Was ist Tunnelgeschwindigkeit?

Die Frage ist komplizierter als man meinen mag. Wie ein Blick auf Abbildung 4 zeigt, gibt es da mehrere anscheinend gleichwertige Möglichkeiten (Abbildung 4). Zunächst einmal gibt es zwei Frontgeschwindigkeiten: Die Geschwindigkeit, mit der sich der Punkt bewegt, an dem einen bestimmte Energiemenge übertragen wurde (1) (die Ordinate in Abbildung 4 stellt die Intensität dar, hat also die Dimension Energie/(Zeit$\cdot$Fläche); die Abszisse hat die Dimension Zeit, also ist die Fläche unter der Kurve der Energiemenge des Signals proportional), und die Geschwindigkeit, mit der sich der Punkt bewegt, an dem eine bestimmte Schwellenintensität überschritten wird (2). Dann gibt es natürlich die Geswchwindigkeit, mit der sich das Maximum des Wellenpakets bewegt (3), die identisch sein kann (aber natürlich nicht sein muß) mit der Schwerpunktsgeschwindigkeit des Wellenpakets (4). Schließlich kann man die Paketgeschwindigkeit auch definieren als die Geschwindigkeit, mit der sich der Punkt bewegt, and dem das ganze Paket ,,durch`` ist (5).

Abbildung 4: Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine Tunnelgeschwindigkeit zu definieren.

Nun ist es, wenn man sich die Frage nach superluminalem Tunneln stellen will, nicht egal, über welche dieser Geschwindigkeiten man redet. Es ist ja nicht jede Größe der Dimension Strecke/Zeit eine physikalisch realisierte Geschwindigkeit.

Ein Beispiel: wenn man etwa einen Laserstrahl auf die Mondoberfläche richtet, und den Laser dann zur Seite bewegt, so bewegt sich der Lichtpunkt auf der Mondoberfläche mit beliebig großer Geschwindigkeit; wenn der Laser schnell genug bewegt wird, auch schneller als das Licht. Tatsächlich aber werden nur jeweils andere Stellen der Mondoberfläche vom Licht beschienen; es ist nicht so, daß der Lichtpunkt eine physikalische Entität wäre, die sich tatsächlich mit $v>c$ bewegen könnte. Wenn etwa ein Mensch auf der Erdoberfläche mit den Fingern schnippt, und eine halbe Sekunde später ein Astronaut auf dem Mond dasselbe tut, kann man ja nicht sagen, das Fingerschnippen habe sich von der Erde zum Mond bewegt.

Um hier ein klares Konzept zu haben. über das man mißverstädnisfrei reden kann, hat man die Idee der Informationsübertragungsgeschwindigkeit entwickelt: Wenn man in einem Experiment oder mit einem experimentellen Aufbau Information übertragen kann, hat man zweifellos eine reale physikalische Entität von einem Ort zum anderen übertragen. Wenn man das mit Unterlicht- oder Lichtgeschwindigkeit machen kann, ist das nicht speziell interessant, ersteres kann jede Brieftaube ja schließlich auch. Hat man aber in einem Experiment Information mit Überlichtgeschwindigkeit übertragen, dann hat die theoretische Physik ein hochinteressantes Problem und man selbst den nächsten Nobelpreis sicher.

Was ist nun Informationsübertragung? Das oben erwähnte Fingerschnippen sicher nicht. Daß der Astronaut auf dem Mond eine bestimmte Zeitspanne nach dem Experimentator mit den Fingern schnippt, ist entweder Zufall oder vorher abgesprochen. In keinem Fall wird das Fingerschnippen auf der Erde das auf dem Mond beeinflussen. Wenn der Experimentator sich kurzfristig entschließt, statt eines vorher vereinbarten Signals das erste Kapitel von Jim Knopf und Lukas der Lokomotivführer im Morsecode zu schnippen, so wird das der Astronaut frühestens mit der üblichen $1.2$sekündigen Verzögerung erfahren; diese Information kann also höchstens mit Lichtgeschwindigkeit übertragen werden.

Welche der obigen Definitionen für das Konzept Informationsübertragungsgeschwindigkeit ist nun die sinnvollste? Nun, Diskussionen über Definitionen hat die Physik schon öfter gehabt, und in aller Regel hat sich schließlich diejenige Definition durchgesetzt, die experimentell realisierbaren und meßbaren Größen am nächsten kam.

Hier muß man sich also zwei Fragen stellen: (a) Wie ist ein Detektor technisch zu realisieren, der Information im Sinne der Definitionen (1)-(5) mißt, und (b) Kann man ein Protokoll festlegen, mit dem ein Experimentator am Emitter einem Kollegen am Detektor tatsächlich Informationen (sagen wir die gerade gezogenen Lottozahlen) mit dem unter (a) beschlossenen Aufbau und der jeweiligen Geschwindigkeit auch wirklich übermittelt?

Die Antworten auf die Frage (a) sind relativ klar.

(1)

Jedes fotografische Material arbeitet nach diesem Prinzip. Die Lichtintensität wird über einen bestimmten Belichtungszeitraum aufintegriert, und wenn sie einen (durch die spezifischen Eigenscahften des Materials und die Details des Entwicklungsverfahren) bestimmten Schwellenwert überschreitet, erscheint an der entsprechenden Stelle im Negativ ein dunkler Punkt.

(2)

Auch die reine Intensität ist meßbar, wenn auch nur über einen Umweg: man muß die aufintegrierte Signalintensität regelmäßig zurücksetzen, etwa durch Wechsel des Fotomaterials. Generell formuliert: (1) entspricht einem Meßgerät, bei dem die Zeitantwort auf einen Deltapuls die Heavisidefunktion ist, (2) entspricht einem Meßgerät, dessen Impulsantwort im Zeitbereich zerfällt. Mikrophone funktionieren auf diese Weise.

(3)

Ein Detektor, der das Maximum bestimmt, ist identisch mit einem Detektor nach (2), aber mit zwei Erweiterungen: er muß erstens empfindlicher sein (da er das Maximum vom Rest des Signals unterscheiden können muß), respektive bei gleicher Empfindlichkeit eine höhere Signalintensität verlangen und kann damit das Signal aus Abbildung 4 erst später detektieren als der Detektor (2), und zweitens muß er, um das Maximum bestimmen zu können, bis nach dem Maximum warten (der Begriff Maximum ist ja ganz allgemein kein lokaler Begriff, sondern eine Eigenschaft eines Wertebereichs).

(4)

Für diesen Detektor gelten dieselben Einschränkungen. Der Schwerpunkt eines Signals ist eine Funktion des ganzen Signals, kann also nicht bestimmt werden, solange erst ein Teil des Signals empfangen wurde.

(5)

Dieser Detektor ist offensichtlich nur in verlustfreien Umgebungen zu konstruieren. In einem Tunnelexpereiment, in dem ein Teil des Eingangssignals reflektiert wird, also den Detektor gar nicht erreicht, ist diese Geschwindigkeit strenggenommen immer null.

Frage (b) ist nicht so trivial:

(1)

Hier ist die Informationsübertragungsgeschwindigkeit maximal gleich der Gruppengeschwindigkeit des Informationsträgers, also kleiner oder gleich der Lichtgeschwindigkeit. Wenn also jemand von der Erde mittels Laserstrahl die Lottozahlen auf den Mond übermitteln will (beispielsweise kodiert in der Frequenz des verwendeten Laserlichts) und einen Strahl verwendet, der die geforderte Energiemenge innerhalb einer Sekunde abstrahlt, so vergeht (a) eine Sekunde, bis die Energie abgestrahlt wurde, und (b) weitere 1.2 Sekunden, bis sie den Mond erreicht hat. Vom Beginn der Übertragung an sind 2.2 Sekunden vergangen, bis der Astronaut das Signal empfangen hat, und die Informationsübertragunsgsgeschwindigkeit ist etwa halb so groß wie die Lichtgeschwindigkeit. Höhere Signalintensität führt zu höherer Übertragungsgeschwindigkeit, aber $c$ ist die Grenze.

(2)

Nehmen wir an, der Laser brauche eine Sekunde, um die geforderte Signalintensität zu erreichen (oder die Frequenz so einzustellen, wie es das Übertragungsprotokoll und die gerade ermittelte Lottozahl verlangt). Dann braucht die eigentliche Übertragung ebenfalls 2.2 Sekunden, und die Situation ist mehr oder weniger identisch zur obigen. Ein (theoretischer) Unterschied besteht: Nehmen wir an, ein gebe einen zweiten baugleichen Sender und einen zweiten Astronauten, der ebenfalls daran interessiert ist, die Lottozahlen möglichst unverzüglich zu erfahren. Zwischen Erde und Mond befinde sich nun eine Relaisstation mit einem Gerät, welches die erste halbe Sekunde des Signals ,,sammelt``, und dann ohne weitere Verzögerung auf einmal abstrahlt. Dann würde der erste Laser eine ganze Sekunde benötigen, um die Schwellenintensität zu erreichen, der zweite aber nur eine halbe. Das zweite Signal wäre schneller als das erste. Man könnte dann behaupten, daß, da der erste Sender offensichtlich Licht und damit auch Infomrationsübertragung mit Lichtgeschwindigkeit benutze, der zweite Sender offensichtlich seine Information schneller als der erste und damit mit Überlichtgeschwindigkeit übertrage. Dieser Einwand ist, wie man leicht einsieht, Unsinn. Der zweite Sender nutzt ja gerade die Tatsache aus, daß Sender eins die Information eben nicht mit Lichtgeschwindigkeit sondern deutlich langsamer überträgt. Die scheinbare Überlichtgeschwindigkeit resultiert hier aus einer simplen Verformung des Signals.

(3)

In diesem Fall ist es unmöglich, ein Übertragunsgsprotokoll zu finden, das nicht langsamer ist als in (2). Verwendet der Sender feste Pulsformen, so steht die zeitliche Position des Maximums schon bei Beginn des Pulses fest, und zwar nach allen Zeitpunkten, an denen eine Detektion nach (2) möglich wäre, denn um detektiert zu werden, muß das Maximum eine Intensität aufweisen, die oberhalb der Detektorschwelle liegt. Sender und Empfänger könnten sich etwa auf ein Sägezahnsignal (kontinuierlich intensiver werdend und dann abrupt abfallend) einigen, und auf ein Protokoll, nach dem die Information etwa in der Dauer des Anstiegs kodiert ist. Es ist leicht einzusehen, daß hier die maximale Übertragungsgeschwindigkeit ebenfalls $c$ nicht überschreiten kann.

(4)

Die maximale Übertragungsgeschwindigkeit ist hier durch die Geschwindigkeit gegeben, mit der der gesamte Puls übermittelt wurde. Das Problem, das sich hier ergibt (wann weiß der Empfänger, daß der gesamte Puls eingetroffen ist?), wurde oben beschrieben. Grundsätzlich können Sender und Empfänger sich einigen, nur Intensität aus einem bestimmten Zeitfenster als Signal zu betrachten, aber dann ist die Zeit, die die Übertragung braucht, gegeben durch die Zeit, die der Informationsträger benötigt plus der Breite dieses Zeitfensters, und die resultierende Geschwindigkeit ist auf jeden Fall kleiner als $c$.

(5)

Hier gilt dasselbe wie für (4).

Generell sollte man Fragen wie die nach der Geschwindigkeit, mit der Information übertragen werden kann, nie stellen, ohne ein Experiment oder ein Übertragungsprotokoll zu diskutieren, mit dem die in der Frage vorkommenden Phänomene auch experimentell erfaßt werden können.