Nächste Seite: Quantisierung des freien Dirac-Feldes Aufwärts: Das Dirac-Feld Vorherige Seite: Das Dirac-Feld   Inhalt

Das klassische Dirac-Feld

Mit dem Ziel, eine in sich konsistente relativistische Wellenmechanik zu konstruieren, stellte Dirac nach dem Vorbild der nichtrelativistischen Schrödinger-Gleichung eine relativistische Wellengleichung auf, die die Zeitableitung nur in erster Ordnung enthält. Aus Gründen der Lorentz-Symmetrie mußten auch die Ortsableitungen in erster Ordnung in die Gleichung eingehen. Außerdem mußte aus der Gleichung auch die Massenschalenbedingung $ -(\Box+m^2) \psi(x)=0$ folgen. Es zeigte sich, daß dieses Programm nur mit einem vierkomponentigen Dirac-Spinorfeld $ \psi$ mit der Hilfe von vier Dirac-Matrizen $ \gamma^{\mu}$ möglich war:

$\displaystyle (\ii \partial_{\mu} \gamma^{\mu}-m \bm{1}_4) \psi=0.$ (1.5.1)

Zur Abkürzung hat Feynman seine ,,Slash-Notation`` eingeführt: $ \fslash{\partial}:=\gamma^{\mu} \partial_{\mu}$ . Multiplizieren wir nun die Dirac-Gleichung (1.5.1) mit $ \ii \fslash{\partial}+m
\bm{1}_4$ , erhalten wir

$\displaystyle (-\fslash{\partial}^2-m^2 \bm{1}_4) \psi=0.$ (1.5.2)

Damit dies der Massenschalenbedingung entspricht, verlangen wir

$\displaystyle \fslash{\partial}^2=\Box$ (1.5.3)

bzw. noch allgemeiner

$\displaystyle \acomm{\gamma^{\mu}}{\gamma^{\nu}}=2 g^{\mu \nu} \bm{1}_4.$ (1.5.4)

Es ist klar, daß aus (1.5.4) tatsächlich (1.5.3)

$\displaystyle \fslash{\partial}^2=\gamma^{\mu} \gamma^{\nu} \partial_{\mu} \par...
...artial_{\nu} = g^{\mu \nu} \partial_{\mu} \partial_{\nu} \bm{1}_4=\Box \bm{1}_4$ (1.5.5)

folgt. In einer $ 2\times 2$ -Blocknotation lautet eine für unsere Zwecke besonders bequeme Realisierung1.7 der Dirac-Matrizen

$\displaystyle \gamma^0=\begin{pmatrix}0 & \bm{1}_2  \bm{1}_2 & 0 \end{pmatrix}, \quad \gamma^{j}=\begin{pmatrix}0 & \sigma^i  -\sigma^i & 0 \end{pmatrix}$ (1.5.6)

mit den bekannten Pauli-Matrizen

$\displaystyle \sigma^1=\begin{pmatrix}0 & 1  1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigm...
...& 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma^3=\begin{pmatrix}1 & 0  0 & -1 \end{pmatrix}.$ (1.5.7)

Die Antikommutatorrelationen (1.5.4) folgen sofort aus den Antikommutatorrelationen für die Pauli-Matrizen

$\displaystyle \acomm{\sigma^j}{\sigma^k}=2 \delta^{jk} \bm{1}_2.$ (1.5.8)

Wir notieren weiter noch die Pseudohermitezität der Diracmatrizen

$\displaystyle \gamma^0 \gamma^{\mu \dagger} \gamma^0=\gamma^{\mu}   \Leftrightarrow   \gamma^{\mu \dagger}=\gamma^0 \gamma^{\mu} \gamma^0.$ (1.5.9)

Das Verhalten unter Lorentz-Transformationen können wir herleiten, indem wir fordern, daß die Dirac-Gleichung forminvariant unter Lorentztransformationen ist. Dabei soll sich das Feld linear transformieren:

$\displaystyle x'=\Lambda x, \quad \psi'(x')=S(\Lambda) \psi(x).$ (1.5.10)

Um $ S(\Lambda)$ zu finden, bemerken wir, daß

$\displaystyle \partial_{\mu}'=\frac{\partial}{\partial x'{}^{\mu}}=\frac{\parti...
...}{\partial x'{}^{\mu}} \partial_{\nu}={(\Lambda^{-1})^\nu}_{\mu} \partial_{\nu}$ (1.5.11)

gilt. Setzen wir dies in die Diracgleichug für das transformierte Feld ein, erhalten wir

$\displaystyle (\ii \fslash{\partial}'-m) \psi'(x')=\left [\ii {(\Lambda^{-1})^{\nu}}_{\mu} \gamma^{\mu} \partial_{\nu} -m \right ] S(\Lambda) \psi(x).$ (1.5.12)

Multiplizieren wir diese Gleichung von links mit $ S^{-1}(\Lambda)$ folgt die Diracgleichung für das transformierte Feld, wenn

$\displaystyle {(\Lambda^{-1})^{\nu}}_{\mu} S^{-1}(\Lambda) \gamma^{\mu} S(\Lamb...
...   S^{-1}(\Lambda) \gamma^{\mu} S(\Lambda)={\Lambda^{\mu}}_{\nu} \gamma^{\nu}.$ (1.5.13)

Wir berechnen zunächst $ S(\Lambda)$ für eine infinitesimale Lorentztransformation

$\displaystyle \Lambda=\bm{1}+\delta \omega, \quad {\Lambda^{\mu}}_{\nu}={\delta^{\mu}}_{\nu} + {\delta \omega^{\mu}}_{\nu}.$ (1.5.14)

Aus der Eigenschaft der Lorentztransformation, daß es Minkowskiprodukte zwischen beliebigen Vierervektoren invariant läßt, folgt

$\displaystyle g_{\mu \nu} {\Lambda^{\mu}}_{\rho} {\Lambda^{\nu}}_{\sigma}=g_{\rho \sigma}.$ (1.5.15)

Setzen wir darin (1.5.14) ein, ergibt sich aus dieser Bedingung, daß

$\displaystyle \delta \omega_{\mu \nu} =-\delta \omega_{\nu \mu}$ (1.5.16)

ist. Wir setzen nun

$\displaystyle S(\Lambda)=\bm{1}_4 + \frac{1}{8} \delta \omega_{\mu \nu} \gamma^...
...^{-1}(\Lambda)=\bm{1}_4 - \frac{1}{8} \delta \omega_{\mu \nu} \gamma^{\mu \nu},$ (1.5.17)

wobei $ \gamma^{\mu \nu}=-\gamma^{\nu \mu}$ eine geeignete $ 4 \times
4$ -Matrix bezeichnen soll, die im Diracspinorraum wirkt. Bei der Matrixinversion haben wir nur die erste Ordnung in $ \delta \omega$ berücksichtigt. Um nun $ \gamma^{\mu \nu}$ zu bestimmen, wenden wir diesen Ansatz auf (1.5.13) an, wobei wir wieder bis zur ersten Ordnung in $ \delta \omega$ entwickeln. Nach kurzer Rechnung folgt

\begin{displaymath}\begin{split}\comm{\gamma^{\mu}}{\gamma^{\rho \sigma}}=& 4(g^...
...gamma^{\mu}}{\comm{\gamma^{\rho}}{\gamma^{\sigma}}} \end{split}\end{displaymath} (1.5.18)

Dabei haben wir im letzten Schritt benutzt, daß $ \gamma^{\rho
\sigma}=-\gamma^{\sigma \rho}$ ist. Wir können also

$\displaystyle \gamma^{\rho \sigma}=\comm{\gamma^{\rho}}{\gamma^{\sigma}}$ (1.5.19)

setzen. Für endliche Lorentztransformationen folgt durch Anwenden der Matrix-Exponentialfunktion

$\displaystyle S(\Lambda)=\exp \left(\frac{1}{8} \omega_{\mu \nu} \gamma^{\mu \nu} \right).$ (1.5.20)

Aus der Pseudohermitezität (1.5.9) und $ (\gamma^0)^2=1$ folgt

$\displaystyle \gamma^0 (\gamma^{\rho \sigma})^{\dagger} \gamma^0 = \gamma^{\sigma \rho} = - \gamma^{\rho \sigma}$ (1.5.21)

und damit

$\displaystyle S^{-1}(\Lambda)=\gamma^{0} S^{\dagger} (\Lambda) \gamma^{0},$ (1.5.22)

d.h. $ S(\Lambda)$ ist pseudounitär. Es ist wichtig zu bemerken, daß $ S(\Lambda)$ nicht wirklich unitär ist. Dies weist schon darauf hin, daß eine Einteilchenquantentheorie auf der Basis der Diracgleichung widersprüchlich in sich selbst ist, denn in einer solchen Quantentheorie sollten alle eigentlich orthochronen Lorentztransformationen unitär dargestellt werden. Dies ist aber nicht der Fall, wie wir nun zeigen wollen.

Betrachten wir zunächst einen Boost in der Richtung $ \vec{n}$ ( $ \vec{n}^2=1$ ). Die entsprechende Matrix besitzt die Form

$\displaystyle \Lambda(\vec{\eta})= \begin{pmatrix}\cosh \eta & -\vec{n}^t \sinh...
... \eta & \cosh \eta \; P_{\parallel}(\vec{n}) + P_{\perp}(\vec{n}) \end{pmatrix}$ (1.5.23)

mit den Projektionsoperatoren (reelle $ 3 \times 3$ -Matrizen)

$\displaystyle P_{\parallel}(\vec{n})=\vec{n} \otimes \vec{n}, \quad P_{\perp}=\bm{1}_{3} - \vec{n} \otimes \vec{n}.$ (1.5.24)

Die Boostgeschwindigkeit ist $ v=\sinh \eta/\cosh \eta=\tanh
\eta$ . Entwickeln wir für ein infinitesimales $ \delta
\eta$ (1.5.23) bis zur ersten Ordnung, finden wir die Exponentialdarstellung

$\displaystyle \Lambda_{\text{B}}(\vec{\eta})=\exp(\ii \vec{\eta} \cdot \vec{K}) \quad \text{mit} \quad \vec{\eta}=\eta \vec{n},$ (1.5.25)

wobei

$\displaystyle K^{j}=\ii \begin{pmatrix}0 & \vec{e}_j^{ t}  \vec{e}_j & 0 \end{pmatrix}.$ (1.5.26)

Für die infinitesimale Transformation ist

\begin{displaymath}\begin{split}\delta x^{0}=-\delta \vec{\eta} \cdot \vec{x}, \...
...=0 \quad \text{f\uml {u}r} \quad j,k \in \{1,2,3\}. \end{split}\end{displaymath} (1.5.27)

Um die Darstellungsmatrix $ S(\Lambda_{\mathrm{B}})$ zu finden, benötigen wir für die Boosts also

$\displaystyle \gamma^{0\mu}=\gamma^0 \gamma^{\mu}-\gamma^{\mu} \gamma^0=\begin{...
...\gamma^0 \gamma^{\mu} & \text{f\uml {u}r} \quad \mu \in \{1,2,3 \}. \end{cases}$ (1.5.28)

Damit wird

$\displaystyle \frac{1}{8} \omega_{\mu \nu} \gamma^{\mu \nu}=\frac{1}{4} \omega_...
...{2} \gamma^0 \vec{\eta} \cdot \vec{\gamma}=:-\ii \vec{\eta} \cdot \vec{\kappa}.$ (1.5.29)

Unter Verwendung der Darstellung (1.5.6) ist

$\displaystyle \vec{\kappa}=\frac{\ii}{2} \vec{\gamma} \gamma^0=\frac{\ii}{2} \begin{pmatrix}\vec{\sigma} & 0  0 & -\vec{\sigma} \end{pmatrix}.$ (1.5.30)

Es ist wichtig zu bemerken, daß diese Matrix antihermitesch und folglich die Darstellung der Boosts

$\displaystyle S_{\mathrm{B}}[\vec{\eta}]=:S_{\vec{n}}(\eta)=\exp(-\ii \eta \vec{n} \cdot \vec{\kappa})$ (1.5.31)

nicht unitär ist1.8. Wir werden unten sehen, daß die Lorentztransformationen erst für die Quantenfeldtheorie unitär realisiert werden. Wir können (1.5.31) explizit auswerten, denn es gilt

$\displaystyle (\ii \vec{n} \cdot \vec{\kappa})^2=\frac{1}{4} (\gamma^0 \vec{n} ...
...vec{\gamma})^2=-\frac{1}{4} (\vec{n} \cdot \vec{\gamma})^2=\frac{\vec{n}^2}{4}.$ (1.5.32)

Summiert man also die Exponentialreihe (1.5.31) auf, folgt

$\displaystyle S_{\mathrm{B}}(\vec{\eta})=\gamma^0 \left [\cosh \left(\frac{\eta...
...\gamma^0-\sinh \left(\frac{\eta}{2} \right) \vec{n} \cdot \vec{\gamma} \right].$ (1.5.33)

Dies kann man einfacher in der Form

$\displaystyle S_{\mathrm{B}}(\vec{\eta}) = \gamma^0 \fslash{U}$   mit$\displaystyle \quad U=\vv{\cosh(\eta/2)}{\sinh(\eta/2) \vec{n}}$ (1.5.34)

schreiben. In den Komponenten der Vierergeschwindigkeit des Teilchens

$\displaystyle u=\vv{\cosh \eta}{\vec{n} \; \sinh \eta}=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}} \vv{1}{\vec{v}} = \gamma \vv{1}{\vec{v}}$ (1.5.35)

ausgedrückt ist

$\displaystyle U=\vv{\sqrt{\frac{\gamma+1}{2}}}{\vec{n} \; \sqrt{\frac{\gamma-1}{2}}}.$ (1.5.36)

Wenden wir uns nun den Drehungen zu. Diese transformieren definitionsgemäß nur die räumlichen Komponenten untereinander, d.h. in (1.5.20) ist

$\displaystyle \omega_{00}=\omega_{0j}=-\omega_{j0}=0, \quad \omega_{jk}=-\epsilon_{jkl} \varphi^l$   für$\displaystyle \quad j,k \in \{1,2,3 \}.$ (1.5.37)

Für infinitesimale Drehungen folgt daraus in der Tat

$\displaystyle x'{}^0=x^0, \quad x'{}^{j}=x^j+\epsilon^{jkl} \delta \varphi^l x^k=x^j-(\delta \vec{\varphi} \times \vec{x})^{j}.$ (1.5.38)

Durch Exponentiation folgt daraus die endliche Drehung zu

$\displaystyle \pvec{x}=\vec{n}   (\vec{n} \cdot \vec{x}) - \sin \varphi \; \vec{n} \times \vec{x}+\cos \varphi \; P_{\perp}(\vec{n}) \vec{x}$   mit$\displaystyle \quad \vec{n}=\frac{\vec{\varphi}}{\varphi}.$ (1.5.39)

Weiter ist

$\displaystyle \gamma^{jk}=-\begin{pmatrix}\comm{\sigma^{j}}{\sigma^{k}} & 0  ...
...\sigma^l & 0  0 & \sigma^l \end{pmatrix} =: -4 \ii \epsilon^{jkl} \Sigma^{l}.$ (1.5.40)

Wir notieren noch

$\displaystyle \Sigma^l=\frac{\ii}{8} \epsilon^{jkl} \gamma^{jk}=\frac{\ii}{4} \...
...^{k}=\frac{1}{2} \begin{pmatrix}\sigma^{l} & 0  0 & \sigma^{l} \end{pmatrix}.$ (1.5.41)

Mit (1.5.37) folgt daraus

$\displaystyle S_{\mathrm{D}}(\vec{\varphi})=\exp \left (\frac{1}{8} \omega_{\mu...
...ma^{\mu \nu} \right) = \exp \left(\ii \vec{\varphi} \cdot \vec{\Sigma} \right).$ (1.5.42)

Dies macht die hier verwendete Weyl-Darstellung der Diracmatrizen bequem: Der Spinoperator ist Block-diagonal mit den Spinmatrizen $ \sigma^l/2$ auf den Diagonalblöcken. Da die $ \vec{\Sigma}$ hermitesche Matrizen sind, werden Drehungen gemäß (1.5.42) in der Tat unitär dargestellt. Wegen

$\displaystyle (\vec{n} \cdot \vec{\Sigma})^2=\bm{1}_4$   mit$\displaystyle \quad \vec{n}=\frac{\vec{\varphi}}{\varphi}, \quad \varphi=\vert\vec{\varphi}\vert$ (1.5.43)

ergibt sich für (1.5.42) durch Anwendung der Exponentialreihe leicht die geschlossene Form für Drehungen:

$\displaystyle S_{\text{D}}(\vec{\varphi})=\cos \left (\frac{\varphi}{2} \right) \bm{1}_4 + \ii \sin \left (\frac{\varphi}{2} \right ) \vec{n} \cdot \vec{\Sigma}.$ (1.5.44)

Üblicherweise definiert man statt der $ \gamma^{\mu \nu}$

$\displaystyle \sigma^{\mu \nu}=\frac{\ii}{2} \gamma^{\mu \nu}=\frac{\ii}{2} \comm{\gamma^{\mu}}{\gamma^{\nu}},$ (1.5.45)

so daß die Darstellungsmatrix einer beliebigen SO$ (1,3)^{\uparrow}$ -Transformation mit Hilfe der sechs Parameter $ \omega_{\mu \nu}=-\omega_{\nu \mu}$ in der Form

$\displaystyle S(\omega_{\mu \nu})=\exp \left(\frac{1}{8} \omega_{\mu \nu} \gamm...
...} \right) = \exp \left(-\frac{\ii}{4} \omega_{\mu \nu} \sigma^{\mu \nu} \right)$ (1.5.46)

dargestellt wird. Der Zusammenhang zu $ \vec{\kappa}$ und $ \vec{\Sigma}$ ergibt sich dann aus (1.5.30) bzw. (1.5.41) zu

$\displaystyle \kappa^{a}=\frac{\ii}{4} \comm{\gamma^a}{\gamma^0}=\frac{1}{2} \s...
...frac{\ii}{8} \epsilon^{abc} \gamma^{bc}=\frac{1}{2} \epsilon^{abc} \sigma^{bc}.$ (1.5.47)

Nun kommen wir auf die Dirac-Gleichung (1.5.1) und den Dirac-Spinor $ \psi$ zurück. Bezüglich Drehungen setzt sich in unserer chiralen Darstellung der Diracmatrizen der Dirac-Spinor aus zwei Weyl-Spinoren gemäß

$\displaystyle \psi=\vv{\xi_L}{\xi_R}$ (1.5.48)

zusammen. Dabei sind die $ \xi_{L,R} \in \C^2$ zweikomponentige Weylspinoren, die sich wegen (1.5.42-1.5.48) unter Drehungen auch als solche transformieren. Dies weist schon darauf hin, daß ein Dirac-Feld stets zwei Spin-1/2-Teilchen beschreibt. Wie wir unten sehen werden, entspricht das einem Teilchen und dem dazugehörigen Antiteilchen.

Aus der Struktur der Dirac-Darstellung der Lorentzgruppe, die sich aus beliebigen Produkten von Boost- und Drehmatrizen (1.5.34) bzw. (1.5.42) ergibt, folgt, daß Lorentz-Skalare mit Hilfe des Dirac-adjungierten Zeilenspinors

$\displaystyle \overline{\psi}(x)=\psi^{\dagger}(x) \gamma^0$ (1.5.49)

gebildet werden müssen. In der Tat ist dann wegen (1.5.10) aufgrund von (1.5.22)

$\displaystyle \overline{\psi}'(x')=\psi'{}^{\dagger}(x') \gamma^0=\psi^{\dagger...
...x) \gamma^0 S^{\dagger}(\Lambda) \gamma^0 = \overline{\psi}(x) S^{-1}(\Lambda).$ (1.5.50)

Daraus folgt sofort, daß

$\displaystyle \overline{\psi}'(x') \psi(x')=\overline{\psi}(x) \psi(x)$ (1.5.51)

gilt, also $ \overline{\psi} \psi$ ein Skalarfeld ist. Ebenso folgt aus (1.5.13), daß

$\displaystyle j^{\mu}(x)=\overline{\psi}(x) \gamma^{\mu} \psi(x)$ (1.5.52)

ein Vektorfeld ist.

Als nächstes leiten wir aus der Dirac-Gleichung die entsprechende Gleichung für den Dirac-adjungierten Spinor her. Dazu müssen wir nur (1.5.1) hermitesch adjungieren und mit dem Dirac-Adjungierten darstellen:

$\displaystyle \overline{\psi}(x) \gamma^0(-\ii \overleftarrow{\fslash{\partial}}^{\dagger} -m)=0.$ (1.5.53)

Dies von rechts mit $ \gamma^{0}$ multipliziert liefert wegen der Pseudohermitezitätsrelation (1.5.9)

$\displaystyle \overline{\psi}(x) (-\ii \overleftarrow{\fslash{\partial}} -m)=0.$ (1.5.54)

Bilden wir die Viererdivergenz von (1.5.52), folgt mit der Dirac-Gleichung (1.5.1) und ihrer Adjungierten (1.5.54)

$\displaystyle \partial_{\mu} j^{\mu}=0,$ (1.5.55)

d.h. die dazugehörige Ladung

$\displaystyle Q=\int \dd^3 \vec{x} j^0(x)=\int \dd^3 \vec{x} \psi^{\dagger}(x) \psi(x)$ (1.5.56)

ist erhalten. Insofern wähnte sich Dirac schon am Ziel, eine konsistente Einteilchen-Interpretation für seine Wellengleichung analog zur nichtrelativistischen Quantenmechanik gefunden zu haben. Allerdings ergeben sich für die ebenen Wellen, die Lösungen für Teilchen mit bestimmtem Impuls entsprechen sollen, stets Lösungen mit postiver und solche mit negativer Frequenz $ \omega=\pm E(\vec{k})$ . Es stellte sich weiter heraus, daß für die relativistisch konstruierbaren Wechselwirkungen (allen voran die elektromagnetische) bei einer Anfangswellenfunktion, die nur aus der Superposition von Moden mit positiven Frequenzen (also in der Einteilcheninterpretation positiven Energien) gebildet wird, vermöge der Zeitentwicklung zu späteren Zeiten stets Moden mit negativen Frequenzen beigemischt werden. Die Projektion auf Moden positiver Frequenz ist also nicht verträglich mit der Zeitentwicklung, so daß die Moden mit negativer Frequenz notwendig zum Einteilchen-Hilbert-Raum der Wellenfunktionen hinzugefügt werden müssen. Dies hat nun notwendig zur Folge, daß die naive Interpretation der Diracgleichung im Sinne der Einteilchenwellenmechanik zu einer Theorie führt, für die der Hamilton-Operator nicht nach unten beschränkt ist, d.h. es existiert kein stabiler Grundzustand. Diracs genialer Ausweg war es, zu postulieren, daß im Grundzustand alle Zustände mit negativer Energie besetzt sind. Dieser Dirac-See sollte sich dann in hochenergetischen Reaktionen bemerkbar machen, die ein Elektron aus dem See herausschlagen können. Dieses Loch im Diracsee verhält sich dann wie ein Teilchen mit der Elektronenmasse aber positiver Ladung. Auf diese Weise gelangte Dirac (allerdings nach einigen interpretatorischen Komplikationen) zur Vorhersage der Existenz von Antiteilchen. Diese Löchertheorie ist äquivalent zu der quantenfeldtheoretischen Auffassung, die wir als nächstes entwickeln werden. Der Einführung des Dirac-Sees entspricht in der Quantenfeldtheorie einfach der Feynman-Stückelberg-Trick und die nachfolgende Normalordnung der Observablen wie Energie, Impuls, Ladung usw.

Das Vorgehen entspricht genau dem beim elektromagnetischen Feld: Wir stellen als erstes eine Lorentz-invariante Lagrange-Dichte auf, gehen zum (nicht manifest kovarianten) Hamilton-Formalismus über und deuten die kanonischen Feld-Poisson-Klammerbeziehungen zu Antikommutatoren um. Es stellt sich nämlich heraus, daß Kommutatoren für Dirac-Teilchen nicht zum Ziel führen (insbesondere ergibt sich kein nach unten beschränkter Hamiltonoperator). Dies ist eine weitere Manifestation des oben erwähnten Spin-Statistik-Theorems, wonach Teilchen mit halbzahligem Spin1.9 stets Fermionen sind.

Um die Quantisierung des Feldes vorzubereiten, stellen wir zunächst die Lagrange-Dichtefunktion auf. Da die Feldgleichung eine Differentialgleichung erster Ordnung ist, darf die Lagrange-Dichte die Ableitungen nur linear enthalten. Da wir freie Teilchen beschreiben wollen, muß die Lagrangedichte eine Bilinearform des Dirac-Spinorfeldes sein, und damit die Lorentzinvarianz sichergestellt ist, sollte sie ein Skalarfeld ergeben. Dadurch werden wir auf die Lagrangedichte

$\displaystyle \Lag=\overline{\psi}(\ii \fslash{\partial}-m) \psi$ (1.5.57)

geführt. Da $ \psi \in \C^4$ ist, können wir wieder $ \psi$ und $ \overline{\psi}$ als voneinander unabhängige Felder betrachten und getrennt voneinander variieren. Die Euler-Lagrangegleichungen ergeben dann in der Tat die Dirac-Gleichung (1.5.1) und die daraus folgende Gleichung für das Dirac-adjungierte Feld (1.5.53).

Zum Übergang zum Hamilton-Formalismus, benötigen wir als nächstes die kanonisch konjugierten Feldimpulse. Es ergibt sich

$\displaystyle \Pi=\frac{\partial \Lag}{\partial \dot{\psi}}=\ii \overline{\psi}...
...}, \quad \overline{\Pi}=\frac{\partial \Lag}{\partial \dot{\overline{\psi}}}=0.$ (1.5.58)

Auf den ersten Blick sieht dies fatal aus, da offenbar der kanonische Impuls zum adjungierten Feld verschwindet. Scheinbar sehen wir uns vor ähnliche Probleme gestellt wie oben beim elektromagnetischen Feld. Dies ist aber lediglich Folge der besonderen Struktur der Lagrangedichte. Man könnte dies beheben, wenn man den Ausdruck in $ \psi$ und $ \overline{\psi}$ symmetrisiert, was nur um eine totale Divergenz von (1.5.57) verschieden wäre, was im Variationsprinzip keine Änderung für die Feldgleichungen ergibt. Wesentlich ist nur, daß wir die Hamiltondichte mit dem Feldimpuls und dem Feld und seinen räumlichen Ableitungen ausdrücken können, und das ist in der Tat der Fall:

$\displaystyle \Ham=\Pi \dot{\psi}-\Lag= \ii \overline{\psi} \gamma^0 \partial_t...
...vec{\nabla}+m) \psi=-\Pi \gamma^0 (\vec{\gamma} \cdot \vec{\nabla}+\ii m) \psi.$ (1.5.59)

Die kanonischen Hamiltonschen Bewegungsgleichungen lauten

$\displaystyle \dot \psi=\frac{\delta H}{\delta \Pi}=-\gamma^0 (\vec{\gamma} \cd...
...left (-\gamma^0 \vec{\gamma} \cdot \overleftarrow{\vec{\nabla}}+\ii m \right ).$ (1.5.60)

Multiplikation der ersten Gleichung von links mit $ \ii \gamma^0$ und Zusammenfassen der Terme auf einer Seite liefert wieder die Diracgleichung (1.5.1). Multiplikation der zweiten Gleichung von rechts her mit $ \ii \gamma^0$ und Zusammenfassung der Terme liefert die Gleichung (1.5.53) für $ \Pi \gamma^0$ . Aufgrund der besonderen Struktur der obigen Lagrangedichte ergibt sich der Zusammenhang (1.5.58) zwischen Feld und kanonisch konjugiertem Impuls nicht aus den kanonischen Gleichungen. Es ergibt sich aber keine Inkonsistenz, diese Beziehung einfach als Nebenbedingung zu fordern, d.h. wir können

$\displaystyle \Pi=\ii \overline{\psi} \gamma^0=\ii \psi^{\dagger}$ (1.5.61)

setzen.




Nächste Seite: Quantisierung des freien Dirac-Feldes Aufwärts: Das Dirac-Feld Vorherige Seite: Das Dirac-Feld   Inhalt
FAQ Homepage