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Lösung der Maxwellgleichungen bei vorgegebenen Quellen

Wenden wir uns nun der Lösung der Maxwellgleichungen bei vorgegebenen Ladungen und Strömen zu. In Lorenz-Eichung haben wir lediglich die Wellengleichung (1.3.19) zu lösen. Wir gelangen zum Ziel, wenn wir eine Greensche Funktion des d'Alembert-Operators finden können, d.h. eine Funktion $ G$ , die

$\displaystyle \Box_x G(x-x')=\delta^{(4)}(x-x')$ (1.3.46)

erfüllt. Dann wird (1.3.19) offenbar durch

$\displaystyle A^{\mu}(x)=\int_{\R^4} \dd^4 x' G(x-x') j^{\mu}(x')$ (1.3.47)

gelöst. Daß wir die Greensche Funktion in der spezifischen Gestalt als Funktion von $ x-x'$ ansetzen können, ergibt sich daraus, daß die rechte Seite von (1.3.46) lediglich von dieser Koordinatendifferenz abhängt. Wir suchen ohnehin nur eine partikuläre Lösung der Gleichung. Die Greensche Funktion selbst ist freilich nur bis auf eine Funktion, die die quellenfreie Wellengleichung erfüllt, bestimmt.

Hier wollen wir die retardierte Greensche Funktion aufsuchen, die der physikalischen Situation entspricht, daß zu einer bestimmten Zeit $ t_0$ irgendwelche Quellen ``eingeschaltet,, werden. Die Kausalitätsbedingung der Physik verlangt dann, daß $ A^{\mu}$ (genauer gesagt die eichinvarianten Feldkomponenten $ F_{\mu \nu}$ !) retardierte Funktionale der Quellen sein müssen, d.h. $ A^{\mu}(t,\vec{x})$ kann nur von den Quellen zu früheren Zeiten $ t'<t$ abhängen. Dies wird durch den Ansatz

$\displaystyle G(x-x')=\Theta(t-t') g(x-x')$ (1.3.48)

erreicht. Wie wir gleich sehen werden, bestimmt dies $ g$ eindeutig.

Um $ G$ zu finden, setzen wir $ z=x-x'$ und schreiben

$\displaystyle G(z)=\int_{\R^3} \frac{\dd^3 \vec{k}}{{(2 \pi)^3}} \tilde{G}(z^0,\vec{k}) \exp(\ii \vec{k} \cdot \vec{z}).$ (1.3.49)

Aus (1.3.46) folgt dann

$\displaystyle \left (\frac{\dd^2}{\dd (z^0)^2}+\vec{k}^2 \right ) \tilde{G}(z^0,\vec{k})=\delta(z^0).$ (1.3.50)

Außer bei $ z^0=0$ besitzt die Gleichung die Lösung

$\displaystyle \tilde{G}(z^0,\vec{k}) = A \exp [-\ii \omega(\vec{k}) z^0]+B \exp[+\ii \omega(\vec{k}) z^0],$ (1.3.51)

wobei $ A$ und $ B$ für $ z^0<0$ und $ z^0>0$ jeweils unabhängig zu bestimmende Konstanten sind. Wegen des Ansatzes (1.3.48) ist $ A=B=0$ für $ z^0<0$ . Wir dürfen weiter annehmen, daß $ \tilde{G}(z^0,\vec{k})$ als Funktion von $ z^0$ bei $ z^0=0$ stetig ist. Durch Integration von (1.3.50) bzgl. $ z^0$ über ein sehr kleines Intervall $ (-\epsilon,\epsilon)$ ergibt sich daraus die Sprungbedingung für die Ableitung:

$\displaystyle \frac{\dd}{\dd z^0}\tilde{G}(0^+,\vec{k})-\frac{\dd}{\dd z^0}\tilde{G}(0^-,\vec{k}) = 1.$ (1.3.52)

Dies in (1.3.51) eingesetzt, ergibt

$\displaystyle A+B=0, \quad -\ii (A-B) \omega(\vec{k})=1,$ (1.3.53)

d.h.

$\displaystyle A=-B=\frac{\ii}{2 \omega(\vec{k})}.$ (1.3.54)

Es ist also

$\displaystyle G(z)=\ii \Theta(z^0) \int \frac{\dd^3 \vec{k}}{(2 \pi)^3 2 \omega...
...omega(\vec{k}) z^0]-\exp[\ii \vec{k} \vec{z}+\ii \omega(\vec{k}) z^] \right \}.$ (1.3.55)

Dieses Integral existiert freilich nicht im üblichen Sinne und ist als Distribution aufzufassen, wie es für eine Greensche Funktion i.a. auch zu erwarten ist. Jedenfalls ist sie ein Skalar unter eigentlich orthochronen Lorentztransformationen. Die Distribution läßt sich in geschlossener Form berechnen. Dazu wählen wir für die $ \vec{k}$ -Integration ein Kugelkoordinatensystem $ (K,\vartheta,\varphi)$ mit der Polarrichtung in Richtung von $ \vec{z}$ und führen einen regulierenden Faktor $ \exp(-\epsilon K)$ ( $ \epsilon>0$ ) ein. Dann ist

$\displaystyle g(z)=\frac{\ii}{8 \pi^2} \int_0^{\infty} \dd K K \int_{-1}^1 \dd u \exp(-\epsilon K) [\exp(\ii K z u-\ii K z^0)-\exp(\ii K z u+\ii K z^0)],$ (1.3.56)

wobei wir $ K:=\vert\vec{k}\vert=\omega(\vec{k})$ benutzt, $ u=\cos \vartheta$ gesetzt und die triviale Integration über $ \varphi$ ausgeführt haben. Bei endlichem Regulator $ \epsilon>0$ ist

$\displaystyle g(z)=\frac{1}{4 \pi^2 z} \left [ \frac{\epsilon}{\epsilon^2+(z_0-z)^2}-\frac{\epsilon}{\epsilon^2+(z_0+z)^2} \right ].$ (1.3.57)

Für $ \epsilon \rightarrow 0^+$ ergibt sich

$\displaystyle g(z)=\frac{1}{4 \pi z} [\delta(z_0-z)-\delta(z_0+z)].$ (1.3.58)

Es ist also wegen $ z=\vert\vec{z}\vert \geq 0$

$\displaystyle G(z)=\frac{1}{4 \pi z} \delta(z_0-z)$ (1.3.59)

oder kovariant geschrieben

$\displaystyle G(z)=\frac{1}{2 \pi} \Theta(z_0) \delta(z_{\mu} z^{\mu}).$ (1.3.60)

Setzen wir (1.3.59) in (1.3.47) ein, ergibt sich schließlich die gesuchte Lösung der Maxwellgleichungen bei vorgegebenen Ladungs- und Stromverteilungen:

$\displaystyle A^{\mu}(t,\vec{x})=\int_{\R^3} \dd^3 \pvec{x} \; \frac{j^{\mu}(t-\vert\vec{x}-\pvec{x}\vert,\pvec{x})}{4 \pi \vert\vec{x}-\pvec{x}\vert},$ (1.3.61)

wobei charakteristischerweise die Quellen zu dem zum betrachteten Aufpunkt $ \vec{x}$ gehörigen retardierten Zeitpunkt

$\displaystyle t_{\text{ret}}=t-\vert\vec{x}-\vec{x}'\vert$ (1.3.62)

zu nehmen sind, zeitliche Änderungen des elektromagnetischen Feldes aufgrund sich zeitlich ändernder Quellen also mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten. Daher wird die hier betrachtete Greensche Funktion genauer auch als retardierte Greensche Funktion und die Potentiale (1.3.61) als die retardierten Potentiale bezeichnet. Wir werden später noch mit andersartigen Greenschen Funktionen zu tun haben, die sich von der retardierten durch eine Lösung der homogenen Wellengleichung unterscheiden.

Wir müssen schließlich noch die innere Konsistenz unserer Herleitung sicherstellen, indem wir nachweisen, daß die Lorenz-Eichbedingung (1.3.32) erfüllt ist. Dazu schreiben wir (1.3.61) in der unintegrierten Form

\begin{displaymath}\begin{split}\partial_{\mu} A^{\mu}(x) &=\int_{\R^4} \dd^4 x'...
...rac{\partial j^{\mu}(x')}{\partial {x'}^{\mu}} = 0. \end{split}\end{displaymath} (1.3.63)

Im letzten Schritt haben wir die für die Lösbarkeit der Maxwellgleichungen notwendige Kontinuitätsgleichung (1.3.31), die dem Gesetz von der Erhaltung der elektrischen Ladung entspricht, verwendet. Hieraus wird bereits der enge Zusammenhang der Kontinuitätsgleichung für den Strom und der Eichinvarianz deutlich. Wir werden im nächsten Abschnitt diesen Zusammenhang aus Sicht des Noetherschen Theorems noch genauer ausarbeiten.




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