Welche Eigenschaften weist ein idealer Meßapparat auf?

Wir erklären in diesem Abschnitt ganz allgemein, wie ein idealer Meßapparat beschaffen sein muß. Dabei verstehen wir unter einem idealen Meßapparat ein System $M$, das die Messung eines vollständigen Satzes kompatibler Observabler eines Quantensystemes $S$ gestattet, d.h. die vollständige Festlegung des Zustandes durch die Messung ermöglicht.

Diese Beschreibung impliziert nun aber folgende Anforderungen an das Gesamtsystem $MS$:

Zu Beginn der Messung zur Zeit $t=0$ seien $S$ und $M$ separiert, so daß sich das Gesamtsystem in einem reinen Zustand $\ket{\varphi \otimes \Phi}$ befindet, d.h. in dem Gesamtsystem kommen sowohl $S$ als auch $M$ individuelle durch $\ket{\varphi} \in \mathscr{H}_S$ und $\ket{\Phi} \in \mathscr{H}_M$ beschriebene Eigenschaften zu.

Der Meßvorgang selbst ist nun durch eine Wechselwirkung von $S$ mit dem Meßapparat $M$ gegeben. In der Quantentheorie induziert der Hamiltonoperator des Gesamtsystems, den wir in der Form

$$\op{H}=\op{H}_0+\op{H}_w$$ (1)

ansetzen, die Zeitentwicklung des Systems, wobei $\op{H}_0$ die Summe der Hamiltonoperatoren der Systeme $S$ und $M$ ist, also von der Form $\op{H}_{0S} \otimes \op{1}+\op{1} \otimes \op{H}_{0M}$ ist, während $\op{H}_w$ die Wechselwirkung zwischen $S$ und $M$ beschreibt.

Es ist nun für unsere Fragestellung bequem, die Dynamik im Wechselwirkungsbild bzgl. $\op{H}_w$ zu beschreiben, d.h. ein Zustand $\ket{\Psi,t} \in \mathscr{H}_S \otimes \mathscr{H}_M$ entwickelt sich gemäß der Gleichung

$$\ket{\Psi,t}=\op{C}(t,t_0) \ket{\psi,t_0},$$ (2)

wobei der unitäre Zeitentwicklungsoperator $\op{C}$ durch das Anfangswertproblem

$$\i \partial_t \op{C}(t,t_0) = \op{H}_w(t) \op{C}(t,t_0), \; \op{C}(t_0,t_0)=1$$ (3)

gegeben ist.

Explizit zeitunabhängige Observablen bewegen sich dann der allgemeinen Quantendynamik zufolge gemäß

$$\op{O}(t)=\op{D}(t,t_0) \op{O}(t_0) \op{D}^{\dagger}(t,t_0),$$ (4)

wobei der unitäre Zeitentwicklungsoperator für die Operatoren $\op{D}$ durch das Anfangswertproblem

$$\i \partial_t \op{D}(t,t_0)=-\op{H}_0(t) \op{D}(t,t_0)$$ (5)

definiert ist.

Jetzt soll unser Meßsapparat $M$ ja den vollständigen Satz von verträglichen Observablen $A$ von $S$ messen, und wir zerlegen daher den Anfangszustand $\ket{\varphi}$ von $S$ nach Eigenvektoren von $\op{A}$, d.h. wir schreiben den Anfangsvektor des Gesamtsytems in der Form

$$\ket{\Psi}=\ket{\varphi \otimes \Phi} = \sum_k \ket{a_k \otimes \Phi}\braket{a_k \otimes \Phi}{\varphi \otimes \Phi}.$$ (6)

Der statistische Operator des Gesamtsystems ist dann der Projektor

$$\op{P}_{\Psi}=\ketbra{\Psi}{\Psi} = \sum_{k,l} \ketbra{\Psi_k}{\Psi_l} c_{kl} \ket \Psi_{k}^{} \ket \otimes \Phi \braket \varphi \braket \varphi$$ (7)

Damit nun die Trennung des Systems $S$ vom Meßapparat $M$ physikalisch gerechtfertigt ist, muß nach einer Zeit $\Delta t$, die wir als Meßdauer bezeichnen wollen, die Wechselwirkung $\op{H}_w$ zwischen $S$ und $M$ vernachlässigbar sein. Dies ist in dem Sinne zu verstehen wie in der Streutheorie, wo die Teilchen in einem asymptotisch freien Zustand präpariert und eine große Zeit nach dem Streuvorgang wieder in einem asymptotisch freien Zustand registriert werden.

Jedenfalls sagt uns Gl. (2), daß nach Ablauf der Meßdauer die Zustände $\ket{\Psi_k}$ in

$$\ket{\Psi_k'}=\op{C}(\Delta t,0) \ket{\Psi_k} = \ket{a_k' \otimes \Phi(a_k)'}$$ (8)

übergegangen sind.

Wir können daraus erste Folgerungen darüber ableiten, welche Eigenschaften das System $M$ zu einem Meßapparat für die Observablen $A$, beschrieben durch einen vollständigen Satz kommutierender Operatoren $\op{A}$ machen.

Dem quantentheoretischen Formalismus zufolge, muß das System $S$ bei Präparation in einem Eigenzustand von $\op{A}$, nämlich $\ket{a_k}$ nach der Messung in genau eben diesem Zustand $\ket{a_k}$ bleiben, damit wirklich die Observablen $A$ gemessen werden, denn eben dies definiert ja im Formalismus der Quantentheorie, was eine scharfe Messung der kompatiblen Observablen $A$ bedeutet. Wir folgern daraus, daß bis auf eine irrelevante Phase

$$\ket{a_k'}=\ket{a_k}$$ (9)

zu gelten hat.

Weiter zeigt unsere Schreibweise in (8) schon, daß der Zustand des Meßapparates nach der Messung von dem gemessenen Wert der Observablen $A$ abhängen muß, und zwar derart, daß eine Ablesung eben dieses Wertes ermöglicht wird.

Nun verlangt aber der quantentheoretische Formalismus noch viel mehr, nämlich daß auch bei einem beliebigen Ausgangszustand, der nicht kompatibel mit dem vollständigen Satz von Observablen $A$ des Systems $S$ zu sein braucht, nach Ablesung des Meßergebnisses feststeht, daß sich das System $S$ in eben genau dem zu dem Meßwert gehörigen eindeutigen Eigenzustand der dazugehörigen kommutierenden Operatoren $\op{A}$ befindet.

Zunächst einmal ergibt aber die Anwendung des Zeitentwicklungsoperators gemäß (1) auf den beliebigen Ausgangszustand gemäß (2), (6) und (8):

$$\ket{\Psi'}=\sum_k \ket{\Psi_k'} \braket{a_k}{\varphi} = \sum_k \ket{a_k \otimes \Phi'(a_k)} \braket{a_k}{\varphi}.$$ (10)

Der zu diesem Zustand gehörige statistische Operator ist wieder durch den Projektor gegeben, also

$$\op{P}_{\Psi'}=\ketbra{\Psi'}{\Psi'}=\sum_{k,l} \ketbra{a_k \otimes \Phi'(a_k)}{a_l \otimes \Phi'(a_l)} c_{kl},$$ (11)

wie sich auch durch die direkte Anwendung von (1) auf (7) ergeben hätte.

Auf der anderen Seite wissen wir aber, daß die Messung ausgeführt wurde, aber wir haben noch nicht von dem Meßresultat Kenntnis genommen. Nach den Prinzipien der Quantentheorie entspricht dies aber einem gemischten Zustand, der durch den statistischen Operator

$$\op{\rho}_{A}=\sum_k c_{kk} \ketbra{a_k}{a_k}$$ (12)

gegeben ist.

Das entspricht nämlich genau einer Wahrscheinlichkeit $c_{kk}$, das System $S$, das im Zustand $\ket{\varphi}$ präpariert wurde, durch die Messung von $A$ in den Zustand $\ket{a_k}$ zu überführen (vgl. (7)).

Nun kann aber (12) mit (11) nur dann übereinstimmen, wenn beides statistische Operatoren für reine Zustände sind, und das wäre genau dann der Fall, wenn $\ket{\varphi}$ bereits ein Eigenvektor von $\op{A}$ gewesen wäre.

Andererseits ist aber im allgemeinen Fall, d.h. wenn $\ket{\varphi}$ nicht verträglich mit der Messung von $A$ ist, die zu dem statistischen Operator (12) gehörige von Neumannsche Entropie durch

$$S(\op{\rho}_{A})=-\Tr(\op{\rho}_{A} \ln \op{\rho}_{A}) = - \sum_k c_{kk} \lnc_{kk} > 0$$ (13)

gegeben.

Das bedeutet aber, daß $M$ nur dann ein idealer Meßapparat im Sinne der Quantentheorie sein kann, wenn es gerechtfertigt ist, den Informationsgehalt, der in den Außerdiagonalelementen $c_{kl}$ steckt, zu vernachlässigen. Dieser Verlust an Information wird aber dadurch erreicht, daß wir das System $S$ vom Meßapparat $M$ gedanklich trennen, d.h. die wesentliche Eigenschaft des Meßapparates, die durch die vermöge $\op{H}_w$ beschriebenen Wechselwirkung des Quantensystems mit $M$ gegeben ist, besteht darin, daß die Projektion auf die für $S$ relevante in $\op{P}_{\Psi'}$ enthaltene Information auf das Gemisch (12) führt. Das bedeutet aber, daß

$$\op{\rho}_S=\Tr_{\mathrm{H}_M} \op{P}_{\Psi'} = \op{\rho}_{A}$$ (14)

sein muß.

Da hierin $\Tr_{\mathrm{H}_M}$ als linearer Operator im Liouvilleraum (in der Literatur auch als Superraum bezeichnet) durch die Wirkung auf direkte Produkte gemäß

$$\Tr_{\mathscr{H}_M} (\op{O}_S \otimes \op{O}_M) = \op{O}_S \Tr(\op{O}_M)$$ (15)

definiert ist, wobei $\Tr$ auf der rechten Seite die gewöhnliche Spurbildung in $\mathscr{H}_M$ bedeutet, liefert dies die Bedingung, daß

$$\braket{\Phi'(a_k)}{\Phi'(a_l)} \approx \delta_{kl}$$ (16)

erfüllt sein muß.

Diese Bedingung macht die Trennung von $S$ vom Meßgerät $M$ insofern sinnvoll, als dadurch sichergestellt wird, daß die Ablesung des Meßgeräts nach einer Messung von $A$ mit dem Meßgerät $M$ dem System $S$ objektiv die Eigenschaften, die durch $A$ beschrieben werden, zugeordnet werden können. Wir haben auch gesehen, daß nur in dem Fall, daß $S$ bereits in einem Eigenzustand von $\op{A}$ präpariert war, das Resultat der Messung eindeutig determiniert ist, andernfalls kann nur ausgesagt werden, daß das Resultat $a_i$ mit der Wahrscheinlichkeit $c_{ii}=\vert\braket{\varphi}{a_i}\vert^2$ sein wird.

Andererseits haben wir gesehen, daß wir durch die Objektivierung, d.h. die Trennung des Systems $S$ vom Meßapparat $M$ nach der Messung, gezwungen waren, auf Information zu verzichten. Es erhebt sich die Frage, inwiefern dies aufgrund der physikalischen Situation gerechtfertigt ist.

Diesem Problem können wir uns von einer anderen Seite nähern. Nach Beendigung des Meßvorgangs wird das Gesamtsystem aus $S$ und $M$ zunächst durch den Zustand $\ket{\Psi'}$ gemäß (11) bzw. dazu äquivalent durch den dazugehörgen statistischen Operator $\op{P}_{\Psi'}$ (12) beschrieben. Dieser Zustand ist aber durch Anwendung des unitären Zeitentwicklungsoperators auf den Anfangszustand des Gesamtsystems gewonnen worden. Der resultierende Zustand läßt sich aber rein formal durch Anwendung des entsprechenden Umkehroperators wieder in den Ausgangszustand zurücktransformieren. Praktisch bedeutet dies aber, daß wir das Gesamtsystem in dem zeitumgekehrten Zustand präparieren müssen, um dies zu erreichen.

Der Grund für diese grundsätzliche Umkehrbarkeit ist aber gerade durch die kohärente Überlagerung der Zustände bedingt. Soll nun die Objektivierung durch Trennung von $S$ und $M$ physikalisch gerechtfertigt sein, muß die durch den oben berechneten Entropiezuwachs manifestierte Irreversibilität des Meßprozesses gewährleistet sein, d.h. die prinzipiell mögliche Umkehrbarkeit der durch die Wechselwirkung zwischen $S$ und $M$ verursachten Zeitentwicklung muß praktisch auszuschließen sein. Eine ähnliche Situation liegt aber gerade für ein makroskopisches System vor, denn es ist praktisch völlig unmöglich, von einem System aus $10^{24}$ Teilchen auch nur den Zustand zum Anfangszeitpunkt zu kennen. Selbst wenn wir die Kenntnis des genauen Ausgangszustandes voraussetzen, ist es doch unmöglich, den Zustand nach der Wechselwirkung von $S$ und $M$ in den zeitumgekehrten Zustand zu überführen. Dies begründet aber die Bohrsche Feststellung, daß ein Meßapparat stets von makroskopischen Dimensionen sein muß.

Damit ist auch geklärt, warum die uns im täglichen Leben umgebenden makroskopischen Körper selbst sich klassisch verhalten, denn sie selbst besitzen so viele mikroskopische Freiheitsgrade, daß die grundsätzliche Reversibilität faktisch nie zu beobachten sein wird, d.h. das System wird allein durch die Wechselwirkung der mikroskopischen Freiheitsgrade untereinander in ein Gemisch überführt, das zu klassischen Gesetzmäßigkeiten für die Beschreibung des makroskopischen Körpers benutzten Observablen führt.

Aber auch mikroskopische Objekte können durch Wechselwirkung mit einer makroskopischen ``Meßapparatur'' oder der faktischen Unmöglichkeit, äußere Einflüsse komplett auszuschalten, klassisches Verhalten aufweisen. Ein Beispiel ist ein Teilchen in einer Nebelkammer, das eine Spur hinterläßt, die sich durch klassische Bewegungsgleichungen hervorragend beschreiben lassen. Im folgenden Abschnitt wollen wir dies anhand einer einfachen Modellrechnung nachvollziehen.

Diese Überlegungen zeigen, daß die Ablesung des Resultats der Messung, etwa der Zeigerstellung eines Apparats nunmehr eine ``klassische Angelegenheit'' ist. Insbesondere bereitet dies erkenntnistheoretisch nicht mehr Probleme als die Ablesung des Resultats einer rein klassischen Zufallsexperiments (etwa des Wurfes einer Münze). Selbst die Begründung für die ``Zufälligkeit'' ist nahezu die gleiche: Beim Wurf einer Münze kennen wir nicht die exakten Anfangsbedingungen der Bewegung. Auch im Fall der Quantenmechanik kennen wir nicht die genauen Anfangsbedingungen bzgl. der nichtobjektiven Eigenschaften des Systems.

Der Unterschied beider Situationen besteht freilich darin, daß im Falle des Münzwurfs als einem ``klassischen Zufallsexperiment''¹ prinzipiell eine Determinierung des Resultats möglich wäre indem man die Anfangsbedingungen (etwa durch Bau einer geeigneten Wurfvorrichtung) genau vorgibt. Die (in dem Fall ja ausdrücklich gewünschte) Indeterminiertheit kommt also durch einen bewußten Verzicht auf vollständige Information über die Anfangsbedingungen zustande, die prinzipiell aber doch durch geeignete Präparation verfügbar wäre.

Im Falle der Messung einer nichtobjektiven Observablen an einem Quantensystem liegt genau die gleiche Situation vor: Wir besitzen bzgl. der zu messenden Observablen nicht die vollständige Information, und können daher auch nur statistische Aussagen machen. Es ist aber der Quantentheorie zufolge prinzipiell unmöglich, die vollständige Information über die nichtobjektive Obserable zu gewinnen, ohne die vorher erfolge Präparation des Systems zu zerstören. Es sind eben prinzipiell nicht mehr alle möglichen Observablen gleichzeitig objektiv.

Dies ist insofern aber auch erkenntnistheoretisch unproblematisch, weil die simultane Objektivität aller überhaupt denkbaren Observablen eines Systems ein stillschweigend vorausgesetztes Postulat der klassischen Physik ist. Es ist also eher als ein echter Erkenntnisgewinn der Quantentheorie auf der fundamentalsten Ebene unserer Naturerkenntnis gesehen werden, als ein Verlust in dem Sinne der Gegner der Quantentheorie (z.B. Einstein, Schrödinger, de Broglie).