Was sind Phasengeschwindigkeit und Gruppengeschwindigkeit?

Sei $\phi(x,t)$ ein Wellenpaket, welches aus einer Überlagerung von vielen $\phi_k(x,t)$ mit

$$\phi_k(x,t) = \exp\left\{ikx-i\omega t\right\}$$

bestehe. Dann ist die Phasengeschwindigkeit die Geschwindigkeit jeder einzelnen dieser Wellen:

$$v_P(k) = \frac{\omega(k)}{k}$$

also keine Zahl, sondern eine Funktion von $k$: Verschiedene Bestandteile des Wellenpakets haben also verschiedene Geschwindigkeiten, der Fachausdruck hierfür ist Dispersion. Die Gruppengeschwindigkeit ist definiert als:

$$v_G = \frac{d\omega}{dk}$$

Auch die Gruppengeschwindigkeit ist in der Regel eine Funktion von $k$, taugt also nicht als Maß für die Geschwindigkeit des Wellenpakets. Mit den weiter oben diskutierten Geschwindigkeitsbegriffen taugt zur Identifikation mit der Signalübertragungsgeschwindigkeit am ehesten die Frontgeschwindigkeit

$$v_F = \lim_{k\to\infty} v_P(k) = \lim_{k\to\infty} \frac{\omega(k)}{k}$$

welche die Geschwindigkeit ist, mit der sich (wie der Name sagt) die Wellenfront ausbreitet.

Das Folgende ist zitiert nach [SU92]:

,,Betrachten wir eine Welle $\phi(x,t)$, die sich in einem dispergierenden Medium (d.h. in einem Medium mit vom Wellenzahlvektor abhängigen Brechungsindex) ausbreitet. Die Phasengeschwindigkeit der Welle $\phi_k(x,t) = \exp\left\{ikx-i\omega t\right\}$ ist durch $kx-\omega t = k(x-v_Pt)$ definiert, also

$$v_P(k) = \frac{\omega(k)}{k}$$

Für die Signalübertragung ist $v_P$ nicht maßgebend, da der monochromatische Wellenzug $\phi_k(x,t)$ unendliche Länge aufweist und unmoduliert ist, also kein Signal trägt. Durch Überlagerung von Wellen verschiedener Frequenz, im einfachsten Fall durch Bildung von

$$\phi = \frac{1}{2}(\phi_{k-\Delta k}+\phi_{k+\Delta k}) = ... ...mega t) \\ \mathrm{Phase} && \mathrm{Amplitude} \end{array}$$

erhält man Wellenpakete, die sich mit Gruppengeschwindigkeit $v_G$ ausbreiten, wobei

$$v_G = \frac{d\omega}{dk}$$

Jedoch beschreibt auch die Gruppengeschwindigkeit die Signalausbreitung nur in den einfachsten Fällen korrekt. Es gibt bereits in der klassischen Elektrodynamik Situationen, in denen sowohl $v_P$ als auch $v_G$ die Lichtgeschwindigkeit überschreiten ($v_P>1$ z.B. bei der Wellenausbreitung in Hohlleitern, $v_P>1$ und $v_G>1$ bei Vorliegen anomaler Dispersion, vgl. [Jac62], [Bri60]). In diesen Fällen ist die Dispersion so ausgeprägt, daß der Begriff des Wellenpaketes nicht mehr sinnvoll ist, da das Paket durch die unterschiedliche Phasengeschwindigkeit der in ihm enthaltenen Frequenzanteile im Laufe der Ausbreitung völlig deformiert wird und damit zur Signalübertragung unverwendbar ist.

Unter diesen Verhältnissen können nur Diskontinuitäten des Feldes (z.B. plötzliches ein- oder Ausschalten) zum Signalisieren herangezogen werden. Diskontinuitäten breiten sich mit Frontgeschwindigkeit $v_F$

$$v_F = \lim_{k\to\infty} v_P(k) = \lim_{k\to\infty} \frac{\omega(k)}{k}$$

aus, mit der sich auch die Wellenfront, die die Bereiche $\phi\neq0$ von $\phi=0$ trennt, fortpflanzt.

In keinem Fall können Signale mit größerer Geschwindigkeit als $v_F$ übertragen werden, da sich z.B. die Diskontinuität des ersten Einschaltens der Welle (bzw. ihres Senders) nur mit $v_F$ ausbreitet (Signale sind stets als eine Art Diskontinuität anzusehen, da die zu einem gewissen Zeitpunkt getroffene Entscheidung, A oder non-A zu signalisieren, aus dem bis dahin vorliegenden Wellenzug nicht erschlossen werden kann).``

[SU92]

Weiterhin kann gezeigt werden, daß für ein diskontinuierliches, sich in positiver $x$-Richtung ausbreitendes Signal $\phi(x,t)$ dessen Amplitude zum Zeitpunkt $t=0$ im Bereich $x>0$ verschwindet, also $\phi(x>0,t=0)=0$, auch gelten muß:

$$\phi(x,t)=0 \qquad\mbox{für}\qquad x>\left(\lim_{k\to\infty} \frac{\omega(k)}{k}\right)t$$

was bedeutet, daß für alle Zeitpunkte $t>0$ die Welle $\phi(x,t)$ im durch die Frontgeschwindigkeit als ,,vor der Front liegend`` definierten Bereich ebenfalls verschwinden muß [Bri60,SU92].