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Kanonischer Feldformalismus mit Poisson-Klammern

Wir können nun die kanonisch formulierte Feldtheorie des vorigen Abschnitts auch mit Hilfe von Poissonklammern formulieren. Betrachten wir dazu irgendwelche dynamischen Variablen der Form

$\displaystyle X(t)=\int \dd^3 \vec{x} \mathscr{X}(\Pi^{\mu},A^{\mu},\nabla A^{\mu}).$ (1.3.128)

Deren Variation ist

$\displaystyle \delta X(t)=\int \dd^3 \vec{x} \left [\delta \Pi^{\mu} \frac{\par...
...\nabla \frac{\partial \mathscr{X}}{\partial(\nabla A^{\mu})} \right ) \right ],$ (1.3.129)

wobei wir wieder unter Annahme hinreichend schnellen Verschwindens des Integranden im räumlich Unendlichen partiell integriert haben.

Definieren wir nun Variationsableitungen im Sinne dieses Dreierformalismusses als die Koeffizienten von $ \delta \Pi^{\mu}$ und $ \delta A^{\mu}$ , also

$\displaystyle \frac{\delta_3 X(t)}{\delta \Pi^{\mu}(t,\vec{x})}:=\frac{\partial...
...\partial A^{\mu}}-\nabla \frac{\partial \mathscr{X}}{\partial(\nabla A^{\mu})},$ (1.3.130)

können wir, wieder in enger Analogie zum Fall von endlich vielen Freiheitsgraden, die Poissonklammer für zwei dynamische Variablen

$\displaystyle \pb{X}{Y}:=\int \dd^3 \vec{x} \left (\frac{\delta_3 X}{\delta A^{...
...-\frac{\delta_3 Y}{\delta A^{\mu}} \frac{\delta_3 X}{\delta \Pi_{\mu}} \right )$ (1.3.131)

einführen. Es ist klar, daß wir auch Poissonklammern lokaler Felder mit gleichen Zeitargumenten bilden können, z.B.

\begin{displaymath}\begin{split}\pb{A^{\mu}(t,\vec{x})}{A^{\nu}(t,\vec{y})} &=0,...
...pb{\Pi^{\mu}(t,\vec{x})}{\Pi^{\nu}(t,\vec{y})} &=0. \end{split}\end{displaymath} (1.3.132)

Dabei haben wir z.B. folgende formale Ableitungsregel benutzt

$\displaystyle A^{\mu}(t,\vec{x})=\int \dd^3 \vec{y} A^{\mu}(t,\vec{y}) \delta^{...
...)}{\delta A^{\nu}(t,\vec{y})}=\delta_{\nu}^{\mu} \delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{y}).$ (1.3.133)

Die Zeitableitung sowohl von lokalen Feldgrößen als auch Raumintegralen über solche Größen, z.B. $ X$ gem. Gl. (1.3.128), ergibt sich dann als Poissonklammer mit der Hamiltonfunktion

$\displaystyle H(t)=\int \dd^3 \vec{x} \Ham(x)$ (1.3.134)

gemäß

$\displaystyle \frac{\dd X}{\dd t}=\pb{X}{H}.$ (1.3.135)

Ganz analog wie in der klassischen Mechanik (vgl. z.B. [Hee08]) kann man nun kanonische Transformationen behandeln und Symmetrietransformationen betrachten. Wir begnügen uns hier mit der Bemerkung, daß ein erzeugendes Funktional für eine Symmetransformation, die nicht explizit von der Zeit abhängt mit dem Hamiltonfunktional vertauscht und umgekehrt jedes mit dem Hamiltonfunktional vertauschende Funktional, eine Symmetrietransformation erzeugt.




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