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Massive Vektorbosonen: Das Proca-Feld

Wir betrachten nun massive Vektorfelder. Eine mögliche Lagrange-Dichte für solch ein Feld ist die Proca-Lagrange-Dichte

$\displaystyle \Lag = -\frac{1}{4} \op{F}_{\mu \nu} \op{F}^{\mu \nu} + \frac{m^2}{2} \op{A}_{\mu} \op{A}^{\mu}$   mit$\displaystyle \quad \op{F}_{\mu \nu}=\partial_{\mu} \op{A}_{\nu} - \partial_{\nu} \op{A}_{\mu}.$ (1.4.112)

Der wesentliche Unterschied zum masselosen Vektorfeld, das wir oben zur Beschreibung der Photonen verwendet haben, ist, daß es nicht eichinvariant ist, denn der Massenterm bricht diese Symmetrie der Wirkung des masselosen Feldes offensichtlich, d.h. die eichtransformierte Lagrangedichte ändert sich um einen Term, der nicht als Divergenz einer skalaren Funktion von $ \op{A}_{\mu}$ geschrieben werden kann.

Daher gibt es auch nur vordergründig Probleme bei der Quantisierung. Wie beim masselosen Vektorfeld ist ja der kanonische Feldimpuls

$\displaystyle \op{\Piup}^{\mu}:=\frac{\partial \Lag}{\partial (\partial_0 \op{A}_{\mu})}=\op{F}^{\mu 0},$ (1.4.113)

so daß wieder $ \op{\Pi}^0=0$ wird. Allerdings ergibt das Hamiltonsche Prinzip als Feldgleichung die Proca-Gleichung

$\displaystyle (\Box+m^2) \op{A}_{\mu} - \partial_{\mu} \partial_{\nu} \op{A}^{\nu}=0.$ (1.4.114)

Kontrahieren wir diese Gleichung mit $ \partial^{\mu}$ , folgt sofort

$\displaystyle m^2 \partial_{\mu} \op{A}^{\mu}=0 \; \stackrel{m \neq 0}{\Rightarrow} \; \partial_{\mu} \op{A}^{\mu}=0.$ (1.4.115)

Die Lorenz-Eichbedingung gilt hier also aufgrund der Bewegungsgleichungen automatisch und muß nicht als Eichfixierungsbedingung gefordert werden. Dies wäre wegen der fehlenden Eichinvarianz ja auch gar nicht möglich gewesen. Entsprechend gilt im Gegensatz zum elektromagnetischen Feld die Transversalität des Proca-Feldes auch als Operatoridentität und nicht lediglich als Nebenbedingung zur Konstruktion des physikalischen Fock-Raumes. Außerdem bleiben von den vier Feldkomponenten $ \op{A}^{\mu}$ nur noch drei relevante Freiheitsgrade übrig, wie es für massive Teilchen mit Spin 1 auch sein muß. Dies werden wir im nächsten Kapitel aus der Darstellungstheorie der Poincaré-Gruppe folgern. Weiter ergibt sich wegen (1.4.115) auch, daß in der Tat die Bedingung

$\displaystyle (\Box+m^2) \op{A}_{\mu}=0$ (1.4.116)

gilt. Für ebene Wellenlösungen ergibt sich also die Massenschalenbedingung für die Impulse der Teilchen $ k^2=m^2$ , so daß die quantisierten Gleichungen tatsächlich Teilchen mit der Masse $ m$ beschreiben.

Es ist nun einfach, die Theorie kanonisch zu quantisieren, indem wir von vornherein nur mit den drei vierertransversalen Moden arbeiten und für die entsprechenden Erzeuger und Vernichter Bose-Kommutatorregeln verlangen. Für die Polarisationsvektoren wählen wir diesmal

$\displaystyle \epsilon_0^{\mu}=\frac{k}{m}, \quad \left (\epsilon_{1,2}^{\mu} \...
...\vec{\epsilon}_{1,2}}, \quad \epsilon_3=\vv{\vert\vec{k}\vert/m}{k^0 \hat{k}/m}$   mit$\displaystyle \quad k^0=+\sqrt{\vec{k}^2+m^2}.$ (1.4.117)

Dabei sind die $ \vec{\epsilon}_{12}$ wieder die beiden zu $ \vec{k}$ senkrechten Polarisationstensoren gemäß (1.3.38-1.3.41), die die beiden zu $ \vec{k}$ transversalen Moden des Proca-Feldes repräsentieren und $ \vec{\epsilon}_3$ die beim massiven Vektorfeld gegenüber dem masselosen Vektorfeld zusätzlich auftretende zu $ \vec{k}$ longitudinale Komponente. Wegen (1.4.115) lautet also die vollständige Modenentwicklung des Proca-Feldes

$\displaystyle \op{A}^{\mu}(x) = \int_{\R^3} \dd^3 \vec{k} \sum_{\lambda=1}^{3} ...
...) u_{\vec{k}}(x) + \op{a}^{\lambda \dagger}(\vec{k}) u_{\vec{k}}^*(x) \right ].$ (1.4.118)

Wir überlassen es dem Leser zur Übung, mit Hilfe der Bose-Vertauschungsrelationen

$\displaystyle \comm{\op{a}^{\lambda}(\vec{k})}{\op{a}^{\lambda'}(\pvec{k})}=0, ...
...mbda \dagger}(\pvec{k})} = -g^{\lambda \lambda'} \delta^{(3)}(\vec{k}-\pvec{k})$   für$\displaystyle \quad \lambda,\lambda' \in \{1,2,3 \}$ (1.4.119)

nachzuweisen, daß die kanonischen Erzeugenden der Poincaré-Transformationen aus dem Noether-Formalismus zu lokalen Transformationsformeln der Felder sowie zu einer positiv semidefiniten Energie führen. Insbesondere erlaubt erlaubt dies die übliche Teilcheninterpretation von (1.4.118) und die Konstruktion des bosonischen Fock-Raumes mit dem durch

$\displaystyle \forall \vec{k} \in \R^3, \quad \lambda \in \{1,2,3 \}: \quad \op{a}^{\lambda}(\vec{k}) \ket{\Omega}=0$ (1.4.120)

eindeutig bestimmten Vakuumzustand.




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