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Massive Vektorbosonen: Der Stueckelberg-Formalismus

Wie wir später bei der Betrachtung wechselwirkender Teilchen feststellen werden, ergeben sich für masselose Teilchen neben den allen relativistischen Quantenfeldtheorien inhärenten Problemen mit divergierenden Ausdrücken in der Störungsreihe für Streuamplituden, die von den Feldmoden hoher Energie herrühren (UV-Divergenzen), derer wir mit der Renormierungstheorie begegnen können, auch Probleme mit den Feldmoden kleiner Impulse (IR-Divergenzen). Deren Ursache ist, daß im strikten Sinne keine asymptotisch freien masselosen Teilchen existieren und daher streng genommen auch kein Fock-Raum asymptotisch freier Teilchen. Andererseits ist der Rock-Raum-Formalismus und die Entwicklung der Felder in Impulseigenmoden äußerst bequem. Daher ist es wünscheswert, zunächst die IR-Divergenzen dadurch zu regularisieren, daß man für die masselosen Teilchen in der Theorie Massen einführt und erst am Ende der Rechnung für physikalisch meßbare Größen wie $ S$ -Matrixelemente, Wirkungsquerschnitte usw. diese Massen wieder gegen 0 streben läßt. Für das elektromagnetische Feld, also die Quantenelektrodynamik ergibt sich nun aber das Problem, daß man den Photonen nicht ohne weiteres eine Masse geben kann, ohne die Eichsymmetrie zu zerstören. Man könnte allerdings versucht sein, ein Proca-Feld mit kleiner Masse $ m$ zu verwenden und dann den Limes $ m \rightarrow 0$ zu betrachten. Solche Modelle sind aber nicht im Dysonschen Sinne renormierbar, d.h. die für die Berechnung physikalischer Größen benötigten Green-Funktionen der Störungstheorie können nicht mit Hilfe endlich vieler Gegenterme endlich gemacht werden.

Diese Problematik läßt sich nun mit einem durch Stückelberg gefundenen Formalismus umgehen, indem man neben dem massiven Vektorfeld $ \op{V}_{\mu}$ auch ein skalares selbstadjungiertes Stückelberg-Geistfeld einführt. Die Lagrange-Dichte

$\displaystyle \Lag_1=-\frac{1}{4} \op{F}_{\mu \nu} \op{F}^{\mu \nu} + \frac{1}{...
...}_{\mu}-\partial_{\mu} \op{\phiup}) (m \op{V}^{\mu}-\partial^{\mu} \op{\phiup})$   mit$\displaystyle \quad \op{F}_{\mu \nu}=\partial_{\mu} \op{V}_{\nu}-\partial_{\nu} \op{V}_{\mu}$ (1.4.121)

ist dann offenbar invariant unter der Eichtransformation

$\displaystyle \op{V}_{\mu}'=\op{V}_{\mu}-\partial_{\mu} \chi, \quad \op{\phiup}' = \op{\phiup}-m \chi.$ (1.4.122)

Wir können nun also wie beim elektromagnetischen Feld einen eichfixierenden Zusatzterm in die Lagrange-Dichte einführen und dann wie bei der Gupta-Bleuler-Quantisierung vorgehen und die entsprechende Eichbedingung als Bedingung für die physikalischen Zustände fordern:

$\displaystyle \Lag_2=-\frac{\ii}{2 \xi} \left (\partial_{\mu} \op{V}^{\mu} + \x...
... +} + \xi m \op{\phiup}^{+} \right ) \ket{\psi_{\text{phys}}} \stackrel{!}{=}0.$ (1.4.123)

Auch hier überlassen wir dem Leser die detaillierte Ausführung des Quantisierungsprogramms, das weitgehend analog zur Gupta-Bleuler-Quantisierung des elektromagneitschen Feldes erfolgt. Wie dort zeigt sich dabei, daß von den nunmehr eingeführten fünf Feldfreiheitsgraden ($ 4$ Komponenten für $ \op{V}^{\mu}$ und das skalare Feld $ \op{\phiup}$ ) zwei nicht zu den Erwartungswerten eichinvarianter Observabler beitragen. Die übrigen drei Freiheitsgrade beschreiben die drei physikalischen vierertransversalen Komponenten des massiven Vektorfeldes. Wie wir später sehen werden, ergibt sich für $ \xi > 0$ im Limes $ m \rightarrow 0$ wieder die Theorie eines masselosen Vektorfeldes, wobei insbesondere der raumartige zu $ \vec{k}$ longitudinale Vektorfeldanteil von der Wechselwirkung vollkommen entkoppelt (ebenso wie der Stückelberg-Geist ein freies Feld ist). Andererseits hängen für $ m>0$ die in der Störungsrechnung der wechselwirkenden Theorie zu berechnenden $ S$ -Matrixelemente nicht vom ,,Eichparamater`` $ \xi$ ab, und im Limes $ \xi \rightarrow
\infty$ erhält man wieder den Proca-Formalismus zur Beschreibung eines massiven Vektorfeldes, wobei die Masse des Stückelberg-Geistes $ \rightarrow \infty$ strebt und somit als physikalisches Teilchen aus der Theorie verschwindet. Für eine im Sinne des Stückelbergformalismusses eichinvariante Theorie mit massiven Eichfeldern bedeutet dies, daß wir eine für endliches $ \xi > 0$ manifest renormierbare Theorie wechselwirkender massiver Vektormesonen konstruiert haben, deren physikalische Folgerungen mit denen des durch den Proca-Formalismus übereinstimmt.




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