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Das Noether-Theorem

Wir wenden uns nun dem für das folgende wichtigen Zusammenhang zwischen Symmetrien der Wirkung und Erhaltungssätzen zu. Wie wir nämlich sogleich sehen werden, zieht jede kontinuierliche Symmetrie des Wirkungsfunktionals einen Erhaltungssatz nach sich und gestattet die Definition so wichtiger Größen wie Impuls, Energie und Drehimpuls vermöge der Poincaréinvarianz der relativistischen Dynamik.

Betrachten wir also eine ,,infinitesimale`` Symmetrietransformation der Raumzeitkoordinaten und Felder von der Form

$\displaystyle {x'}^{\mu}=x^{\mu} + \delta \eta^a t_a^{\mu}(x), \quad {A'}^{\mu}(x')=A^{\mu}(x) + \delta \eta^a T_a^{\mu}[A(x)].$ (1.3.74)

Dabei sind die $ \delta \eta^a$ irgendwelche infinitesimale voneinander unabhängige Parameter, die die Transformation festlegen (z.B. Winkelkoordinaten bei Rotationen und dgl.). Zur Berechnung der Variation der Wirkung benötigen wir zunächst die Variation der Ableitung der Felder, die nicht wie beim Hamiltonschen Prinzip mit dem Ableitungsoperator vertauscht, da nun ja die Raumzeit-Koordinaten selbst mitvariiert werden. Es gilt

$\displaystyle \delta (\partial_{\nu} A^{\mu})=\partial_{\nu}' {A'}^{\mu}(x')-\p...
...partial {x'}^{\nu}} \partial_{\rho} {A'}^{\mu}(x') - \partial_{\nu} A^{\mu}(x).$ (1.3.75)

Nun ist bis auf Größen von der Ordnung $ \mathcal{O}(\delta
\eta^2)$

$\displaystyle \frac{\partial x^{\rho}}{\partial {x'}^{\nu}}={\delta^{\rho}}_{\nu} - \delta \eta^{a} \partial_{\nu} t_a^{\rho},$ (1.3.76)

wovon man sich leicht dadurch überzeugt, daß dieser Ausdruck bis auf Größen der Ordnung $ \mathcal{O}(\delta
\eta^2)$ die Identität

$\displaystyle \frac{\partial x^{\rho}}{\partial {x'}^{\nu}} \frac{\partial {x'}^{\nu}}{\partial x^{\sigma}}={\delta^{\rho}}_{\sigma}$ (1.3.77)

erfüllt. Verwenden wir also (1.3.74) und (1.3.76) in (1.3.75), finden wir schließlich

$\displaystyle \delta(\partial_{\nu} A^{\mu})=\delta \eta^a \left \{\partial_{\n...
...{\mu}[A(x)] - [\partial_{\nu} t_a^{\rho}(x)] (\partial_\rho A^{\mu}) \right \}.$ (1.3.78)

Wir benötigen nun noch die Variation des Vierervolumenelements

$\displaystyle \delta \dd^4 x= \dd^4 x'-\dd^4 x=\left [\det \left (\frac{\partial {x'}}{\partial x}\right ) - 1 \right ] \dd^4 x.$ (1.3.79)

Dazu denken wir uns die Determinante in Form der Matrixelemente hingeschrieben. Es ist klar, daß bis auf Größen der Ordnung $ \mathcal{O}(\delta
\eta^2)$ nur das Produkt der Diagonalelemente beiträgt. Es folgt schließlich

$\displaystyle \delta \dd^4 x'=\delta \eta^a \partial_{\mu} t_a^{\mu} \dd^4 x.$ (1.3.80)

Unter Verwendung von (1.3.76, 1.3.78 und 1.3.80) finden wir schließlich nach einigen elementaren Umformungen und partiellen Integrationen, wobei wir annehmen, daß der Integrand für $ x
\rightarrow \infty$ hinreichend schnell verschwindet, für die Variation der Wirkung

$\displaystyle \delta S=\int_{\R^4} \dd^4 x \delta \eta^a \left \{ \left [\frac{...
...\partial_{\mu} A^{\rho} - \Lag \delta_{\mu}^{\nu} \right ] t_a^{\mu} \right \}.$ (1.3.81)

Da die $ \delta \eta^a$ voraussetzungsgemäß voneinander unabhängig sind, muß das Integral für jedes $ a$ verschwinden, wenn eine Symmetrie vorliegen soll, und zwar unabhängig vom Feld $ A^{\mu}$ , und das bedeutet, daß der Ausdruck in der geschweiften Klammer als Viererdivergenz eines Stromes $ j_a^{\sigma}$ zu schreiben sein muß:

$\displaystyle \left [\frac{\partial \Lag}{\partial A^{\mu}} - \partial_{\nu} \f...
... - \Lag \delta_{\mu}^{\nu} \right ] t_a^{\mu} = \partial_{\sigma} j_a^{\sigma}.$ (1.3.82)

Führen wir die Variationsableitung der Wirkung vermöge

$\displaystyle \frac{\delta S}{\delta A^{\mu}}:=\frac{\partial \Lag}{\partial A^{\mu}} - \partial_{\nu} \frac{\partial \Lag}{\partial (\partial_{\nu} A^{\mu})}$ (1.3.83)

ein, sehen wir, daß nach Ausführung der Ableitung $ \partial_{\nu}$ (1.3.82) in der Form

$\displaystyle \frac{\delta S}{\delta A^{\mu}} (T_a^{\mu}-t_a^{\mu})=\partial_{\nu}j_a^{\nu}$ (1.3.84)

geschrieben werden kann.

Da sich nun weiter die Feldgleichungen gerade aus der Stationarität des Wirkungsfunktionals unter Variation der $ A^{\mu}$ ergeben, d.h. dem Verschwinden der Variationsableitung (1.3.83), folgt sofort, daß für Lösungen der Feldgleichungen

$\displaystyle \partial_{\nu} j_a^{\nu}=0$ (1.3.85)

gilt. Dies ist der Inhalt des Noether-Theorems [Noe18]:

Zu jeder Einpararameteruntergruppe einer Liegruppendarstellung auf den Feldern und Raumzeitkoordinaten, bzgl. der die Wirkung invariant bleibt, existiert ein erhaltener Strom.

Betrachten wir als einfachsten Fall die Translationen von Raum und Zeit. Es ist

\begin{displaymath}\begin{split}{x'}^{\mu}&=x^{\mu}-\delta \eta^{\mu}  \Rightar...
...u}(x') &= A^{\mu}(x)   \Rightarrow   T_a^{\mu}=0. \end{split}\end{displaymath} (1.3.86)

Verwenden wir also (1.3.83), ergeben die Noetherströme den kanonischen Energie-Impulstensor1.6

$\displaystyle \Theta^{a \nu}=\frac{\partial \Lag}{\partial(\partial_{\nu} A^{\rho})} \partial^a A^{\rho} - \Lag g^{a \nu}.$ (1.3.87)

Da zu $ a=0$ die Zeittranslationen gehören, ist also

$\displaystyle \Theta^{0\nu}=\frac{\partial \Lag}{\partial(\partial_{\nu} A^{\rho})} \partial^0 A^{\rho} - \Lag \delta^{0\nu}$ (1.3.88)

der Viererenergiestromdichtevektor, und analog zur Argumentation im Anschluß an (1.3.4) ist die erhaltene Größe

$\displaystyle H=\int_{\R^3} \dd^3 \vec{x} \Theta^{00}=\int_{\R^3} \dd^3 \vec{x}...
...\partial \Lag}{\partial(\partial_0 A^{\rho})} \partial^0 A^{\rho}-\Lag \right ]$ (1.3.89)

die Energie des elektromagnetischen Feldes (gemessen in dem gerade betrachteten Inertialsystem). Entsprechend sind die räumlichen Komponenten des Impulses des elektromagnetischen Feldes

$\displaystyle p^{i}=\int_{\R^3} \dd^3 \vec{x} \Theta^{i0}=\int_{\R^3} \dd^3 \vec{x} \frac{\partial \Lag}{\partial (\partial_i A^{\rho})} \partial^0 A^{\rho}.$ (1.3.90)

Führen wir nun aber die Ableitungen in (1.3.87) konkret aus, erhalten wir unter Zugrundelegung der eichinvarianten freien Lagrangedichte (1.3.64) den nicht eichinvarianten Ausdruck

$\displaystyle \Theta^{a \nu}=(\partial^{a} A^{\rho}) {F_{\rho}}^{\nu} + \frac{1}{4} g^{a \nu} F_{\rho \sigma} F^{\rho \sigma}.$ (1.3.91)

Es ist also zum einen zu fragen, ob die durch (1.3.89,1.3.90) gegebenen Ausdrücke für Feldenergie und -impuls eichinvariant sind, zum anderen, wie wir eichinvariante und also physikalische Energie- und Impulsdichten formulieren können.

Nun sind die Noetherströme durch die Symmetrietransformation keinesfalls eindeutig bestimmt. Man kann nämlich offenbar immer vermöge

$\displaystyle {j_a'}^{\mu}=j_a^{\mu}+\partial_{\nu} {\omega_a}^{\mu \nu}$ (1.3.92)

einen neuen Noetherstrom definieren, wobei die $ \omega_a$ beliebige antisymmetrische Tensorfelder bezeichnen. Es ist klar, daß die $ j_a'$ dieselben Eigenschaften besitzen wie die $ j_a$ : Sie sind wegen der Antisymmetrie der $ \omega_a$ beide erhalten und definieren dieselben erhaltenen Größen

$\displaystyle \int_{\R^3} \dd^3 \vec{x} \partial_{\nu} \omega_{a}^{0 \nu}=0,$ (1.3.93)

denn wegen der Antisymmetrie steht unter dem Integral eine reine Dreierdivergenz, und die $ \omega_{a}$ müssen freilich wie die $ j_a$ hinreichen schnell im Unendlichen abfallen.

Wir suchen nun also einen Tensor

$\displaystyle T^{a \nu}=\Theta^{a \nu}+\partial_{\rho} \omega^{a \nu \rho},$ (1.3.94)

wobei $ \omega^{a \nu \rho}$ antisymmetrisch unter Vertauschung der Indizes $ \nu$ und $ \rho$ sein soll, so daß $ T^{a \nu}$ eichinvariant ist. Setzen wir

$\displaystyle \omega^{a \nu \rho}=A^{a} F^{\nu \rho},$ (1.3.95)

finden wir schließlich, daß für die Lösungen der Feldgleichungen $ \partial_{\rho}F^{\nu \rho}=0$ gemäß (1.3.68) der Tensor

$\displaystyle T_{a \nu}={F_{a}}^{\rho} F_{\rho \nu}+\frac{1}{4} F_{\rho \sigma} F^{\rho \sigma} g_{a \nu}$ (1.3.96)

all unsere Forderungen erfüllt. Mit Hilfe von (1.3.23) finden wir für die Energiedichte und den Impulsstrom in der Tat die bekannten Ausdrücke des Dreierformalismusses

$\displaystyle \epsilon=T^{00}=\frac{1}{2}(\vec{E}^2+\vec{B}^2), \quad \vec{S}=\sum_{j=1}^3 \vec{e}_j T^{0j}=\vec{E} \times \vec{B},$ (1.3.97)

wobei $ \vec{S}$ der aus der klassischen Elektrodynamik bekannte Poyntingvektor ist.

In der Tat können wir auch im Dreierformalismus leicht den Energiesatz nachweisen. Leiten wir dazu die Energiedichte nach der Zeit ab:

$\displaystyle \partial_t \epsilon=\vec{E} \partial_t \vec{E}+\vec{B} \partial_t \vec{B}$ (1.3.98)

und ersetzen die Zeitableitungen der Felder mit Hilfe der freien Maxwellgleichungen (also $ \rho=0$ und $ \vec{j}=0$ in (1.3.1,1.3.2)):

$\displaystyle \partial_t \epsilon=\vec{E}   \rot \vec{B}-\vec{B}   \rot{E}.$ (1.3.99)

Nun rechnen wir aber leicht nach, daß

$\displaystyle \div \vec{S}=\partial_j (\epsilon^{jkl} E^k B^l)=\epsilon^{jkl} [...
...k) B^l+ E^k \partial_j B^l] = \vec{B}   \rot \vec{E}- \vec{E}   \rot \vec{B}.$ (1.3.100)

Addieren wir also (1.3.99) und (1.3.100) finden wir also in der Tat die vom Noethertheorem erwartete lokale Erhaltung der Feldenergie

$\displaystyle \partial_t \epsilon+\div \vec{S}=0.$ (1.3.101)

Dies ist gerade der aus der klassischen Elektrodynamik bekannte Poyntingsche Satz.

Wenden wir uns nun den Lorentztransformationen, als deren erzeugende Einparametergruppen die Boosts und Drehungen gewählt werden können, zu. Wir erwarten also die Herleitung der Drehimpulserhaltung und des Satzes über die Gleichförmigkeit der Schwerpunktsbewegung des freien elektromagnetischen Feldes.

Zunächst ermitteln wir die infinitesimalen Lorentztransformationen:

$\displaystyle \delta x^{\mu}=-\frac{1}{2} \delta \eta^{ab} t_{ab}^{\mu}=\delta {\eta^{\mu}}_{\nu} x^{\nu},$ (1.3.102)

wobei das zusätzliche Minuszeichen aus konventionellen Gründen gewählt wurde. Aus dieser entwickeln wir für

$\displaystyle {\Lambda^{\mu}}_{\nu}=\delta_{\nu}^{\mu}+\delta {\eta^{\mu}}_{\nu}$ (1.3.103)

die Bedingung (1.1.13) bis zur ersten Ordnung in den $ \delta
\eta$ . Daraus folgt die Antisymmetrie der $ \delta
\eta$ :

$\displaystyle \delta \eta_{\mu \nu}:=g_{\mu \rho} \delta {\eta^{\rho}}_{\nu}=-\delta \eta_{\nu \mu}.$ (1.3.104)

Es ergeben sich also insgesamt sechs unabhängige Parameter, entsprechend den infinitesimalen Erzeugern für Boosts und Drehungen. Damit finden wir schließlich

$\displaystyle t_{ab}^{\mu}=x_a \delta_b^{\mu} - x_b \delta_a^{\mu}.$ (1.3.105)

Das elektromagnetische Potential transformiert sich als Vektorfeld:

$\displaystyle \delta A^{\mu}(x)=\frac{1}{2} \delta \eta^{ab} T_{ab}^{\mu}= {\delta \eta^{\mu}}_{\nu} A^{\nu},$ (1.3.106)

d.h.

$\displaystyle T_{ab}^{\mu}=\delta_a^{\mu} A_b-\delta_b^{\mu} A_a.$ (1.3.107)

Damit finden wir für die Noetherströme vermöge (1.3.82) mit dem kanonischen Energie-Impulstensor (1.3.87) für $ {j_{ab}}^{\mu}$

\begin{displaymath}\begin{split}\partial_{\nu}{j_{ab}}^{\nu}&=x_a (\partial_{\nu...
...\nu} +{F_{a}}^{\nu} A_b-{F_{b}}^{\nu} A_a \right ). \end{split}\end{displaymath} (1.3.108)

Der kanonische Viererdrehimpulsstromdichtetensor ist also durch

$\displaystyle {j_{ab}}^{\nu}=x_a {\Theta_{b}}^{\nu}-{\Theta_{a}}^{\nu} x_b-A_a {F_{b}}^{\nu} +A_b {F_{a}}^{\nu}$ (1.3.109)

gegeben. Wieder erweist sich dieser Ausdruck als nicht eichinvariant. Wir können aber wieder eine beliebige Divergenz hinzufügen, um den eichinvarianten Viererdrehimpulsstromdichtetensor zu erhalten, dessen rein räumliche Komponenten auch der naiven Definition einer Drehimpulsdichte führt:

$\displaystyle {J_{ab}}^{\mu}={j_{ab}}^{\mu}-\partial_{\nu} {\omega_{ab}}^{\mu \nu}=x_a {T_b}^{\nu}-x_b {T_a}^{\nu},$ (1.3.110)

wobei $ {T_a}^{\nu}$ der symmetrische Energie-Impulstensor (1.3.96) ist. Es gilt

$\displaystyle {\omega_{ab}}^{\mu \nu}=x_a {\omega_{b}}^{\mu \nu}-x_b {\omega_{a}}^{\mu \nu},$ (1.3.111)

wobei wir uns (1.3.95) bedient haben.

Hinsichtlich der mit den Lorentztransformationen verknüpften Erhaltungsgrößen müssen wir gemäß der allgemeinen Regel nur $ {J_{ab}}^0$ über den gesamten Raum integrieren. Die rein räumlichen Komponenten können wir mittels des dreidimensionalen Levi-Civitasymbols umkehrbar eindeutig auf den Drehimpulsdreiervektor

$\displaystyle \vec{J}=\frac{1}{2} \vec{e}_c \epsilon^{abc} \int_{\R^3} \dd^3 \vec{x} J^{ab0}=\int_{\R^3} \dd^3 \vec{x} \left ( \vec{x} \times \vec{S} \right )$ (1.3.112)

abbilden, wobei wir die in (1.3.97) angegebene Beziehung zwischen dem Poyntingvektor und dem symmetrischen Energie-Impulstensor verwendet haben. In der Tat erweist sich (1.3.112) als das intuitiv zu erwartende Resultat, wenn man bedenkt, daß $ \vec{S}$ die Impulsdichte des elektromagnetischen Feldes darstellt.

Die drei zu den Boosts gehörigen Erhaltungssätze müssen nun dem Schwerpunktssatz der Mechanik entsprechen. In der Tat besagt hier das Noethertheorem

$\displaystyle \vec{K}=\int_{\R^3} \dd^3 \vec{x} \vec{e}_b J^{0b0} =t \int_{\R^3} \dd^3 \vec{x} \vec{S}-\int_{\R^3} \dd^3 \vec{x} \vec{x} \epsilon =$   const$\displaystyle .$ (1.3.113)

Formen wir diese Gleichung noch ein wenig um und dividieren durch die Gesamtfeldenergie

$\displaystyle \mathcal{E}=\int_{\R^3} \dd^3 \vec{x} \epsilon,$ (1.3.114)

folgt

$\displaystyle \erw{\vec{x}}_{\epsilon}:=\frac{1}{\mathcal{E}} \int_{\R^3} \dd^3 \vec{x} \vec{x} \epsilon = t \frac{\vec{P}}{\mathcal{E}}+$const$\displaystyle .$ (1.3.115)

Dabei ist der Gesamtimpuls des Feldes

$\displaystyle \vec{P}=\int_{\R^3} \dd^3 \vec{x} \vec{S},$ (1.3.116)

und (1.3.115) besagt, daß sich das mit der Feldenergiedichte gewichtete Mittel des Ortes (analog zum Schwerpunkt in der Mechanik) mit der konstanten Geschwindigkeit

$\displaystyle \vec{v}=\frac{\vec{P}}{\mathcal{E}}$ (1.3.117)

bewegt.




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