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Lösung der quellenfreien Maxwellgleichungen

Beginnen wir mit dem Fall des ladungs- und stromfreien Raums, also der Form sich im freien Raum ausbreitender elektromagnetischer Wellen. Betrachten wir dazu die Wellengleichung (1.3.19) für das Viererpotential, wobei allerdings darauf zu achten ist, daß die Lorenz-Eichbedingung (1.3.14) als Nebenbedingung erfüllt sein muß. Kovariant geschrieben lautet sie

$\displaystyle \partial_{\mu} A^{\mu}=0.$ (1.3.32)

Wie im Anschluß an (1.3.15) bemerkt, legt jedoch diese Bedingung das Viererpotential noch nicht eindeutig fest. Vielmehr haben wir noch die Freiheit, durch eine Eichtransformation $ A_{\mu}
\rightarrow A_{\mu}+\partial_{\mu} \tilde{\chi}$ eine Komponente des Viererpotentials zu eliminieren. Um auch dies Lorentz-kovariant zu formulieren, verlangen wir

$\displaystyle n_{\mu} A^{\mu}=0,$ (1.3.33)

wobei $ n^{\mu}$ ein von 0 verschiedener Vierervektor ist. Je nach Wahl eines zeit- oder raumartigen Vektors nennt man eine solche Eichbedingung eine zeit- bzw. raumartige Eichbedingung. Wie wir im nächsten Abschnitt sehen werden, ist eine natürliche Wahl $ (n^{\mu})=(1,0,0,0)$ . Dann verlangen wir also $ A^0=\Phi=0$ . Diese Wahl nennt man in der Literatur auch die Strahlungseichung. Zusammen mit (1.3.32) folgt daraus, daß in dieser Eichung auch

$\displaystyle \div \vec{A}=0$ (1.3.34)

gilt.

Schreiben wir nun das verbliebene Dreierpotential in Form eines Fourierintegrals

$\displaystyle \vec{A}(t,\vec{x})= \int_{\R^3} \frac{\dd^3 \vec{k}}{(2 \pi)^3 2 \omega(\vec{k})} \vec{a}(t,\vec{k}) \exp(\ii \vec{k} \vec{x})$   mit$\displaystyle \quad \omega(\vec{k})=\vert\vec{k}\vert$ (1.3.35)

folgt für die Komponenten1.4

$\displaystyle (\partial_t^2 + \vec{k}^2) \vec{a}=0,$ (1.3.36)

also

$\displaystyle \vec{a}(t,\vec{k})=\vec{a}_1(\vec{k}) \exp[-\ii \omega(\vec{k}) t] + \vec{a}_2(\vec{k}) \exp[+\ii \omega(\vec{k}) t]$   mit$\displaystyle \quad \omega(\vec{k})=\vert\vec{k}\vert.$ (1.3.37)

Die Nebenbedingung (1.3.34) verlangt dann nur noch

$\displaystyle \vec{k} \cdot \vec{a}_j(\vec{k}) = 0,$ (1.3.38)

Seien also $ \vec{\epsilon}(\vec{k},\alpha)$ mit $ \alpha \in \{1,2\}$ zwei zu $ \vec{k}$ senkrechte voneinander linear unabhängige reelle Polarisationsvektoren, so ist die allgemeine Lösung der quellenfreien Maxwellgleichungen (in Strahlungseichung) also durch (1.3.35) mit

$\displaystyle \vec{a}(t,\vec{k})=\sum_{\alpha=1}^{2} \vec{\epsilon}(\vec{k},\al...
..._{2,\alpha}(\vec{k}) \exp[+\ii \omega(\vec{k}) t+\ii \vec{k} \vec{x}] \right \}$ (1.3.39)

gegeben. Für das Folgende ist es bequem, diese Vektoren zueinander orthogonal zu wählen, und zwar so, daß für $ \alpha \in \{1,2\}$

$\displaystyle \vec{\epsilon}(\vec{k},\alpha) \cdot \vec{\epsilon}(\pm \vec{k},\alpha')=( \pm 1)^{\alpha} \delta_{\alpha \alpha'}$ (1.3.40)

und

$\displaystyle \vec{\epsilon}(\vec{k},1) \times \vec{\epsilon}(\vec{k},2)=\frac{...
...d \vec{\epsilon}(-\vec{k},\alpha)=(-1)^{\alpha} \vec{\epsilon}(+\vec{k},\alpha)$ (1.3.41)

gelten. Jedenfalls zeigt (1.3.39), daß nur zwei der ursprünglich vier Komponenten des Viererpotentials physikalisch sind, nämlich zwei voneinander linear unabhängige transversal polarisierten Wellen. Um (1.3.35) wenigstens hinsichtlich der Integration und der Exponentialfunktionen kovariant zu machen, können wir dies auch in der Form

\begin{displaymath}\begin{split}\vec{A}(t,\vec{x})&=\int_{\R^3} \frac{\dd^3 \vec...
...), \quad B_{\alpha}(\vec{k})=A_{2,\alpha}(-\vec{k}) \end{split}\end{displaymath} (1.3.42)

schreiben. Das Integralmaß können wir in der Gestalt

$\displaystyle \frac{\dd^3 \vec{k}}{2 \omega(\vec{k})} = \dd^4 k \; \Theta(k^0) \delta(k^2)$ (1.3.43)

schreiben. Daraus ergibt sich, daß dieses Integralmaß invariant unter eigentlich orthochronen Lorentz-Transformationen ist.

Da die $ A^{\mu}$ reelle Felder sind, muß bei reeller Wahl von $ \vec{\epsilon}(\vec{k},\alpha)$ noch gelten

$\displaystyle B_{\alpha}(\vec{k})=A_{\alpha}^*(\vec{k}).$ (1.3.44)

Die endgültige Form der Lösung der freien Maxwellgleichungen lautet somit also

$\displaystyle \vec{A}(t,\vec{x})=\int_{\R^3} \frac{\dd^3 \vec{k}}{(2 \pi)^3 2 \...
..._{\alpha}^{*}(\vec{k}) \exp[+\ii k x] \right \}_{k^0=\omega(\vert\vec{k}\vert)}$ (1.3.45)

Die spezifische Gestalt von $ A_{\alpha}(\vec{k})$ muß durch Anfangsbedingungen festgelegt werden. Wir werden jedoch für die Quantenfeldtheorie lediglich diese allgemeine Lösungsform der freien Maxwellgleichungen benötigen.




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