines zeitunabhängigen Potentials gemäß $\vec{F}=-\partial_{\vec{x}} V(\vec{x})$ schreiben lassen. Dann zeigt die Integration von (4.3.17) sofort, daß wie in der klassischen Mechanik $m \gamma+V=E_{\text{total}}$

Wir werden weiter unten noch nachweisen, daß diese Identifikation mit der durch das Noethertheorem gegebenen Definition über die Symmetrie unter Zeittranslationen übereinstimmt.

Nun bilden $p^0=E/c$ und $\bvec{p}$ die Komponenten eines Vierervektors, den Viererimpulsvektor $p$ , und es gilt

$$p^\mu=m \d_{\tau} x^{\mu}=m u^{\mu} \; \Rightarrow \; p_{\mu} p^{\mu}=m^2 c^2.$$ (4.3.19)

Die letztere Beziehung zeigt, daß die Masse eines Teilchens ein Skalar ist. Weitere wichtige Beziehungen, die sich direkt aus (4.3.19) ergeben, sind noch durch

$$\bvec{v}=c^2 \frac{\vec{p}}{E}, \quad E=c \sqrt{m^2 c^2+\bvec{p}^2}$$ (4.3.20)

gegeben.