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Quantisierung des freien elektromagnetischen Feldes

Wir versuchen nun, die eben durchgeführten Betrachtungen am Klein-Gordonfeld auf das freie elektromagnetische Feld zu übertragen. Wir könnten die klassische Theorie in Abschnitt 1.3 einfach mit Erzeugungs und Vernichtungsoperatoren für die physikalischen transversalen Feldmoden gemäß der Fourier-Darstellung (1.3.45) quantisieren. Diese Methode hat den Vorteil, daß von vornherein in den Formalismus nur die physikalischen transversalen Feldmoden eingehen. Es zeigt sich aber, daß dies bei der Anwendung auf die wechselwirkende Theorie zu recht unangenehmen Feynman-Regeln führt und man mit nicht manifest kovarianten Größen arbeiten muß, so daß die Lorentz-Invarianz der Theorie nicht explizit gegeben ist.

Andererseits können wir aber auch versuchen, mit dem Viererpotential zu arbeiten. Hierbei ergibt sich nun ein Problem aus der Eichinvarianz der Elektrodynamik. Im folgenden wollen wir den manifest kovarianten Gupta-Bleuler-Operatorformalismus [Gup50,Ble50] besprechen, der mit einem Fock-Raum mit indefinitem Skalarprodukt arbeitet und den Hilbert-Raum der physikalischen Zustände mit positiv definitem Skalarprodukt durch Nebenbedingungen aussondert. Sämtliche Erwartungswerte physikalischer Observablen sind dann bzgl. solcher physikalischer Zustände zu nehmen, und wir müssen zeigen, daß die unphysikalischen Feldmoden und Zustände nicht zu physikalischen Aussagen beitragen.

Gehen wir nämlich zunächst von der klassischen Lagrange-Dichte (1.3.64) aus, verschwindet wegen (1.3.118) der kanonische Feldimpuls zu $ A_0$ identisch. Gehen wir andererseits von der eichfixierten Gl. (1.3.119) aus, ergibt sich beim Übergang von klassischen Feldern ein Widerspruch zwischen den kanonischen Kommutatorrelationen zu gleichen Zeiten. Den Ausweg daraus haben Gupta und Bleuler [Gup50,Ble50] gewiesen. Die Idee besteht darin, zunächst alle vier Komponenten des elektromagnetischen Potentials beizubehalten und zu quantisieren. Dabei gehen wir von der Lagrange-Dichte (1.3.119) aus, lassen jedoch die Lorenz-Eichbedingung zunächst außer acht, d.h. wir setzen

$\displaystyle \Lag=-\frac{1}{4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu} - \frac{\lambda}{2} (\partial_{\mu} A^{\mu})^2.$ (1.4.64)

Die kanonisch konjugierten Feldimpulse sind dann

$\displaystyle (\Pi^{\mu})=\left (\frac{\partial \Lag}{\partial \dot{A}_{\mu}} \right ) = -\vv{\lambda \partial_{\mu} A^{\mu}}{\dot{\vec{A}}+\vec{\nabla} A^0}.$ (1.4.65)

Solange wir $ \lambda \neq 0$ wählen, können wir also, solange wir die Lorenz-Bedingung nicht voraussetzen, die kanonischen Kommutatorrelationen zu gleichen Zeiten

$\displaystyle \comm{\op{\Piup}^{\mu}(t,\vec{x})}{\op{\Piup}_{\nu}(t,\pvec{x})}=...
...\Piup}_{\nu}(t,\pvec{x})}=\ii \delta^{\mu}_{\nu} \delta^{(3)}(\vec{x}-\pvec{x})$ (1.4.66)

ansetzen, ohne in vordergründige Widersprüche zu geraten. Da die klassischen Maxwell-Feldkomponenten reell sind, nehmen wir an, daß die $ \op{A}^{\mu}$ (und damit auch die $ \op{\Piup}^{\mu}$ ) selbstadjungierte Operatoren sind. Aus den ersten beiden Regeln folgt, daß die rein räumlichen Ableitungen der Potentiale zu gleichen Zeiten ebenfalls sämtlich kommutieren. Foglich kommutieren auch je zwei Zeitableitungen. Die einzigen nichtverschwindenden gleichzeitigen Kommutatoren zwischen den Potentialen und ihren Zeitableitungen sind also

\begin{displaymath}\begin{split}\comm{\op{A}^{\mu}(t,\vec{x})}{\dot{\op{A}}_0(t,...
...ii \delta_{j}^{\mu} \delta^{(3)}(\vec{x}-\pvec{x}). \end{split}\end{displaymath} (1.4.67)

Die Bewegungsgleichungen ergeben sich aus dem Hamiltonschen Prinzip zu

$\displaystyle \Box \op{A}^{\nu} -(1-\lambda) \partial^{\nu} \partial_{\mu} \op{A}^{\mu}=0.$ (1.4.68)

Überschieben mit $ \partial_{\nu}$ liefert

$\displaystyle \lambda \Box \partial_{\nu} \op{A}^{\nu}=0.$ (1.4.69)

Für $ \lambda \neq 0$ erfüllt also $ \partial_{\mu} \op{A}^{\mu}$ die Wellengleichung. Daraus folgern wir, daß in der Fourier-Entwicklung nur Moden mit $ k^2=0$ vorkommen. Ohne die Lorenz-Eichbedingung haben wir aber vier unabhängige Feldfreiheitsgrade, und die Entwicklung nach Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren lautet entsprechend

$\displaystyle \op{A}^{\mu}(x)=\int_{\R^3} \dd^3 \vec{k} \sum_{\lambda=0}^{3} \e...
...}) u_{\vec{k}}(x) + \op{a}^{\lambda \dagger}(\vec{k}) u_{\vec{k}}^*(x) \right].$ (1.4.70)

Dabei verwenden wir wieder die Modenfunktionen (1.4.14) mit $ m=0$ . Weiter wählen wir die $ \epsilon_{1,2}^{\mu}$ als

$\displaystyle (\epsilon_{1,2}^{\mu})=\vv{0}{\vec{\epsilon}_{1,2}(\vec{k})}$ (1.4.71)

mit den durch (1.3.38-1.3.41) definierten Polarisationsvektoren der Strahlungseichung des klassischen Feldes. Weiter sei

$\displaystyle (\epsilon_{3}^{\mu})=\vv{0}{\hat{\vec{k}}}$ (1.4.72)

und schließlich

$\displaystyle (\epsilon_{0}^{\mu})=\vv{1}{0}.$ (1.4.73)

Offenbar gilt

$\displaystyle g_{\mu \nu} \epsilon_{\lambda}^{\mu} \epsilon_{\lambda'}^{\nu} = g_{\lambda \lambda'}$   und$\displaystyle \quad g^{\lambda \lambda'} \epsilon_{\lambda}^{\mu} \epsilon_{\lambda'}^{\nu}=g^{\mu \nu}.$ (1.4.74)

In dieser Konvention liegt es nahe, anzunehmen, daß die $ \op{a}^{1,2}$ Vernichtungsoperatoren für physikalische transversale Photonen bezeichnen, während $ \op{a}^0$ unphysikalische zeitartige und $ \op{a}^3$ unphysikalische raumartige Photonen vernichten. In der Tat zeigt man in analoger Weise wie bei den skalaren Bosonen (Klein-Gordon-Feldern) die Kommutatorrelationen

$\displaystyle \comm{\op{a}^{\lambda}(\vec{k})}{\op{a}^{\lambda' \dagger}(\pvec{k})}=-g^{\lambda \lambda'} \delta^{(3)}(\vec{k}-\pvec{k}).$ (1.4.75)

Alle anderen Kommutatoren, die aus den $ \op{a}^{\lambda}$ gebildet werden können, verschwinden. Dabei stellen wir allerdings fest, daß die zeitartigen Photonen ein ,,falsches Vorzeichen`` aufweisen. Man könnte daher versucht sein, $ \op{a}^{0\dagger}$ als Vernichtungs- und $ \op{a}^{0}$ als Erzeugungsoperator zu interpretieren, aber dies führt zu einem Widerspruch mit der Zeitabhängigkeit in der Modenentwicklung (1.4.70). Entsprechend haben wir also auch für die zeitartigen Photonen wie üblich die $ \op{a}^0$ als Vernichtungsoperatoren zu interpetieren. Damit definieren wir den Vakuumzustand durch

$\displaystyle \op{a}^{\lambda}(\vec{k}) \ket{\Omega}=0$   für alle$\displaystyle \quad \lambda \in \{0,1,2,3\}, \quad \vec{k} \in \R^3.$ (1.4.76)

Berechnen wir nun das Skalarprodukt von Einphotonenzuständen $ \ket{\vec{k},\lambda}=\op{a}_{\lambda}^{\dagger} \ket{\Omega}$ mit definierter Polarisation $ \lambda \in \{0,1,2,3 \}$ , erhalten wir aus (1.4.75) und (1.4.76)

\begin{displaymath}\begin{split}\braket{\vec{k},\lambda}{\pvec{k},\lambda'} & =\...
...^{\lambda \lambda'} \delta^{(3)}(\vec{k}-\pvec{k}). \end{split}\end{displaymath} (1.4.77)

Dies bedeutet aber, daß der so konstruierte Fock-Raum mit der Sesquilinearform $ \braket{\cdot}{\cdot}$ nicht positiv definit ist. Bildet man nämlich ein Wellenpaket für ein zeitartiges Photon

$\displaystyle \ket{\psi,\lambda=0}=\int_{\R^3} \dd^3 \vec{k} \ket{\vec{k},\lambda} \psi(\vec{k})$   mit$\displaystyle \quad \int_{\R} \dd^3 \vec{k} \vert\psi(\vec{k})\vert^2=1,$ (1.4.78)

erhalten wir mit Hilfe von (1.4.77)

$\displaystyle \braket{\psi,\lambda=0}{\psi,\lambda=0}=-1<0.$ (1.4.79)

Nun wissen wir aber schon, daß zeitartige Photonen nicht physikalisch sind, d.h. wir müssen uns nun damit beschäftigen, wie wir die Lorenz-Eichbedingung in dem Formalismus berücksichtigen können. Der Ansatz von Gupta und Bleuler ist nun, physikalische Mehrphotonenzustände dadurch zu charakterisieren, daß

$\displaystyle \partial^{\mu} \op{A}_{\mu}^{(+)}(x) \ket{\Psi_{\text{phys}}}=0$ (1.4.80)

ist. Dabei ist $ \op{A}_{\mu}^{(+)}$ der Anteil des Feldoperators mit positiven Frequenzen, d.h.

$\displaystyle \op{A}_{\mu}^{(+)}(x)=\int_{\R^3} \dd^3 \vec{k} \sum_{\lambda=0}^{3} \epsilon_{\lambda \mu}(\vec{k}) \op{a}^{\lambda}(\vec{k}) u_{\vec{k}}(x).$ (1.4.81)

Daraus folgt aufgrund der Definition der Polarisationsvektoren (1.4.71-1.4.73)

$\displaystyle \partial^{\mu} \op{A}_{\mu}^{(+)} = -\ii \int_{\R^3} \dd^3 \vec{k} \; \omega(\vec{k}) [\op{a}^{0}(\vec{k})-\op{a}^{3}(\vec{k})] u_{\vec{k}}(x).$ (1.4.82)

Fourier-Transformation der Bedingung (1.4.80) liefert also als äquivalente Bedingung für die Physikalität eines Vielphotonenzustandes

$\displaystyle \forall \vec{k} \in \R^3: \quad [\op{a}^{0}(\vec{k})-\op{a}^{3}(\vec{k})] \ket{\Psi_{\text{phys}}}=0.$ (1.4.83)

Für die folgenden Betrachtungen ist es nun bequemer, den folgenden Satz von Linearkombinationen der Vernichtungsoperatoren zu verwenden:

$\displaystyle \op{a}^{\pm}(\vec{k})=\frac{1}{\sqrt{2}} [\op{a}^{0}(\vec{k}) \pm \op{a}^{3}(\vec{k})], \quad \op{a}^{j}(\vec{k})$   für$\displaystyle \quad j \in \{1,2\}.$ (1.4.84)

Die Physikalitätsbedingung für Vielphotonenzustände lautet dann

$\displaystyle \forall \vec{k} \in \R^3: \quad \op{a}^{-}(\vec{k}) \ket{\Psi_{\text{phys}}}=0.$ (1.4.85)

Aus den Kommutatorrelationen (1.4.75) rechnet man leicht nach, daß

\begin{displaymath}\begin{split}&\comm{\op{a}^{+}(\vec{k})}{\op{a}^{+\dagger}(\p...
...\vec{k}) \delta^{jk} \delta^{(3)}(\vec{k}-\pvec{k}) \end{split}\end{displaymath} (1.4.86)

gilt und alle anderen Kommutatoren zwischen diesen Operatoren verschwinden.

Offenbar bilden nun die Vielphotonenzustandsvektoren

$\displaystyle \ket{\left \{N_{+}(\vec{k}),N_{-}(\vec{k}),N_{1}(\vec{k}),N_{2}(\...
...{a}^{1 \dagger}(\vec{k}_c) \prod_{d} \op{a}^{2 \dagger}(\vec{k}_d) \ket{\Omega}$ (1.4.87)

eine verallgemeinerte Basis des Photonen-Fock-Raumes mit indefiniter Sesquilinearform. Dabei sind die $ N_{j} \in \N_0$ (mit $ j \in \{+,-,1,2
\}$ ), und Produkte mit $ N_j=0$ sind einfach wegzulassen. Der Unterraum der physikalischen Zustände, der durch die Bedingung (1.4.85) bestimmt ist, wird demnach genau durch diejenigen Vektoren der Gestalt (1.4.87) bestimmt, die keine Faktoren mit $ \op{a}^{+\dagger}$ -Operatoren enthalten. Denn für genau diese Vektoren gilt aufgrund der Kommutatorrelationen (1.4.86) die Physikalitätsbedingung (1.4.85), denn wir können ja genau dann $ \op{a}^{-}(\vec{k})$ einfach mit allen Operatoren in (1.4.87) vertauschen, und (1.4.85) ergibt sich sofort aufgrund der Definition des Vakuums gemäß (1.4.76).

Weiter gilt für die physikalischen Einphotonenzustände

$\displaystyle \braket{\vec{k},i}{\pvec{k}, j}=\delta^{ij} \delta^{(3)}(\vec{k}-\pvec{k}), \quad i,j \in \{1,2 \}$ (1.4.88)

und für die verbliebenen im physikalischen Untervektorraum $ V_{\text{phys}}$ erlaubten Linearkombinationen von unphysikalischen (zeitartigen und longitudinalen) Einphotonenzuständen

$\displaystyle \braket{\vec{k},-}{\pvec{k},-}=0$   mit$\displaystyle \quad \ket{\vec{k} ,-}= \op{a}^{-\dagger}(\vec{k}) \ket{\Omega}.$ (1.4.89)

Damit sind alle Skalarprodukte von Basiszuständen (1.4.87), die in $ V_{\text{phys}}$ liegen, positiv semidefinit, d.h. es gibt Vektoren in $ V_{\text{phys}}$ die nicht der Nullvektor sind, aber deren Sesquilinearform mit sich selbst verschwindet. Wir haben also einen Vektorraum mit einem sogenannten Präskalarprodukt und einer Pränorm, d.h. die Sesquilinearform ist positiv semidefinit aber nicht positiv definit. Wir erhalten nun einfach den Hilbertraum der Zustände dadurch, daß wir Vektoren, die sich nur um einen Vektor mit verschwindender Pränorm unterscheiden, identifizieren. Da die Vektoren aus $ V_{\text{phys}}$ mit verschwindender Pränorm einen Untervektorraum bilden, ist also der Hilbertraum für physikalische Vielphotonenzustände der Quotientenvektorraum

$\displaystyle \mathcal{H}_{\text{phys}}= \overline{V_{\text{phys}}/V_{\text{phy...
...t{phys}}^{(0)} = \{\ket{\psi} \in V_{\text{phys}}\vert\braket{\psi}{\psi}=0 \}.$ (1.4.90)

Dabei deutet der Strich über dem Quotientenvektorraumsymbol an, daß wir den topologischen Abschluß dieses Raumes bzgl. der Pränorm betrachten.

Wir müssen nun noch zeigen, daß Skalarprodukte beliebiger physikalischer Zustände unabhängig von der Wahl der Repräsentanten sind. Eine Basis des Raumes $ V_{\text{phys}}$ ist nun offenbar durch die Untermenge von Besetzungszahleigenzuständen

$\displaystyle \ket{\{N_{+}(\vec{k})=0,N_-(\vec{k}),N_1(\vec{k}),N_2(\vec{k})\}_...
...dagger}(\vec{k}_c) \prod_{d=1}^{N_2} \op{a}^{2 \dagger}(\vec{k}_d) \ket{\Omega}$ (1.4.91)

gegeben. Dabei sind die $ N_{j} \in \N_0$ (mit $ j \in \{-,1,2 \}$ ), und Produkte mit $ N_j=0$ sind wieder einfach wegzulassen. Basiszustände von verschwindender Norm sind genau diejenigen Vektoren mit $ N_- \neq 0$ , und diese spannen demnach den Untervektorraum $ V_0$ des physikalischen Raumes auf, und das Skalarprodukt dieser Zustände mit allen anderen Basiszuständen (1.4.91) verschwindet. Folglich sind für alle Vektoren $ \ket{\psi} \in V_{\text{phys}}$ die Skalarprodukte unabhängig vom Repräsentanten in $ V_{\text{phys}}/V_{\text{phys}}^{(0)}$ . Weiter müssen wir uns noch darüber klar werden, welche aus den Feldoperatoren gebildeten Operatoren Observablen repräsentieren können. Das sind offensichtlich genau solche (selbstadjungierten) Operatoren $ \op{O}$ , die für alle $ \vec{k}$ mit $ \op{a}^{-}(\vec{k})$ (und dann auch mit $ \op{a}^{-\dagger}(\vec{k})$ ) vertauschen, denn dann gilt für alle $ \ket{\psi} \in V_{\text{phys}}$

$\displaystyle \forall \vec{k} \in \R^3: \quad \op{a}^{-}(\vec{k}) \op{O} \ket{\psi} = \op{O} \op{a}^{-}(\vec{k}) \ket{\psi}=0,$ (1.4.92)

und das bedeutet, daß auch $ \op{O} \ket{\psi} \in V_{\text{phys}}$ , und der Erwartungswert

$\displaystyle \erw{O}=\matrixe{\psi}{\op{O}}{\psi}$ (1.4.93)

ist demnach unabhängig vom Repräsentanten $ \ket{\psi}$ für irgendein Element aus $ \mathcal{H}_{\text{phys}}$ . Offenbar erfüllen diese Bedingung alle Operatoren, die keine Operatoren $ \op{a}^{+}(\vec{k})$ oder $ \op{a}^{+\dagger}(\vec{k})$ enthalten.

In der klassischen Elektrodynamik sind nur solche Funktionen der $ A_{\mu}$ und ihrer Ableitungen Observablen, die invariant unter Eichtransformationen sind, d.h. Funktionen der Feldstärkekomponenten $ F_{\mu \nu}$ . Drücken wir nun aber den quantisierten Feldstärketensor mit Hilfe der Zerlegung (1.4.70) aus, erhalten wir

\begin{displaymath}\begin{split}\op{F}_{\mu \nu}(x) &=\partial_{\mu} \op{A}_{\nu...
...p{a}_{\lambda}(\vec{k}) u_{\vec{k}}(x) +\text{h.c.} \end{split}\end{displaymath} (1.4.94)

Die rein räumlichen Komponenten mit $ \mu, \nu \in \{1,2,3\}$ hängen nur von den transversalen Moden $ \propto \op{a}_{1,2}$ ab. Für $ \mu=0$ und für $ \nu \in \{1,2,3 \}$ folgt

$\displaystyle \sum_{\lambda=0}^{3} (k_0 \epsilon_{\nu}^{\lambda}-k_{\nu} \epsil...
...da} = -\sqrt{2} k_{\nu} \op{a}^{-} + k_0 \sum_{\lambda=1}^{2} \op{a}_{\lambda}.$ (1.4.95)

Wegen der Kommutatorrelationen (1.4.86) kommutiert also $ \op{F}_{\mu \nu}$ tatsächlich mit $ \op{a}^{-}(\vec{k})$ für alle $ \vec{k}$ , und die Unabhängigkeit der Erwartungswerte von Observablen von der Wahl des Repräsentanten eines beliebigen physikalischen Zustandes ist bewiesen.

Wir bemerken weiter, daß sich mit

$\displaystyle \partial_{\mu} \op{A}^{\mu}(x) =\frac{1}{\lambda} \op{\Piup^0} = -\sqrt{2} \ii \int_{\R^3} \dd^3 \vec{k} \; k_0 \op{a}_-(\vec{k}) u_{\vec{k}}(x) +$   h.c. (1.4.96)

die folgende Klasse von Eichtransformationen

$\displaystyle \op{A}_{\mu} \rightarrow \op{A}_{\mu}'=\op{A}_{\mu}+\partial_{\mu} \chi$   mit$\displaystyle \quad \Box \chi=0$ (1.4.97)

erzeugen läßt. Diese Eichtransformationen lassen in der klassischen Theorie übrigens auch die Lorenz-Bedingung ungeändert. Die Lorenz-Bedingung legt also die Eichung nicht vollständig fest. Betrachten wir nun das selbstadjungierte Operatorfunktional

$\displaystyle \op{\Lambdaup}[\chi]=\lambda \int_{\R^3} \dd^3 \pvec{x} \; \left ...
...dot{\op{A}}^{\mu}(x') - \dot{\chi}(x') \partial_{\mu} \op{A}^{\mu}(x') \right].$ (1.4.98)

Aufgrund der Nebenbedingung $ \Box \chi=0$ und der Bewegungsgleichungen (1.4.68) zeigt man zunächst durch eine einfache Rechnung, daß

$\displaystyle \dot{\Lambda}=0$ (1.4.99)

gilt und dann unter Zuhilfenahme der kanonischen Kommutatorrelationen zu gleichen Zeiten (1.4.66), aus denen zusammen mit (1.4.65) sofort die ebenfalls benötigten Kommutatoren

$\displaystyle \comm{\dot{\op{A}}^{\mu}(t,\vec{x})}{\op{A}_{\nu}(t,\pvec{x})} = ...
...{u}r} \quad \mu=0,  1 & \text{f\uml {u}r} \quad \mu \in \{1,2,3\} \end{cases}$ (1.4.100)

folgen, daß

$\displaystyle \comm{\ii \op{\Lambdaup}[\chi]}{\op{A}_{\mu}(x)} = \partial_{\mu} \chi(x)$ (1.4.101)

ist. Dabei kann man wegen (1.4.99) im definierenden Integral (1.4.98) das Zeitargument $ t'=t$ setzen. Mit der Baker-Campbell-Haussdorf-Formel folgt daraus in der Tat

$\displaystyle \exp(\ii \op{\Lambdaup}[\chi]) \op{A}(x) \exp(-\ii \op{\Lambdaup}[\chi])=\op{A}_{\mu}(x)+\partial_{\mu} \chi(x).$ (1.4.102)

Berücksichtigen wir (1.4.96), bedeutet dies, daß die Physikalität einer Observablen in der Tat deren Invarianz unter den restringierten Eichtransformationen (1.2.8) impliziert, denn offenbar vertauscht $ \op{\Lambdaup}$ für alle $ \chi$ mit dem entsprechenden Operator, genau dann, wenn er für alle $ \vec{k} \in \R^3$ mit $ \op{a}_-(\vec{k})$ vertauscht.

Nachdem wir nun den Hilbertraum der Zustände kontruiert und die physikalisch relevanten Observablen als eichinvariante selbstadjungierte Operatoren charakterisiert haben, können wir nun die Realisierung der Poincaré-Gruppe als unitäre Darstellung auf diesem Raum untersuchen. Dies geschieht weitgehend analog zum Vorgehen für das Klein-Gordon-Feld im vorigen Abschnitt. In Abschnitt 1.3.6 haben wir bereits die eichinvarianten Ausdrücke für Energie, Impuls, Drehimpuls und Schwerpunkt des klassischen elektromagnetischen Feldes hergeleitet. Allerdings können wir diese nicht ohne weiteres in den Gupta-Bleuler-Formalismus übernehmen, denn auf Operatorniveau haben wir die Eichinvarianz durch den ,,Eichfixierungsterm`` in der Lagrangedichte (1.4.64) explizit gebrochen. Nur für die Erwartungswerte bzgl. physikalischer Zustände dürfen wir eichinvariante Resultate erwarten.

Wir müssen nun also in zwei Schritten vorgehen: Zuerst ist zu zeigen, daß durch die kanonischen Ausdrücke für Energie, Impuls, Drehimpuls und Schwerpunkt die Poincaré-Transformationen im Sinne lokaler Feldoperatoren generiert werden, wobei wir uns auf infinitesimale Transformationen, also die durch Kommutatoren repräsentierte Lie-Algebra, beschränken können. Dann ist zu zeigen, daß die Erwartungswerte dieser Operatoren für beliebige physikalische Zustände den Erwartungswerten der entsprechenden eichinvarianten Ausdrücke entspricht, d.h. insbesondere sollten nur die beiden transversalen Photonenfreiheitsgrade zu den observablen Größen beitragen. Außerdem sollte die Energie positiv semidefinit sein.

Beginnen wir also mit der Berechnung des Energie-Impulstensors aus der Lagrangedichte (1.4.64), wobei wir uns die Ausdrücke normalgeordnet denken. Gemäß (1.3.87) lautet der Energie-Impulstensor

$\displaystyle \op{\Thetaup}^{\mu \nu}=(\partial^{\mu} \op{A}^{\rho}) {\op{F}_{\...
...ma} + \frac{\lambda}{2} (\partial_{\rho} \op{A}^{\rho})^2 \right ] g^{\mu \nu}.$ (1.4.103)

Wir benötigen insbesondere die Komponenten für $ \mu=0$ , und es ist für das folgende bequemer alle Zeitableitungen von Feldoperatoren durch die entsprechenden kanonischen Impulse (1.4.65) zu ersetzen. Da wir damit die manifeste Kovarianz aufgeben, verwenden wir die dreidimensionale Schreibweise, wobei sämtliche Dreiervektoranteile von Vierervektoren hinsichtlich des Vorzeichens den kontravarianten Komponenten entsprechen (mit Ausnahme von Gradienten, für den $ \vec{\nabla}=(\partial_j)$ ist). Die entsprechenden Komponenten des kanonischen Energie-Impulstensors sind also

\begin{displaymath}\begin{split}\op{\Thetaup}^{00}= &\frac{1}{2} \vec{\op{\Piup}...
...p{A}}+\vec{\op{\Piup}} \cdot \vec{\nabla} \op{A}^0, \end{split}\end{displaymath} (1.4.104)

und

\begin{displaymath}\begin{split}\op{\Thetaup}^{j0} = & (\vec{\op{\Pi}} \times \v...
...abla}) \op{A}^j + \op{\Piup}^0 \partial^j \op{A}^0. \end{split}\end{displaymath} (1.4.105)

Bedenkt man, daß gemäß (1.4.65) $ \vec{\op{\Piup}}=\vec{\op{E}}$ ist, sind die oberen Zeilen die eichinvarianten Ausdrücke entsprechend dem symmetrischen Energie-Impulstensor der klassischen Theorie (1.3.96). Der Gesamtviererimpuls des Feldes ist entsprechend

$\displaystyle \op{P}^{\mu} = \int_{\R^3} \dd^3 \vec{x} :\op{\Thetaup}^{\mu 0}(x):  .$ (1.4.106)

Es ist sofort klar, daß für die Ausdrücke mit $ \op{\Pi}^0=-\lambda \partial_{\mu} \op{A}^{\mu}$ die Matrixelemente mit beliebigen physikalischen Zuständen verschwinden, denn die entsprechenden Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren kommutieren in den Operatorprodukten, so daß man entsprechend die Vernichteranteile auf den Ket und die Erzeugeranteile auf den Bra im Matrixelement wirken lassen darf, und physikalische Zustände sind ja vermöge der Gupta-Bleuler-Bedingung (1.4.80) gerade dadurch definiert, daß dies 0 ergibt. Dies ist auch für den letzten Ausdruck in (1.4.105) der Fall, denn es ist $ \partial^{j}
\op{A}^0=\op{\Piup}^j-\dot{\op{A}}^j$ , und dieser Ausdruck kommutiert mit $ \op{\Pi}^0$ . Der Ausdruck $ (\vec{\op{\Piup}} \cdot \vec{\nabla})
\op{A}^{\mu}$ verschwindet vermöge partieller Integration und der Bewegungsgleichung $ \vec{\nabla} \cdot \vec{\op{\Piup}}=\vec{\nabla}
\cdot \vec{\op{E}}=0$ für ein freies elektrisches Feld, wobei wir voraussetzen, daß wir nur solche Zustände betrachten, für die die entsprechenden Erwartungswerte im Unendlichen hinreichend schnell abfallen.

In der Tat ergeben die kanonischen Kommutatorrelationen (1.4.66) nach einer einfachen Rechnung

$\displaystyle -\ii \delta a^{\nu} \comm{\op{A}^{\mu}(x)}{\op{P}_{\nu}} = \delta a^{\nu} \partial_{\nu} \op{A}^{\mu}(x).$ (1.4.107)

Die Viererimpulse erzeugen also Transformationen entsprechend dem Transformationsverhalten der klassischen Felder unter raum-zeitlichen Translationen (1.3.86).

Für die Erwartungswerte des Viererimpulses erhält man gemäß (1.4.106) für alle $ \ket{\Psi} \in \Ham_{\text{phys}}$

$\displaystyle \matrixe{\Psi}{\op{P}^{\mu}}{\op{\Psi}} = \tilint{\vec{k}} \vv{\o...
...atrixe{\Psi}{\op{a}^{\lambda \dagger}(\vec{k})\op{a}^{\lambda}(\vec{k})}{\Psi}.$ (1.4.108)

Es tragen also in der Tat nur die transversalen Polarisationszustände bei, und die Energie ist positiv semidefinit, da dies auf die Summe unter dem Integral zutrifft und $ \omega(\vec{k})=\vert\vec{k}\vert \geq 0$ ist.

Ebenso finden wir unter Berücksichtigung des Zusatzterms aufgrund der Eichfixierung aus (1.3.82) und (1.3.105) und (1.3.107) den Drehimpulsdichtetensor zu

$\displaystyle \op{j}^{\rho \sigma \nu} = x^{\rho} \op{\Thetaup}^{\sigma \nu} - ...
...a} \op{A}^{\alpha}) (g^{\rho \nu} \op{A}^{\sigma}-g^{\sigma \nu} \op{A}^{\rho})$ (1.4.109)

und damit für die Erzeuger von Boosts und Drehungen

\begin{displaymath}\begin{split}\op{K}^a&= \int_{\R^3} \dd^3 \vec{x} :\left (t \...
...p{\Theta}^{c0} - \op{A}^b \op{\Pi}^c \right ):   . \end{split}\end{displaymath} (1.4.110)

In der Tat ergeben sich durch Anwendung der kanonischen Kommutatorrelationen die korrekten Transformationsformeln für die Feldoperatoren:

\begin{displaymath}\begin{split}& \ii \comm{\op{A}^0(x)}{\delta \vec{\eta} \cdot...
... - [\delta \vec{\varphi} \times \vec{\op{A}}(x)]^j. \end{split}\end{displaymath} (1.4.111)

Es ist auch wieder leicht zu zeigen, daß für die Erwartungswerte der Schwerpunktsbewegung $ \vec{\op{K}}$ und des Gesamtdrehimpulses $ \vec{\op{J}}$ die nichteichinvarianten Operatorausdrücke herausfallen. Eine eindeutige eichinvariante Aufspaltung des Gesamtdrehimpulses in einen Bahn- und Spin-Anteil ist hingegen nicht möglich. Insgesamt haben wir also eine konsistente und manifest kovariante Realisierung der Poincaré-Gruppe für masselose Teilchen mit Spin 1 gefunden, in der sich die Feldoperatoren lokal, also wie die entsprechenden klassischen Feldgrößen, transformieren, und die Erzeuger der Gruppe liefern die zu erwartenden physikalischen Observablen. Die Energie ist positiv semidefinit und damit das physikalische Vakuum der Grundzustand, der invariant unter Poinacaré-Transformationen ist. Wie beim skalaren Feld halten wir noch fest, daß hierbei eine Quantisierung als Fermionen-Feld inkonsistent wäre, da dann die Normalordnung nicht zu einer nach unten beschränkten Energie führen würde und somit kein stabiler Grundzustand existieren würde. Dies ist wieder ein Spezialfall des allgemeinen Spin-Statistik-Theorems.




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