Nächste Seite: Lösung der quellenfreien Maxwellgleichungen Aufwärts: Das klassische elektromagnetische Feld Vorherige Seite: Die Maxwellgleichungen im Vakuum   Inhalt

Die relativistisch kovariante Form der Maxwellgleichungen

Betrachten wir (1.3.16) und (1.3.17) stellen wir fest, daß wir sie in relativistisch kovarianter Form schreiben können, denn der d'Alembertoperator (1.3.13) kann wie folgt durch einen Lorentz-invarianten Operator ausgedrückt werden:

$\displaystyle \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \Delta = g^{\mu \nu} \frac{\par...
...\nu}}:=g^{\mu \nu} \partial_{\mu} \partial_{\nu}=\partial^{\mu} \partial_{\mu}.$ (1.3.18)

Um (1.3.16) und (1.3.17) durch eine manifest Lorentzkovariante Gleichung auszudrücken, müssen wir also nur noch Ladungs- und Stromdichte zu dem Vierervektor $ (j^{\mu})=(\rho,\vec{j})^t$ und die Potentiale zum Viererpotential $ (A^{\mu})=(\Phi,\vec{A})^t$ zusammenfassen. Damit reduzieren sich die Maxwellgleichungen, geschrieben mit Hilfe der Potentiale, zu der folgenden inhomogenen Wellengleichung für das Viererpotential:

$\displaystyle \Box A^{\mu}=j^{\mu}.$ (1.3.19)

Freilich müssen sich nunmehr auch das elektrische und magnetische Feld und die bzgl. dieser physikalischen Größen geschriebenen Maxwellgleichungen relativistisch kovariant ausdrücken lassen. Wir könnten die oben durchgeführten Schritte nunmehr einfach durch die Komponenten des Viererpotentials ausdrücken und die kovariante Form ablesen. Wesentlich einfacher ist es jedoch, die allgemeine Kovarianz und die Eichinvarianz zuhilfe zu nehmen, um die relativistisch kovariante Form der Felder zu ermitteln. Gemäß (1.3.6) und (1.3.8) sind die Felder durch Ableitungen nach den Raumzeitvariablen gegeben. Durch Ableitungen lassen sich aus den Vierervektorkomponenten die Tensorkomponenten $ \partial_{\mu} A_{\nu}$ gewinnen. Weiter muß nun aber auch die Eichinvarianz der Felder gewährleistet sein. Die Eichtransformation (1.3.9) und (1.3.10) liest sich kovariant geschrieben wie folgt:

$\displaystyle {A'}^{\mu} = A^{\mu} - \partial^{\mu} \chi.$ (1.3.20)

Auf den tieferen Grund für die wesentliche Vereinfachung dieser Gleichungen im manifest kovarianten Kalkül werden wir im nächsten Kapitel noch zurückkommen, denn die Eichinvarianz hängt eng mit der Darstellungstheorie der Poincarégruppe zusammen, die wir zum Ausgangspunkt nehmen wollen, um eine manifest kovariante relativistische Quantentheorie zu formulieren.

Aus den og. Tensorkomponenten läßt sich nun aber sofort ein eichinvarianter Ausdruck gewinnen, nämlich der Faraday- oder Feldstärketensor:

$\displaystyle F_{\mu \nu}:=\partial_{\mu} A_{\nu}-\partial_{\nu} A_{\mu}.$ (1.3.21)

Als total antisymmetrischer Tensor zweiter Stufe besitzt dieser Tensor auch gerade sechs unabhängige Komponenten, entsprechend den sechs Feldfreiheitsgraden $ \vec{E}$ und $ \vec{B}$ im ,,Dreierformalismus``. Den Zusammenhang zu $ \vec{E}$ und $ \vec{B}$ können wir durch Zerlegung in zeitliche und räumliche Komponenten ersehen:

\begin{displaymath}\begin{split}{F_{0}}^{n} &= \partial_0 A^{n}-\partial^{n} A_0...
...psilon_{mnr} (\rot \vec{A})_r = \epsilon_{mnr} B^r. \end{split}\end{displaymath} (1.3.22)

Relativistisch gesehen haben wir es also nicht mit zwei getrennten elektrischen und magnetischen Feldern zu tun, handelt es sich doch lediglich um Komponenten des kovarianten Faradaytensors. Wir sprechen daher auch lieber vom elektromagnetischen Feld oder der elektromagnetischen Wechselwirkung. Besonders übersichtlich ergibt sich der Zusammenhang zwischen elektrischem und magnetischem Feld und dem kovarianten Feldstärketensor mittels ko- oder kontravarianten Komponenten, wo er als antisymmetrische Matrix wie folgt geschrieben werden kann:

$\displaystyle (F^{\mu \nu})=\begin{pmatrix}0 & -E^1 & -E^2 & -E^3  E^1 & 0 & -B^3 & B^2  E^2 & B^3 & 0 & -B^1  E^3 & -B^2 & B^1 & 0 \end{pmatrix}.$ (1.3.23)

Das Transformationsverhalten der elektromagnetischen Feldgrößen unter Lorentztransformationen ist nunmehr ebenfalls offensichtlich. Das Viererpotential transformiert sich als Vektorfeld. Ist also der Wechsel von einem Inertialsystem zu einem anderen durch die Lorentztransformation gemäß (1.1.11), d.h. im Matrizenkalkül $ x'=\Lambda x$ , gegeben, lauten die Komponenten des Viererpotentialfeldes im neuen Bezugssystem

$\displaystyle A'(x')=\Lambda A(x)=\Lambda A(\Lambda^{-1} x').$ (1.3.24)

Eine physikalische Größe mit einem solchen Transformationsverhalten bezeichnen wir als Vierervektorfeld. Entsprechend transformiert sich der Feldstärketensor gemäß

$\displaystyle {F'}^{\mu \nu}(x')={\Lambda^{\mu}}_{\rho} {\Lambda^{\nu}}_{\sigma} F^{\rho \sigma}(\Lambda^{-1} x'),$ (1.3.25)

also wie ein Tensorfeld zweiter Stufe. Insbesondere ergibt sich daraus für einen drehungsfreien Boost (1.1.23) für die elektrischen und magnetischen Feldkomponenten

\begin{displaymath}\begin{split}\vec{E}' &= (\vec{n} \vec{E}) \vec{n} + \frac{\v...
...{n}) + \vec{v} \times \vec{E}}{\sqrt{1-\vec{v}^2}}. \end{split}\end{displaymath} (1.3.26)

Nun wollen wir noch die Maxwellgleichungen in kovarianter Form mittels des Feldstärketensors schreiben. Dies hat den Vorteil, daß es sich um eichinvariante Gleichungen handelt. Die Maxwellgleichungen (1.3.1) müssen sich als Differentialgleichungen 1. Ordnung des Feldstärketensors ausdrücken lassen. Aus dem Faradaytensor läßt sich durch Hodge-Dualisierung ein zweiter antisymmetrischer Tensor zweiter Stufe bilden, nämlich

$\displaystyle (F^{\dagger})^{\mu \nu}=\epsilon^{\mu \nu \rho \sigma} F_{\rho \sigma}.$ (1.3.27)

Dabei sind die Komponenten des Levi-Civita-Tensors dadurch definiert, daß $ \epsilon^{0123}=1$ und das Symbol ansonsten total antisymmetrisch unter Vertauschung seiner vier Indizes sein soll. Der Levi-Civita-Tensor ist übrigens nur ein Tensor bzgl. unimodularer Transformationen, also solchen Transformationen mit Determinante $ 1$ , hinsichtlich der Lorentzgruppe also nur bzgl. der SO$ (1,3)$ , denn offenbar gilt für beliebige Transformationsmatrizen $ \Lambda$

$\displaystyle {\epsilon'}^{\mu \nu \rho \sigma}={\Lambda^{\mu}}_{\mu'} {\Lambda...
...lon^{\mu' \nu' \rho' \sigma'} = \det \Lambda \; \epsilon^{\mu \nu \rho \sigma}.$ (1.3.28)

Unter allgemeinen linearen Transformationen handelt es sich genau genommen um eine Tensordichte. Für die total kovarianten Komponenten gilt aufgrund derselben Überlegung

$\displaystyle \epsilon_{\mu \nu \rho \sigma}=\det g \; \epsilon^{\mu \nu \rho \sigma} =-\epsilon^{\mu \nu \rho \sigma}.$ (1.3.29)

Es ist wichtig zu betonen, daß die hier festgelegte Konvention nicht einheitlich in der Literatur eingehalten wird, so daß bei Vergleich von Formeln aus verschiedenen Quellen Vorsicht geboten ist. Wir folgen der Konvention in [PS95].

Wir können nun also aus dem Fardaytensor und seinem Dual durch Kontraktion mit dem Vierergradienten $ \partial_{\mu}$ zwei Vektorausdrücke bilden. Aufspalten dieser Gleichungen in räumliche und zeitliche Komponenten und Vergleich mit den Maxwellgleichungen (1.3.1-1.3.2) ergibt dann deren relativistisch kovariante Form

$\displaystyle \partial_{\mu} (F^{\dagger})^{\mu \nu}=0, \quad \partial_{\mu} F^{\mu \nu}=j^{\nu}.$ (1.3.30)

Die Kontinuitätsgleichung (1.3.4), die wie oben gezeigt dem Satz von der Erhaltung der elektrischen Ladung entspricht, ergibt sich aus der zweiten Gleichung sofort durch weitere Kontraktion mit $ \partial_{\nu}$ und der Tatsache, daß der Feldstärketensor antisymmetrisch ist:

$\displaystyle \partial_{\nu} j^{\nu} = \partial_{\nu} \partial_{\mu} F^{\mu \nu}=0.$ (1.3.31)

Wir wenden uns nun einigen einfachsten Grundlagen der Lösungstheorie der Maxwellgleichungen, die uns später in der Quantenfeldtheorie noch nützlich sein werden, zu.




Nächste Seite: Lösung der quellenfreien Maxwellgleichungen Aufwärts: Das klassische elektromagnetische Feld Vorherige Seite: Die Maxwellgleichungen im Vakuum   Inhalt
FAQ Homepage