Nächste Seite: Die relativistisch kovariante Form Aufwärts: Das klassische elektromagnetische Feld Vorherige Seite: Das klassische elektromagnetische Feld   Inhalt

Die Maxwellgleichungen im Vakuum

Wir schreiben die Maxwellgleichungen für den einfachsten Fall des Vakuums auf, wobei wir uns des sogenannten Heaviside-Lorentzschen Einheitensystems bedienen wollen. Dabei handelt es sich um ein rationalisiertes Gaußsches Einheitensystem, welches vornehmlich in der theoretischen Hochenergieteilchenphysik gebräuchlich ist. Wir verwenden weiterhin auch die nützliche Konvention, Längen und Zeiten in derselben Einheit zu messen und $ c=1$ zu setzen. Die Maxwellgleichungen in ihrer ursprünglichen Form beschreiben die Dynamik von elektrischen und magnetischen Feldern $ \vec{E}$ und $ \vec{B}$ bei vorgegebenen Ladungsverteilungen $ \rho$ und Stromdichteverteilungen $ \vec{j}$ . Bzgl. eines kartesischen Bezugssystems lauten sie

$\displaystyle \rot \vec{E}+ \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}=0, \quad \div \vec{B}=0,$ (1.3.1)
$\displaystyle \rot \vec{B}- \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}= \vec{j}, \quad \div \vec{E}=\rho.$ (1.3.2)

Die physikalische Bedeutung des elektrischen und magnetischen Feldes ergibt sich aus der durch sie verursachten Kraftwirkung auf Probeladungen. Auf eine Punktladung $ q$ wirkt demnach die Lorentzkraft

$\displaystyle \vec{F}=q \left (\vec{E}+\vec{v} \times \vec{B} \right ).$ (1.3.3)

Die Maxwellgleichungen zerfallen ihrer mathematischen Struktur nach in die in (1.3.1 wiedergegebenen homogenen Maxwellgleichungen, welche das Faradaysche Induktionsgesetz sowie die Nichtexistenz magnetischer Ladungsdichten beinhalten, sowie die inhomogenen Gleichungen (1.3.2), die die Erregung der Felder aus den elektrischen Ladungs- und Stromverteilungen beschreiben, also das um den Maxwellschen Verschiebungsstrom ergänzte Ampéresche Durchflutungsgesetz sowie das Gaußsche Gesetz umfassen.

Eine sehr wichtige Folgerung aus den inhomogenen Gleichungen ergibt sich, indem man die Divergenz des Ampére-Maxwellschen Durchflutungsgesetzes und dann in der entstehenden Gleichung die Zeitableitung des Gaußschen Gesetzes verwendet. Ohne Bezugnahme auf die Bewegungsgleichungen für die Ladungen und Ströme, die wir den Maxwellgleichungen hinzuzufügen hätten, wollten wir ein abgeschlossenes physikalisches System beschreiben, ergibt sich dann das Gesetz von der Erhaltung der elektrischen Ladung:

$\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t}+\div \vec{j}=0.$ (1.3.4)

Daß diese lokale Gleichung tatsächlich die Erhaltung der Ladung beinhaltet, erkennt man durch Integration dieser Kontinuitätsgleichung über ein beliebiges zeitlich unveränderliches Volumen $ V$ , dessen Berandungsfläche wir mit $ \partial V$ bezeichnen wollen und Anwendung des Gaußschen Integralsatzes:

$\displaystyle \frac{\dd Q_V}{\dd t} = \frac{\dd}{\dd t} \int_V \dd^3 \vec{x} \rho(t,\vec{x}) = -\int_{\partial V} \dd^2 \vec{A} \cdot \vec{j}(t,\vec{x}).$ (1.3.5)

Dabei haben wir die Flächennormalenvektoren $ \dd^2 \vec{A}$ wie in der Vektoranalysis üblich aus dem betrachteten Volumen $ V$ herausgerichtet. Gl. (1.3.5) besagt aber nun, daß die zeitliche Änderung der im Volumen $ V$ befindlichen elektrischen Ladung allein durch den Fluß elektrischer Ladungen durch dessen Oberfläche verursacht sein kann. Dehnt man das Volumen auf den ganzen Raum $ \R^3$ aus, ergibt sich auf der rechten Seite 0 , da wir annehmen dürfen, daß die Stromdichte im Unendlichen hinreichend schnell verschwindet. Demnach ist also die Gesamtladung erhalten, d.h. $ Q_{\R^3}=$const .

Die homogenen Gleichungen können durch die Einführung der Elektrodynamischen Potentiale identisch erfüllt werden. Dazu gehen wir von der Abwesenheit magnetischer Ladungen, also der Quellenfreiheit des magnetischen Feldes, aus und folgern die Existenz eines Vektorpotentials für das magnetische Feld:

$\displaystyle \vec{B}=\rot \vec{A}.$ (1.3.6)

Diese Gleichung ins Faradaysche Induktionsgesetz eingesetzt liefert dann

$\displaystyle \rot \left (\vec{E}+\frac{\partial{A}}{\partial t} \right )=0.$ (1.3.7)

Folglich muß der Ausdruck in der Klammer durch ein Skalarpotential $ \Phi$ darstellbar sein. Folglich läßt sich also das elektrische Feld durch

$\displaystyle \vec{E}=-\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}-\grad \Phi$ (1.3.8)

ausdrücken. Umgekehrt ist klar, daß bei beliebig vorgegebenen Potentialen $ \Phi$ und $ \vec{A}$ die durch (1.3.6) und (1.3.8) definierten Felder $ \vec{B}$ und $ \vec{E}$ die homogenen Maxwellgleichungen identisch erfüllen.

Nun ist es aber auch klar, daß für vorgegebene Felder $ \vec{E}$ und $ \vec{B}$ die Potentiale $ \Phi$ und $ \vec{A}$ nicht eindeutig bestimmt sind. Gemäß (1.3.6) können wir nämlich den Gradienten eines beliebigen Skalarfeldes $ \chi$ zu $ \vec{A}$ hinzufügen:

$\displaystyle \vec{A}'=\vec{A}+\grad \chi.$ (1.3.9)

Um auch (1.3.8) bei vorgegebenem Feld $ \vec{E}$ zu genügen, müssen wir dann lediglich $ \Phi$ durch

$\displaystyle \Phi'=\Phi-\frac{\partial \chi}{\partial t}$ (1.3.10)

ersetzen. Diese Symmetrie der durch die Potentiale ausgedrückten Gleichungen bezeichnet man als Eichsymmetrie. Sie wird bei der quantentheoretischen Behandlung der elektromagnetischen Erscheinungen noch eine herausragende Rolle spielen.

Wir wenden uns nun auch den inhomogenen Maxwellgleichungen zu. Setzen wir also (1.3.6) und (1.3.8) in die Gleichungen (1.3.2) ein, ergibt sich nach Verwendung der in kartesischen Koordinaten gültigen Identität

$\displaystyle \rot \rot \vec{A}=\grad \div \vec{A} - \Delta \vec{A}$ (1.3.11)

die folgende Form des Maxwell-Ampéreschen Gesetzes:

$\displaystyle \grad \left (\div \vec{A}+\frac{\partial \Phi}{\partial t} \right) + \Box \vec{A}=\vec{j},$ (1.3.12)

wo wir den d'Alembert-Operator

$\displaystyle \Box=\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\Delta$ (1.3.13)

eingeführt haben.

Offenbar können wir nun (1.3.12) vereinfachen, wenn wir die Nebenbedingung

$\displaystyle \div \vec{A}+\frac{\partial \Phi}{\partial t}=0$ (1.3.14)

verlangen. Diese Freiheit läßt uns die oben festgestellte Eichinvarianz. Nehmen wir nämlich an, diese Bedingung sei nicht erfüllt, können wir neue Potentiale gemäß (1.3.9) und (1.3.10) wählen und verlangen, daß für sie (1.3.14) gilt. Dies ergibt für das Eichfeld $ \chi$ die Forderung

$\displaystyle \Box \chi=\frac{\partial \Phi}{\partial t}+\div \vec{A}.$ (1.3.15)

Wir werden gleich sehen, daß wir für diese Gleichung stets eine Lösung angeben können. Freilich ist $ \chi$ dadurch noch nicht eindeutig bestimmt, denn wir können immer noch eine Eichtransformation mit einem Eichfeld $ \tilde{\chi}$ zulassen, für das $ \Box
\tilde{\chi}=0$ erfüllt ist. Die Nebenbedingung (1.3.14) schränkt dann jedoch die Eichinvarianz auf solche Eichfelder ein. Daher nennt man (1.3.14) eine Eichbedingung. Diese spezielle Eichbedingung wird als Lorenz-Eichbedingung bezeichnet1.3. Wir dürfen also davon ausgehen, daß (1.3.14) erfüllt ist. Dann vereinfacht sich (1.3.12) zu einer einfachen Wellengleichung für jede der drei Komponenten des Vektorpotentials $ \vec{A}$ :

$\displaystyle \Box \vec{A}=\vec{j}.$ (1.3.16)

Nunmehr benötigen wir nur noch das Gaußsche Gesetz in seiner Form für die Potentiale. Setzen wir also (1.3.8) in die letzte der Maxwellgleichungen (1.3.2) ein und verwenden wieder die Lorenz-Eichbedingung (1.3.14), finden wir

$\displaystyle -\div \left (\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}+\grad \Phi \righ...
...rtial (\div \vec{A})}{\partial t}-\Delta \Phi =\rho \Rightarrow \Box \Phi=\rho.$ (1.3.17)




Nächste Seite: Die relativistisch kovariante Form Aufwärts: Das klassische elektromagnetische Feld Vorherige Seite: Das klassische elektromagnetische Feld   Inhalt
FAQ Homepage