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Hamiltonsche Formulierung

Wie in der klassischen Punktmechanik können wir auch in der Feldtheorie zur Hamiltonschen Formulierung des Prinzips der kleinsten Wirkung übergehen. Dies wird uns zum einen eine Formulierung der Felddynamik mit Hilfe von Poissonklammern ermöglichen und zum anderen das heuristische Hilfsmittel der ,,kanonischen Quantisierung'' an die Hand geben.

Wir werden allerdings sogleich sehen, daß uns der Fall des elektromagnetischen Feldes aufgrund der Eichinvarianz Probleme bereitet. Betrachten wir nämlich wieder die Lagrangedichte (1.3.64) des freien elektromagnetischen Feldes, erhalten wir für die kanonisch konjugierten Feldimpulse

$\displaystyle \Pi^{\mu}:=\frac{\partial \Lag}{\partial (\partial_0 A_{\mu})}=F^{\mu 0},$ (1.3.118)

also $ \Pi^0=0$ . Ein Ausweg ist, die Lagrangedichte durch einen sog. Eichfixierungsterm abzuwandeln und zugleich eine Zwangsbedingung einzuführen, die die dazugehörige Eichung definiert. Wir wählen hier die Lorenz-Eichbedingung (1.3.32). Wir können dann als Lagrangedichte und Zwangsbedingung

$\displaystyle \Lag=-\frac{1}{4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}-\frac{\lambda}{2} (\partial_{\mu} A^{\mu})^2, \quad \partial_{\mu} A^{\mu}=0$ (1.3.119)

setzen. Dann lauten die kanonisch konjugierten Feldimpulse

$\displaystyle \Pi^0=-\lambda \partial_{\mu} A^{\mu}=-\lambda (\dot{A}^0+\nabla \vec{A}), \quad \vec{\Pi}=\vec{e}_m F^{m0}=-\dot{\vec{A}}-\nabla A^0.$ (1.3.120)

Hierbei haben wir uns wieder der Dreiervektorschreibweise bedient, da im Hamiltonformalismus die kovariante Schreibweise nicht unbedingt vorteilhaft ist. Die Hamiltondichte wird dann definiert zu

$\displaystyle \Ham=\Pi^{\mu} \partial_0 A_{\mu}-\Lag=-\frac{1}{2 \lambda} (\Pi^...
...^0 \nabla \vec{A}+\vec{\Pi} \nabla A^0 + \frac{1}{2} (\nabla \times \vec{A})^2.$ (1.3.121)

Die Lorenz-Eichbedingung ist im Hamiltonformalismus einfach durch

$\displaystyle \Pi^0=0$ (1.3.122)

gegeben. Betrachten wir nun die Wirkung in der Hamiltonschen Form und bilden deren Variation, wobei wir die $ \Pi^{\rho}$ und $ A^{\rho}$ als unabhängig voneinander zu variierende Größen annehmen, so ergibt sich

\begin{displaymath}\begin{split}S&=\int \dd^4 x (\Pi^{\mu} \dot{A}_{\mu}-\Lag),\...
...\partial \Ham}{\partial A^{\mu}} \right ) \right ]. \end{split}\end{displaymath} (1.3.123)

Die Hamiltonschen Kanonischen Gleichungen nehmen also die Form

\begin{displaymath}\begin{split}\dot{A}^{\mu}&=\frac{\partial \Ham}{\partial \Pi...
...la A_{\mu}}-\frac{\partial \Ham}{\partial A_{\mu}}. \end{split}\end{displaymath} (1.3.124)

Führen wir die Ableitungen für die Hamiltondichte (1.3.121) aus, erhalten wir in der Tat die Maxwellgleichungen für den ladungs- und stromfreien Fall (unter Berücksichtigung der Nebenbedingung (1.3.122):

\begin{displaymath}\begin{split}\dot{\Pi}^0 &= \div \vec{\Pi} \stackrel{!}{=}0, ...
...a \vec{A},  \dot{\vec{A}}&=-\vec{\Pi}-\nabla A^0. \end{split}\end{displaymath} (1.3.125)

Dies sind in der Tat die Maxwellgleichungen in etwas ungewohnter Schreibweise. In der Tat ergibt die letzte Gleichung

$\displaystyle \vec{\Pi}=-\dot{\vec{A}}-\nabla A^{0}=\vec{E}.$ (1.3.126)

Zusammen mit $ \vec{B}=\nabla \times \vec{A}$ folgen dann aus der ersten und zweiten Zeile in (1.3.125) die beiden Maxwellgleichungen für verschwindende Ladungs- und Stromdichte:

$\displaystyle \nabla \times \vec{B}-\dot{\vec{E}}=0, \quad \div \vec{E}=0.$ (1.3.127)

Die verbliebene Gleichung ergibt wieder die Lorenz-Eichbedingung (1.3.32). Die anderen beiden (homogenen) Maxwellgleichungen sind bereits durch die Darstellung der elektrischen und magnetischen Feldstärke durch die Potentiale $ A^0$ und $ \vec{A}$ gesichert. Wie zu erwarten, ergibt also der Hamiltonformalismus dieselben Bewegungsgleichungen wie der Lagrangeformalismus.

Wie wir bereits aus Abschnitt 1.3.3 wissen, besteht auch nach Eichfixierung durch die Lorenzbedingung noch eine restringierte Eichfreiheit: wir können das Viererpotential durch $ A_{\mu}'=A_{\mu}+\partial_{\mu} \chi$ mit einem beliebigen $ \chi$ , das die Wellengleichung $ \Box \chi=0$ erfüllt ersetzen, ohne daß sich an den physikalisch beobachtbaren Feldern $ \vec{E}$ und $ \vec{B}$ etwas ändert und ohne die Lorenzbedingung zu verletzen. Die Feldgleichungen mit Quellen erlauben jedoch nicht die Einführung einer weiteren Eichbedingung, wie wir bereits in Abschnitt 1.3.4 betont haben. Für die Quantisierung einer Theorie, die Wechselwirkungen zwischen dem elektromagnetischen Feld und geladenen Teilchen beschreiben soll, dürfen wir also die Eichung nicht weiter einschränken.

Den Fall des freien elektromagnetischen Feldes haben wir bereits in Abschnitt 1.3.3 behandelt. Selbstverständlich führen nämlich die Hamiltonschen kanonischen Gleichungen (1.3.125) nach Eliminierung der $ \Pi^{\mu}$ wieder auf die quellenfreien Wellengleichungen (1.3.19) mit $ j^{\mu}=0$ .




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