Was passiert denn da jetzt wirklich?

Die Quantenmechanik gibt hierauf eine recht klare Antwort: das Signal verformt sich während des Tunnelns.

[KR96] veröffentlichten eine Sammlung von Computerprogrammen zur numerischen Behandlung interessanter physikalischer Probleme. Eines der Programme löst die zeitabhängige Schrödingergleichung in einer Dimension ausgehend von einem beliebigen komplexwertigen Anfangszustand. Da die Schrödinger- und die Helmholtzgleichung dieselbe mathematische Struktur aufweisen, und die transversale Ausdehnugn des Hohlleiters im Nimtz-Experiment lediglich zur Erzeugung der Potentialbarriere verwendet wird, beschreibt diese numerische Lösung das Nimtz-Experiment qualitativ korrekt.

Abbildung 6: $t=0.25$. Das Wellenpaket nähert sich der Barriere.

Im Folgenden soll nun das Ergebnis einer solchen numerischen Simulation diskutiert werden: In Abbildung 6 ist zunächst ein Wellenpaket abgebildet, welches sich von links kommend mit $v=1$ einer Potentialbarriere nähert (abgebildet ist $\left\vert\Psi(x)\right\vert^2=\Psi^*(x)\Psi(x)$. Die Breite ($\sigma_x=0.05$) und der mittlere Impuls des Wellenpakets wurden so gewählt, daß zu diesem Zeitpunkt ($t=0.25$) die Amplitude des Wellenpakets im Barrierenbereich noch verschwindet (genaugenommen wurde $\Psi(x\geq0.45,t=0.25)=0$ als Randbedingung gesetzt). Das Intervall $[0,1]$ wurde in Schritten der Breite $10^{-4}$ diskretisiert, der Zeitschritt betrug $5\cdot10^{-7}$, die Barrierenhöhe $2.0\cdot10^{4}$.

Abbildung 7: $t=0.37$. Die Wirkung der Barriere auf das Wellenpaket sind sichtbar.

Ein wenig später, bei $t=0.37$ (Abbildung 7) ,, sieht`` das Wellenpaket die Barriere bereits: die ersten Wellenanteile werden reflektiert und sorgen in der Nähe der Barriere für Interferenzerscheinungen. Zu diesem Zeitpunkt sind die Gruppengeschwindigkeit wie auch die Geschwindigkeit des Paketmaximums noch wohldefinierte Größen, doch das ändert sich rasch.

Abbildung 8 zeigt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit bei $t=0.45$, also zu dem Zeitpunkt, an dem ein klassisches Teilchen, welches sich ursprünglich am Paketmaximum befand und welches sich mit $v=1$ bewegte, auf die Barriere trifft. Die interferenzbedingte Verformung des Wellenpakets ist jetzt sehr stark.

Abbildung 8: $t=0.45$. Dies ist der Zeitpunkt, zu dem ein klassiches Teilchen, das sich ursprünglich am Maximum des Wellenpakets befand, auf die Barriere auftrifft. Auf der anderen Seite der Barriere (in der Abbildung um einen Faktor $10^6$ vergrößert) ist die Front des getunnelten Signals bereits erkennbar.

Die Geschwindigkeit des Paketmaximums ist jetzt kein vernünftig definiertes Konzept mehr. Die Maxima in der Nähe von $x=0.45$ verändern für einen deutlichen Zeitraum um $t=0.45$ herum lediglich ihre Amplitude, nicht aber die Position. Konsequenterweise ist die Position des Paketmaximums als Funktion der Zeit nicht einmal eine stetige Funktion.

In Abbildung 9 ist die Reflektion des Wellenpakets deutlich fortgeschritten. Gleichzeitig ist auf der rechten Seite der Barriere (um sechs Größenordnungen verstärkt) das Tunnelsignal schon sichtbar. Der Abbildung entnimmt man weiterhin eine deutliche Verbreiterung beider Signale. Das Tunnelsignal ist (in Abbildung 10 deutlicher zu sehen) auch verformt und besitzt nicht mehr die ursprüngliche Gaußsche Intensitätsverteilung.

Bei $t=0.65$ (Abbildung 10) ist das reflektierte Wellenpaket fast wieder bei $x=0.25$ angekommen. Der getunnelte Anteil auf der rechten Seite (durchgezogene Linie) besitzt ein näherungsweise Gaußsches Intensitätsprofil, ist aber deutlich verformt, wie der Vergleich mit einer gefitteten Gaußfunktion (gepunktete Linie) zeigt.

Abbildung 9: $t=0.55$. Zu diesem Zeitpunkt würde ein klassisches Teilchen das Ende der Tunnelstrecke erreichen, wenn es nicht an der Potentialbarriere reflektiert werden würde.

Abbildung 10: $t=0.65$. Das reflektierte Wellenpaket ist jetzt (beinahe) wieder an dem Punkt angelangt, an dem es in Abbildung 6 war. Das getunnelte Paket auf der rechten Seite der Barriere (in der Abbildung um einen Faktor $10^6$ vergrößert) zu erkennen. Das Maximum einer Gaußfunktion, die an das getunnelte Paket angepaßt wurde, befindet sich bei $x=0.678$. Ohne die Potentialbarriere wäre das Maximum des Wellenpakets nun bei $x=0.65$. Wenn die Geschwindigkeit des Pakets außerhalb der Barriere konstant $v=1$ ist, so muß zu dem Zeitpunkt, an dem das Maximum des Tunnelpakets das Ende der Tunnelstrecke erreicht, das nichttunnelnde Paket erst bei $x=0.522$ gewesen sein. Damit muß das Verhältnis der Geschwindigkeiten der beiden Pakete zwischen $x=0.45$ und $x=0.55$ gleich $(0.55-0.45)/(0.522-0.45)=1.389$ gewesen sein.

Die gestrichelte Linie in Abbildung 10 skizziert, wie das Wellenpaket aussehen würde, wenn es die Tunnelstrecke nicht gäbe. Wie deutlich zu sehen ist, befindet sich das Maximum dieses Pakets hinter dem Maximum des Tunnelpakets. Scheinbar hat sich das Wellenpaket im Tunnel mit $1.389v$ ausgebreitet.