Gedämpfte Schwingungen

Dieser Fall tritt ein, wenn $\alpha<\omega_0$ . Dann sind die Lösungen (1.2.19) für $\lambda$ zueinander konjugiert komplex

$$\lambda_{12}=-\alpha \pm \ii \omega_0' \quad \omega_0'=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}.$$ (1.2.23)

Wie oben können wir die sich daraus ergebende allgemeine Lösung wieder umformen zu

$$x(t)=A \exp(-\alpha t) \sin(\omega_0' t+\varphi_0).$$ (1.2.24)

Wir haben es also wieder mit einer Schwingung zu tun. die Frequenz ist gegenüber der ungedämpften Schwingung etwas geringer, $f_0'=\omega_0'/(2 \pi)$ . Die Amplitude der Schwingung ist allerdings gedämpft, und zwar nimmt sie in der Dämpfungszeit $t_D=1/\alpha$ um einen Faktor $1/\e$ ab. Die Integrationskonstanten ergeben sich nach einigen einfachen Umformungen zu

$$\begin{split}&A=\frac{\sqrt{(\omega_0' x_0)^2+(v_0+\alpha x_0... ...qrt{(\omega_0' x_0)^2+(v_0+\alpha x_0)^2}} \right). \end{split}$$ (1.2.25)