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Kanonische Formulierung der Elektrodynamik

Wie jedes dynamische System können auch die elektromagnetischen Felder und ihre Quellen mit Hilfe des Hamiltonschen kanonischen Formalismusses behandelt werden. Dabei wird das Prinzip der kleinsten Wirkung herangezogen, um die Feldgleichungen mittels eines Variationsprinzips zu formulieren. Dies hat zum einen den Vorteil, daß wir auf dem Wege der ,,kanonischen Quantisierung`` recht schnell zu einer Quantentheorie der Felder gelangen können, zum anderen ermöglicht es dieses Vorgehen auch, daß wir wichtige Observablen des Systems wie Energie, Impuls und Drehimpuls aus dem durch das Noether-Theorem gegebenen Zusammenhang zwischen Symmetrien und Erhaltungssätzen ableiten können. Es sei bereits hier betont, daß die kanonische Quantisierung mehr als ein heuristisches Prinzip als eine systematische Herleitung einer Quantentheorie aus einer klassischen Theorie anzusehen ist. Wir werden daher im nächsten Kapitel nochmals die relativistische Quantentheorie aus gruppentheoretischer Sicht systematisch zu behandeln haben.

Wir gehen vom Viererpotential als elementarem Feld zur Beschreibung des elektromagnetischen Feldes aus. Das Wirkungsfunktional für die freien Felder sollte ein quadratisches Funktional sein. Setzen wir es als Lorentz-invariante Größe an, können wir zudem sicher sein, daß wir kovariante Gleichungen erhalten. Außerdem sollte die Wirkung auch eichinvariant sein. Dies legt es nahe, für das freie Feld den Ansatz

$\displaystyle \Lag_0=-\frac{1}{4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}, \quad F_{\mu \nu}=\partial_{\mu} A_{\nu}-\partial_{\nu} A_{\mu}$ (1.3.64)

zu wählen. In der Tat, variieren wir das Wirkungsfunktional

$\displaystyle S_0[A_{\mu}]=\int_{\R^4} \dd^4 x \Lag_0,$ (1.3.65)

erhalten wir

$\displaystyle \delta S_0=-\frac{1}{2} \int_{\R^4} \dd^4 x F^{\mu \nu} \delta F_...
...^4 x F^{\mu \nu} (\partial_{\mu} \delta A_{\nu}-\partial_{\nu} \delta A_{\mu}).$ (1.3.66)

Vertauschen wir im letzten Term die Summationsindizes und verwenden die Antisymmetrie des Feldstärketensors $ F^{\mu \nu}$ , ergibt sich nach einer partiellen Integration

$\displaystyle \delta S_0=-\int_{\R^4} \dd^4 x F^{\mu \nu} \partial_{\mu} \delta A_{\nu}=+\int_{\R^4} \dd^4 x \delta A^{\nu} \partial_{\mu} F^{\mu \nu}.$ (1.3.67)

Da wir weiter dem Hamiltonschen Prinzip gemäß die $ A^{\nu}$ unabhängig voneinander variieren dürfen, wird die Wirkung also stationär, wenn

$\displaystyle \delta S=0 \Rightarrow \partial_{\mu} F^{\mu \nu}=0$ (1.3.68)

ist, und das sind in der Tat die Maxwellgleichungen (1.3.30), denn der ersten Gleichung ist bereits durch den Ansatz des Feldstärketensors als Viererrotation eines Vektorpotentials Rechnung getragen, und die Hamiltonschen kanonischen Gleichungen geben die zweite Gleichung für den quellenfreien Raum ($ j^{\mu}=0$ ).

Der Wechselwirkung mit vorgegebenen äußeren Quellen $ j^{\mu}$ wird durch Hinzufügen des Terms

$\displaystyle \Lag_{\text{int}}=-A_{\nu} j^{\nu}$ (1.3.69)

Rechnung getragen. Denn dann ist die Variation der Wirkung durch

$\displaystyle \delta S=\delta S_0+\delta S_{\text{int}}=\int_{\R^4} \dd^4 x \delta A^{\nu} \left ( \partial_{\mu} F^{\mu \nu}-j^{\nu} \right)$ (1.3.70)

gegeben, und das Hamiltonsche Prinzip verlangt das Verschwinden der Klammer, also

$\displaystyle \partial_{\mu} F^{\mu \nu}=j^{\nu},$ (1.3.71)

und das ist in der Tat die kovariant geschriebene Form der inhomogenen Maxwellgleichungen (1.3.30).

Wir müssen weiter noch die Eichinvarianz des Wirkungsfunktionals überprüfen1.5. Das freie Funktional $ S_{0}$ ist eichinvariant, denn es hängt nur vom eichinvarianten Feldstärketensor $ F_{\mu \nu}$ ab. Der Wechselwirkungsterm (1.3.69) verlangt allerdings eine gesonderte Untersuchung, denn hier tritt das Vektorpotential selbst auf. Führen wir also eine Eichtransformation (1.3.20) durch, wobei die äußeren Quellen ungeändert bleiben. Nun ist

$\displaystyle S_{\text{int}}[{A'}_{\mu}]=-\int_{\R^4} \dd^4 x {A'}_{\mu} j^{\mu...
...int_{\R^4} \dd^4 x \left (A_{\mu} j^{\mu} -\chi \partial_{\mu} j^{\mu} \right).$ (1.3.72)

Dies stimmt für beliebige $ \chi$ nur dann mit $ S_{\text{int}}[A_{\mu}]$ überein, wenn

$\displaystyle \partial_{\mu} j^{\mu}=0,$ (1.3.73)

also $ j^{\mu}$ ein erhaltener Strom ist. Dies haben wir ja bereits oben mehrfach festgestellt: Die Maxwellgleichungen sind nur konsistent, wenn der elektromagnetische Viererstrom die Kontinuitätsgleichung (1.3.73) erfüllt.




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