Quantisierung des freien Klein-Gordon Feldes

Wir betrachten der Einfachheit halber zunächst freie skalare Teilchen, die wir durch ein komplexes (sogleich noch zu quantisierendes) Lorentzskalarfeld $\phi(x)$ beschreiben wollen. Die klassische Lagrangedichte sollte ein quadratisches Funktional in $\phi$ und $\partial_{\mu} \phi$ sein. Außerdem sollte es ein reeller Lorentzskalar sein. Das ergibt die folgende Form

$$\Lag=(\partial_{\mu} \phi^*) \partial^{\mu} \phi-m^2 \phi^* \phi.$$ (1.4.1)

Als komplexes Feld beeinhaltet $\phi$ zwei reelle Feldfreiheitsgrade, die im Hamiltonschen Prinzip unabhängig voneinder variiert werden können. Dazu äquivalent ist die unabhängige Variation von $\phi$ und $\phi^*$ . Die Variation der Wirkung nach $\phi$ und $\phi^*$ liefert die Euler-Lagrange-Gleichungen

$$\frac{\partial \Lag}{\partial \phi}-\partial_{\mu} \frac{\partial... ...\phi^*}-\partial_{\mu} \frac{\partial \Lag}{\partial(\partial_{\mu} \phi^*)}=0.$$ (1.4.2)

Das ergibt die Klein-Gordon-Gleichungen

$$(\Box+m^2) \phi(x)=0, \quad (\Box+m^2) \phi^*(x)=0.$$ (1.4.3)

Die Quantisierung erfolgt nun, indem man zunächst zur Hamiltonschen Formulierung der klassischen Theorie übergeht und dann die kanonischen Poissonklammerrelationen zu gleichen Zeiten

$$\pb{\phi(t,\vec{x})}{\Pi(t,\vec{y})}= \pb{\phi^*(t,\vec{x})}{\Pi^*(t,\vec{y})} =\delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{y})$$ (1.4.4)

bildet, während die übrigen möglichen Poissonklammerkombinationen von Feldern verschwinden, in Postulate für Kommutatorrelationen für die Feldoperatoren uminterpretiert:

$$\begin{split}&\comm{\op{\phiup}(t,\vec{x})}{\op{\Pi}(t,\vec{y... ... \comm{\op{\Pi}(t,\vec{x})}{\op{\Pi}(t,\vec{y})}=0. \end{split}$$ (1.4.5)

Die kanonischen Feldimpulse lauten

$$\op{\Pi}=\frac{\partial \Lag}{\partial \dot{\op{\phiup}}}=\dot{\o... ...}=\frac{\partial \Lag}{\partial \dot{\op{\phiup}^{\dagger}}}=\dot{\op{\phiup}}.$$ (1.4.6)

Die Hamiltondichte ergibt sich aus der $00$ -Komponente des kanonischen Energie-Impulstensors. Analog wie bei der entsprechenden Herleitung für das elektromagnetische Feld in Abschnitt 1.3.6 finden wir

$$\op{\Ham}=\dot{\op{\phiup}} \op{\Pi} + \dot{\op{\phiup}}^{\dagger... ...{\phiup}^{\dagger}) (\nabla \op{\phiup})+m^2 \op{\phiup}^{\dagger} \op{\phiup},$$ (1.4.7)

wobei wir scheinbar zunächst nicht auf Operatorordnungsprobleme stoßen.

Die Bewegungsgleichungen für die Operatoren im Heisenbergbild der Zeitentwicklung postulieren wir nun ebenfalls in Analogie zu den klassischen Gleichungen über die Korrespondenz zwischen Poissonklammern und Kommutatoren. Der Hamiltonoperator ist durch

$$\op{H}(t)=\int \dd^3 \vec{x} \op{\Ham}(t,\vec{x})$$ (1.4.8)

gegeben, und die kanonischen Kommutatorregeln (1.4.5) ergeben dann nach einigen einfachen Umformungen die Bewegungsgleichungen für Felder und kanonisch konjugierte Feldimpulse

$$\begin{split}\dot{\op{\phiup}}(x) &= \frac{1}{\ii}\comm{\op{\... ... \Delta_{\vec{x}} \op{\phiup}(x)-m^2 \op{\phiup},\\ \end{split}$$ (1.4.9)

Setzen wir die letzte Gleichung in die Zeitableitung der ersten Gleichung ein, erhalten wir für den Feldoperator die Klein-Gordon-Gleichung

$$(\Box+m^2) \op{\phiup}(x)=0.$$ (1.4.10)

Diese Gleichung können wir durch einen Fourieransatz lösen. Wir bestimmen dazu zunächst die Feldmoden. Der Ansatz

$$\op{\phiup}(x)=\op{a}(\vec{p}) \exp(-\ii p x)$$ (1.4.11)

ergibt die Dispersionsrelation

$$p^2=m^2,$$ (1.4.12)

was uns einen ersten Hinweis für die Teilcheninterpretation liefert, entspricht doch die ,,on-shell-Bedingung`` (1.4.12) gerade der Energie-Impulsbeziehung eines klassischen Teilchens. Allerdings ergibt sich nun scheinbar ein Problem, denn (1.4.12) liefert formal zwei Lösungen für die Energie des Teilchens, nämlich

$$p^0=\pm \sqrt{\vec{p}^2+m^2} =: \pm E_{\vec{p}}.$$ (1.4.13)

Andererseits sollten aber Teilchen nur positive Energien besitzen. Gäbe es Teilchen negativer Energie, gäbe es nämlich keinen stabilen Grundzustand, könnte man doch durch Produktion beliebig vieler Teilchen negativer Energie die Gesamtenergie des Systems beliebig klein machen.

Diese Probleme stellen sich auf formaler Ebene einer Einteilchen-Wellenmechanik in Analogie zur Schrödingergleichung in der nichtrelativistischen Quantentheorie entgegen. Auf der Ebene der Feldquantisierung, also der Vielteilchentheorie, läßt sich das Problem allerdings sehr einfach lösen, nämlich indem man die Mode mit negativem $p^0$ mit einem Erzeugungsoperator für ein Teilchen positiver Energie multipliziert. Um die Lorentzinvarianz der entstehenden Ausdrücke zu erhalten, denkt man sich zusätzlich dessen Impuls umgekehrt. Definieren wir nun die Impuls-Feldmoden

$$u_{\vec{p}}(x)=\frac{1}{\sqrt{(2 \pi)^3 2 E(\vec{p})}} \exp[-\ii E(\vec{p}) t + \ii \vec{p} \cdot \vec{x}],$$ (1.4.14)

können wir für die Lösung der operatorwertingen Klein-Gordon-Gleichung (1.4.10)

$$\op{\phiup}(x)=\int_{\R^3} \dd^3 \vec{p} \; [\op{a}(\vec{p}) u_{\vec{p}}(x) + \op{b}^{\dagger}(\vec{p}) u_{\vec{p}}^*(x)]$$ (1.4.15)

schreiben. Zur Wahl der Normierungskonstanten für die Modenfunktionen in (1.4.14) bemerken wir, daß

$$\begin{split}u_{\vec{p}}(x) \overleftrightarrow{\partial_t} u... ...\vec{q})] + \ii \vec{x} (\vec{p}+\vec{q}) \right \} \end{split}$$ (1.4.16)

und folglich

$$\ii \int_{\R^3} \dd^3 \vec{x} u_{\vec{p}}(x) \overleftrightarrow{... ...\overleftrightarrow{\partial_t} u_{\vec{q}}(x) = \delta^{(3)}(\vec{p}-\vec{q}).$$ (1.4.17)

Daraus folgt wegen (1.4.15)

$$\begin{split}\op{a}(\vec{q})&=\ii \int \dd^3 \vec{x} u_{\vec{... ...eftrightarrow{\partial_t} \op{\phiup}^{\dagger}(x). \end{split}$$ (1.4.18)

Man beachte insbesondere, daß diese Ausdrücke in der Tat zeitunabhängig sind. Wir finden die Kommutatorrelationen für die $\op{a}$ und $\op{b}$ , indem wir diese vermöge (1.4.18) ausdrücken und die kanonischen Kommutatorrelationen (1.4.5) sowie die Beziehungen (1.4.6) verwenden. Dabei sind die beiden Zeitargumente der Felder gleichzusetzen. Es ergeben sich daraus die Kommutatorrelationen

$$\begin{split}&\comm{\op{a}(\vec{p})}{\op{a}(\vec{q})}=\comm{\... ...\dagger}(\vec{q})} = \delta^{(3)}(\vec{p}-\vec{q}). \end{split}$$ (1.4.19)

Wir können nun den Hamiltonoperator mit Hilfe der $\op{a}$ - und $\op{b}$ -Operatoren berechnen, indem wir die Modenentwicklung (1.4.15) in (1.4.8) mit der Hamiltondichte (1.4.7) einsetzen. Nach einigen elementaren Umformungen ergibt sich

$$\op{H} = \int_{\R^3} \dd^3 \vec{p} E_{\vec{p}} \left [ \op{a}^{\d... ...(\vec{p}) \op{a}(\vec{p}) + \op{b}(\vec{p}) \op{b}^{\dagger}(\vec{p}) \right ].$$ (1.4.20)

Betrachten wir nun einen beliebigen Energieeigenzustand $\ket{E}$ und den Zustand $\op{a}(\vec{p}) \ket{E}$ . Daraus ergibt sich mit Hilfe der Vertauschungsrelationen (1.4.19)

$$\begin{split}& \comm{\op{H}}{\op{a}(\vec{p})}=-E_{\vec{p}} \,... ...ec{p})} = E_{\vec{p}} \, \op{b}^{\dagger}(\vec{p}). \end{split}$$ (1.4.21)

Für einen beliebigen Energieeigenvektor $\ket{E}$ des Systems folgt also z.B.

$$\op{H} \op{a}(\vec{p}) \ket{E}=\left \{ \comm{\op{H}}{\op{a}(\vec... ...p{a}(\vec{p}) \op{H} \right \} \ket{E}=(E-E_{\vec{p}}) \op{a}(\vec{p}) \ket{E},$$ (1.4.22)

d.h. $\op{a}(\vec{p}) \ket{E}$ ist entweder Eigenvektor zum Eigenwert $E-E_{\vec{p}}$ oder der Nullvektor. Entsprechendes folgt für $\op{b}(\vec{p}) \ket{E}$ .

Wir postulieren nun, daß $\op{H}$ nach unten beschränkt ist, also die Existenz eines Energieeigenzustandes minimaler Energie existiert, den wir mit $\ket{\Omega}$ bezeichnen wollen. Da $E_{\vec{p}}=\sqrt{m^2+\vec{p}^2}>m \geq 0$ muß

$$\op{a}(\vec{p}) \ket{\Omega}=\op{b}(\vec{p}) \ket{\Omega}=0$$ (1.4.23)

sein, weil andernfalls die Vektoren Eigenvektoren zum um $E_{\vec{p}}$ niedrigeren Energieeigenwert wären.

Es ergibt sich nun jedoch ein Problem mit der Grundzustandsenergie, denn es ist

$$\begin{split}E_{\Omega} &= \matrixe{\Omega}{\op{H}}{\Omega}= ... ...\op{b}(\vec{p}) \op{b}^{\dagger}(\vec{p})}{\Omega}. \end{split}$$ (1.4.24)

Nun ist wegen (1.4.19) und (1.4.23)

$$\matrixe{\Omega}{\op{b}(\vec{p}) \op{b}^{\dagger}(\vec{q})}{\Omeg... ...(\vec{p})}{\op{b}^{\dagger}(\vec{q})}}{\Omega} = \delta^{(3)}(\vec{p}-\vec{q}).$$ (1.4.25)

Der Ausdruck in (1.4.24) ist also nicht wohldefiniert. Andererseits ist wegen (1.4.19)

$$\op{b}(\vec{p}) \op{b}^{\dagger}(\vec{q}) = \delta^{(3)}(\vec{q}-\vec{p}) +\op{b}^{\dagger}(\vec{q}) \op{b}(\vec{p}),$$ (1.4.26)

d.h. man darf erwarten, daß der Operator

$$\op{H}' = \int_{\R^3} \dd^3 \vec{p} E_{\vec{p}} \, \left [\op{a}^... ...}(\vec{p}) \op{a}(\vec{p}) + \op{b}^{\dagger}(\vec{p}) \op{b}(\vec{p}) \right ]$$ (1.4.27)

sich von $\op{H}$ nur um einen Ausdruck $\propto \bm{1}$ unterscheidet und daher dieselben Kommutatoreigenschaften mit den Feldoperatoren wie $\op{H}$ (1.4.9) ergibt. Dies läßt sich in der Tat mit Hilfe der Modenentwicklung nachrechnen. Physikalisch sind unter Absehung der Gravitation ohnehin nur Energiedifferenzen meßbar. Wir haben es hier mit einem ersten Beispiel einer Renormierung zu tun, nämlich der Renormierung der Grundzustandsenergie. Es ist nämlich

$$E_{\Omega}'=\matrixe{\Omega}{\op{H}'}{\Omega}=0,$$ (1.4.28)

und es erscheint natürlich, die Grundzustandesenergie 0 zu setzen. Im folgenden lassen wir den Strich bei $\op{H}'$ wieder weg und definieren $\op{H}$ durch (1.4.27).

Da weiter solche Operatorordnungsprobleme noch öfter auftreten werden, führt man die Normalordnung von Produkten von Feldoperatoren ein: Bei einer Modenentwicklung eines Feldoperatorprodukts werden einfach alle Erzeugungsoperatoren ganz nach links und alle Vernichtungsoperatoren ganz nach rechts gebracht. Dies wird dadurch notiert, daß man den fraglichen Ausdruck in Doppelpunkte einschließt. Damit können wir unseren umdefinierten Hamiltonoperator mit Hilfe der Feldoperatoren in der Form

$$\op{H}=\int \dd^3 \vec{x} :\mathscr{H}(x):$$ (1.4.29)

schreiben, wobei der Energiedichteoperator $\mathscr{H}$ durch (1.4.7) definiert ist.

In Analogie zum harmonischen Oszillator ist dann klar, daß der gesamte Hilbertraum unseres durch die Feldoperatoren beschriebenen quantenmechanischen Systems durch die verallgemeinerten Energieeigenvektoren

$$\ket{(a,\vec{p}_1),\ldots,(a,\vec{p}_n);(b,\vec{p}_1'), \ldots, (... ...=1}^{n} \op{a}^{\dagger}(\vec{p}_j) \op{b}^{\dagger}(\vec{p}_{j'}) \ket{\Omega}$$ (1.4.30)

beschreiben lassen. Diese Vektoren sind simultane Eigenvektoren der hermiteschen Operatoren

$$\op{n}_a(\vec{p})=\op{a}^{\dagger}(\vec{p}) \op{a}(\vec{p}), \quad \op{n}_b(\vec{p})=\op{b}^{\dagger}(\vec{p}) \op{b}(\vec{p}),$$ (1.4.31)

und wir können den Hamiltonoperator gemäß (1.4.27) in der Form

$$\op{H}=\int_{\R^3} \dd^3 \vec{p} \; E_{\vec{p}} \, \left [\op{n}_a(\vec{p})+\op{n}_b(\vec{p}) \right ]$$ (1.4.32)

schreiben. Dies suggeriert, daß wir die $\op{n}_a(\vec{p})$ und $\op{n}_b(\vec{p})$ als Teilchenzahlimpulsdichteoperatoren auffassen können. Dann sind $\op{a}(\vec{p})$ und $\op{b}(\vec{p})$ Vernichtungsoperatoren für Teilchen der Sorten $a$ und $b$ und entsprechend deren Adjungierten die dazugehörigen Erzeugungsoperatoren. Entsprechend folgt aus den Kommutatorregeln (1.4.19), daß die Einteilchenvektoren die Normierung

$$\braket{a,\vec{p}}{a,\vec{p}'}=\braket{b,\vec{p}}{b,\vec{p}'}=\delta^{(3)}(\vec{p}-\vec{p}')$$ (1.4.33)

besitzen.

Wir werden im folgenden sehen, daß diese Annahme gerechtfertigt ist, indem wir zeigen, daß sie konsistent mit den übrigen additiven Erhaltungsgrößen wie Impuls und Drehimpuls ist. Wir werden auch zeigen, daß wir notwendig die Feldmoden mit sowohl positiven als auch negativen Frequenzen in der Modenentwicklung (1.4.15) berücksichtigen müssen, wenn wir verlangen, daß die Poincarégruppe auf die Feldoperatoren in derselben Weise wirkt wie auf klassische Felder, d.h. daß die Feldoperatoren sich im Sinne lokaler Felder transformieren. Zur Ausführung dieses Programms müssen wir zunächst den Lagrangedichteoperator im Sinne des Noethertheorems analysieren, um Feldoperatorausdrücke für die Liealgebra der Poincarégruppe, also für den Gesamtimpuls $\vec{\op{P}}$ als Generatoren für die räumlichen Translationen, den Gesamtdrehimpuls $\vec{\op{J}}$ als Generatoren für die Drehungen und die Schwerpunktsoperatoren $\vec{\op{K}}$ als Generatoren für die Boosts, zu erhalten.

Beginnen wir also mit den Translationen. In der Notation von Abschnitt 1.3.6 lautet das Transformationsgesetz

$$x'=x-\delta a, \quad \op{\phiup}'(x')=\op{\phiup}(x)=\op{\phiup}(x'+\delta a)$$ (1.4.34)

und für $\op{\phiup}^{\dagger}$ entsprechend d.h. in der Form (1.3.74) geschrieben

$$t_a^{\mu}=\delta_{a}^{\mu}, \quad T_a=0.$$ (1.4.35)

Daraus ergibt sich für den kanonischen Energie-Impulstensor-Operator der Ansatz

$$\op{\Theta}^{\alpha \mu}=:\frac{\partial \Lag}{\partial_{\mu} \op... ...}^{\dagger}}\partial^{\alpha} \op{\phiup}^{\dagger} - \Lag g^{\alpha \mu}: \, ,$$ (1.4.36)

wobei wir statt $a$ jetzt entsprechend unserer Konvention für Lorentzindezes $\alpha$ schreiben Die Operatoren für die Impulsdichten sind demnach durch

$$:\mathcal{P}^{\alpha}: = :\op{\Theta}^{\alpha 0}: = : \begin{pmat... ...ec{\nabla}_{\vec{x}} \op{\phiup}^{\dagger}) \dot{\op{\phiup}} \end{pmatrix}: \,$$ (1.4.37)

gegeben. Dabei haben wir für die Energiedichte im räumlichen Integral für die Energie partiell integriert und von der Klein-Gordongleichung (1.4.10) Gebrauch gemacht. Setzen wir in diesen Ausdruck die Modenentwicklung (1.4.15) ein, finden wir nach einigen elementaren Umformungen

$$\op{P}^{\mu} = \int_{\R^3} \dd^3 \vec{p} \; p^{\mu} \left [\op{n}_a(\vec{p}) + \op{n}_b(\vec{p}) \right ]_{p^0=E_{\vec{p}}},$$ (1.4.38)

wobei wir die Impulsdichteoperatoren für $a$ - und $b$ -Teilchen (1.4.31) verwendet haben. Insbesondere gilt $\op{P}^0=\op{H}$ , wie es sein muß. Wir müssen nun noch überprüfen, ob diese Operatoren tatsächlich Raumzeittranslationen generieren, d.h. es sollte gelten

$$\op{\phiup}'(x)=\exp(\ii \op{P} \cdot a) \op{\phiup}(x) \exp(-\ii \op{P} \cdot a) = \op{\phiup}(x+a).$$ (1.4.39)

Betrachten wir dazu infinitesimale Translationen um $\delta a$ , dann lautet die vorige Gleichung bis zur ersten Ordnung in $\delta a$ :

$$-\ii \delta a^{\mu} \comm{\op{\phiup}(x)}{\op{P}_{\mu}}=\delta a^{\mu} \partial_{\mu}{\op{\phiup}(x)}.$$ (1.4.40)

Da dies für alle $\delta a^{\mu}$ zutrifft, bedeutet dies, daß die Kommutatorrelation

$$\comm{\op{\phiup}(x)}{\op{P}_{\mu}}=\ii \partial_{\mu} \op{\phiup}(x)$$ (1.4.41)

gelten muß. Für $\op{P}_0=\op{H}$ haben wir dies oben bei der Herleitung der kanonischen Bewegungsgleichungen schon gezeigt. Wir können dies aber auch mit der (1.4.38) durch Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren ausgedrückten Gestalt für $\op{P}_{\mu}$ nachweisen. Dazu benötigen wir zunächst die Kommutatoren der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren mit dem Feldoperator. Setzen wir die Modenentwicklung (1.4.15) ein, finden wir mit Hilfe der Kommutatorrelationen (1.4.19) nach einfacher Rechnung

$$\begin{split}& \comm{\op{\phiup}(x)}{\op{a}(p)} =\comm{\op{\p... ...\op{b}(p)}= -\exp(\ii p x)\vert _{p^0=E_{\vec{p}}}. \end{split}$$ (1.4.42)

Daraus folgt für die Kommutatoren mit den Impulsraumdichteoperatoren (1.4.31)

$$\begin{split}&\comm{\op{\phiup}(x)}{\op{n}_a(\vec{p})}=\op{a}... ...er}(\vec{p}) \exp(-\ii p x)\vert _{p^0=E_{\vec{p}}} \end{split}$$ (1.4.43)

und daraus schließlich durch Einsetzen von (1.4.38) die Beziehung (1.4.41), d.h. $\op{P}_{\mu}$ erzeugt tatsächlich raumzeitliche Translationen.

Wenden wir uns nun den Lorentztransformationen zu. Für Skalarfelder gilt

$$\op{\phiup}'(x')=\op{\phiup}(x), \quad x'{}^{\mu}=x^{\mu}+{\delta... ...ta} = x^{\mu} - \frac{1}{2} \delta \omega^{\alpha \beta} t_{\alpha \beta}^{\mu}$$ (1.4.44)

mit

$$t_{\alpha \beta}^{\mu}=x_{\alpha} \delta_{\beta}^{\mu} - x_{\beta} \delta_{\alpha}^{\mu}.$$ (1.4.45)

Gemäß (1.3.82) erhalten wir unter Verwendung der Symmetrie des kanonischen Energie-Impulstensors (1.4.36) für die sechs Generatoren der Lorentzgruppe die Ausdrücke

$$\op{J}_{\alpha \beta}=\int \dd^3 \vec{x} :x_{\alpha} \mathscr{P}_{\beta}- x_{\beta} \mathscr{P}_{\alpha}:,$$ (1.4.46)

wobei wir wieder die Normalordnung vorgenommen haben und die Viererimpulsdichten (1.4.37) eingeführt haben.

Nun erweist es sich als bequemer, zur Analyse der Lorentzgruppe den manifest kovarianten Formalismus zu verlassen und die Erzeuger für Drehungen in Gestalt von Dreiervektor-Drehimpulsoperatoren $\vec{\op{J}}$ und die Boosts durch Dreiervektoren $\vec{\op{K}}$ auszudrücken. Sie sind durch die rein räumlichen bzw. die zeit-räumlichen Komponenten von $\op{J}_{\alpha \beta}$ wie folgt definiert, wobei wir uns zunutze machen, daß sie zeitlich konstant sind und daher bei $t=0$ ausgewertet werden dürfen:

$$\vec{\op{J}} = \int \dd^3 \vec{x} :\vec{x} \times \vec{\mathscr{P}}:,$$ (1.4.47)

$$\vec{\op{K}} =\int \dd^3 \vec{x} :(t \vec{\mathscr{P}}-\vec{x} \mathscr{P}^0):=t \vec{\op{P}}-\int \dd^3 \vec{x} :\vec{x} \mathscr{P}^0:.$$ (1.4.48)

Die Berechnung der Generatoren in ihrer expliziten Form durch Erzeuger und Vernichter ist etwas komplizierter als im Falle des Impulses, muß man doch die $\vec{x}$ zunächst mit Hilfe von Ableitungen der Modenfunktionen nach $\vec{p}$ ausdrücken. Es ergeben sich nach einiger Algebra aber die folgenden Relationen

$$\begin{split}\ii \int_{\R^3} \dd^3 \vec{x} \; \vec{x} u_{\vec... ...{p}}{2 E^2(\vec{p})} \delta^{(3)}(\vec{p}+\vec{q}). \end{split}$$ (1.4.49)

Setzt man nun in (1.4.47) die Modenentwicklung für die Felder ein, canceln sich aufgrund von $\vec{p} \times \vec{q}$ die Zusatzterme $\propto \delta^{(3)}(\vec{p} \pm \vec{q})$ auf der rechten Seite von (1.4.49) wegen $\vec{p} \times \vec{q}=\pm \vec{p} \times \vec{p}=0$ weg, so daß man schließlich

$$\vec{\op{J}} =\tilint{\vec{p}} \left [\op{a}^{\dagger}(\vec{p}) \... ...(\vec{p}) \ii \vec{\nabla}_{\vec{p}} \, \op{b}(\vec{p}) \right ] \times \vec{p}$$ (1.4.50)

erhält. Auf ähnliche Weise zeigt man

$$\vec{\op{K}} = t \vec{\op{P}}-\tilint{\vec{p}} \left [\op{a}^{\da... ...r}(\vec{p}) \ii \vec{\nabla}_{\vec{p}} \, \op{b}(\vec{p}) \right ] E_{\vec{p}}.$$ (1.4.51)

Freilich haben wir nun nachzuweisen, daß diese Operatoren tatsächlich Drehungen und Boosts erzeugen. Dazu parametrisieren wir die infinitesimalen Lorentztransformationen (1.3.103) mit zwei Dreiervektoren $\delta \vec{\eta}$ und $\delta \vec{\varphi}$ vermöge

$$(\delta {\omega^{\mu}}_{\nu}) = \begin{pmatrix}0 & -\delta \eta_1... ...\\ -\delta \eta_3 & \delta \varphi_2 & -\delta \varphi_1 & 0 \end{pmatrix} \, .$$ (1.4.52)

Die infinitesimale Lorentztransformation, angewandt auf das Klein-Gordon-Feld lautet dann in der hier benötigten Form

$$\op{\phiup}'(x)= \phi(x)+\delta \vec{\eta} \cdot (t \vec{\nabla}_... ...lta \vec{\varphi} \cdot (\vec{x} \times \vec{\nabla}_{\vec{x}}) \op{\phiup}(x).$$ (1.4.53)

Die unitären Operatoren für endliche Lorentztransformation sind durch

$$\op{U}(\vec{\eta},\vec{\varphi})=\exp(-\ii \vec{\eta} \cdot \vec{\op{K}}-\ii \vec{\varphi} \cdot \vec{\op{J}})$$ (1.4.54)

gegeben. Es zeigt sich in der Tat mit Hilfe der Vertauschungsrelationen (1.4.42), daß in der Tat für infinitesimale Transformationen

$$\ii \comm{\op{\phiup}(x)}{\delta \vec{\eta} \, \vec{\op{K}}+\delt... ...) + \delta \vec{\varphi} (\vec{x} \times \vec{\nabla}_{\vec{x}}) \op{\phiup}(x)$$ (1.4.55)

in Übereinstimmung mit (1.4.53) gilt.

Damit haben wir am Beispiel des freien skalaren Klein-Gordonfeldes gezeigt, wie eine Quantenfeldtheorie mit Feldoperatoren, die sich unter eigentlich orthochronen Poincaré-Transformationen wie ihre klassischen Analoga lokal transformieren, wobei die Transformationen durch unitäre Operatoren realisiert sind, wie es für Symmetrietransformationen sein muß, konstruiert werden kann. Weiter haben wir die Theorie so aufgebaut, daß der Hamiltonoperator positiv semidefinit ist, also das Energiespektrum nach unten beschränkt ist.

Schließlich betrachten wir noch die Symmetrie der Lagrangedichte (und damit auch der Wirkung) unter Phasenänderungen. Offenbar ändert sich nämlich die Lagrangedichte nicht, wenn wir die Phase des Klein-Gordon-Feldes umdefinieren, also neue Felder

$$\op{\phiup}'(x)=\exp(\ii \alpha) \op{\phiup}(x), \quad {\op{\phiup}'}^{\dagger}(x)=\exp(-\ii \alpha) \op{\phiup}(x) \quad \alpha \in \R$$ (1.4.56)

einführen. In der Schreibweise für das allgemeine Noether-Theorem (1.3.74) lautet die entsprechende infinitesimale Transformation

$$\delta x^{\mu}=0, \quad \delta \op{\phiup}=\ii \delta \alpha \op{... ...}, \quad \delta \op{\phiup}^{\dagger}=-\ii \delta \alpha \op{\phiup}^{\dagger},$$ (1.4.57)

d.h. es gilt

$$t(x)=0, \quad \op{T}=\ii \op{\phiup}, \quad \op{T}^{\dagger} = -\ii \op{\phiup}^{\dagger}.$$ (1.4.58)

Um den zu dieser Symmetrie gehörigen Noether-Strom zu finden, verwenden wir (1.3.82), wobei wir hier $\op{\phiup}$ und $\op{\phiup}^{\dagger}$ als voneinander unabhängige Feldfreiheitsgrade aufzufassen haben. Zunächst gilt

$$\frac{\partial \Lag}{\partial \op{\phiup}} \op{T} + \frac{\partia... ...=\ii \op{\phiup}^{\dagger} \op{\phiup}-\ii \op{\phiup} \op{\phiup}^{\dagger}=0,$$ (1.4.59)

wobei wir die kanonischen Vertauschungsrelationen (1.4.5) verwendet haben. Weiter gilt (bis auf singuläre Ausdrücke, die proportional zum Einheitsoperator sind)

$$-\partial_{\nu} \frac{\partial \Lag}{\partial (\partial_{\nu} \op... ...\op{\phiup}^{\dagger} \overleftrightarrow{\partial}^{\nu} \op{\phiup} \right ).$$ (1.4.60)

Damit ist der Strom

$$\op{j}^{\mu} = \ii \op{\phiup}^{\dagger} \overleftrightarrow{\partial}^{\mu} \op{\phiup}$$ (1.4.61)

für die Lösungen der Feldgleichungen (also der Klein-Gordon-Gleichung) erhalten. Das rechnet man auch sofort nach, denn offenbar gilt wegen (1.4.10)

$$\partial_{\mu} \op{j}^{\mu} = \ii \op{\phiup}^{\dagger} \overleft... ... m^2 (\op{\phiup}^{\dagger} \op{\phiup} - \op{\phiup}^{\dagger} \op{\phiup})=0.$$ (1.4.62)

Setzen wir in die dazugehörige Noether-Ladung die Modenentwicklung (1.4.15) ein und beachten zugleich die Normalordnung, erhalten wir

$$\op{Q}=\int_{\R^3} \dd^3 \vec{x} :\op{j}^{0}(t,\vec{x}): = \int_{\R^3} \dd^3 \vec{p} [\op{n}_a(\vec{p})-\op{n}_b(\vec{p})].$$ (1.4.63)

Wir haben also aus der Quantisierung des komplexen Klein-Gordon-Feldes eine Teilcheninterpretation erreicht, die zwei Sorten Teilchen beschreibt, die beide die gleiche Masse besitzen und auch sonst in allen Eigenschaften gleich sind. Insbesondere gilt für beide die Energie-Impulsbeziehung $E_{\vec{p}}=\sqrt{m^2+\vec{p}^2}$ . Der einzige Unterschied ist, daß die mit $a$ bezeichneten Teilchen eine positive und die mit $b$ bezeichneten eine negative Ladungseinheit tragen. Man bezeichnet solche Paare von Teilchensorten als Teilchen und Antiteilchen. Wir bemerken noch, daß wir die positive Definitheit der Energie und das entgegengesetzte Ladungsvorzeichen im Zuge der zur Renormierung der entsprechenen Größen benötigten Normalordnung nur durch die Quantisierung des skalaren Klein-Gordon-Feldes als Bosonen erreichen konnten. Hätten wir statt der kanonischen gleichzeitigen Kommutatorregeln (1.4.5), die Bosonen charakterisieren, fermionische Antikommutatorregeln angesetzt, hätten wir umgekehrt positive Energien für die Teilchen (Sorte $a$ ) negative Energien für die Antiteilchen (Sorte $b$ ) und positive Ladung für Teilchen und Antiteilchen erhalten. Diese Variante widerspricht allerdings der Stabilität des Systems, da dann kein Grundzustand niedrigster Energie existieren würde. Diese Beobachtung ist ein Beispiel für das allgemein gültige Spin-Statistik-Theorem, das wir im nächsten Abschnitt bei der Analyse der Darstellungen der Poincaré-Gruppe genauer betrachten werden. Demnach erfordert im Rahmen einer lokalen Quantenfeldtheorie die Mikrokausalität, also die Vertauschbarkeit lokaler Observablen bei raumartigen Abständen, und die positive Semidefinitheit des Hamiltonoperators zwingend die Quantisierung von Feldern mit ganzzahligem Spin als Bosonen und diejenige von Feldern mit halbzahligem Spin als Fermionen.