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Quantisierung des freien Dirac-Feldes

Die Quantisierung des Diracfeldes erfolgt nun dadurch, daß wir $ \psi$ durch einen Operator $ \op{\psiup}$ ersetzen. Wir fordern nun aber wegen des Spin-Statistik-Theorems keine kanonischen Kommutatorregeln sondern kanonische Antikommutatorregeln. Wie wir sehen werden, ist dies kein Widerspruch zur allgemeinen quantentheoretischen Dynamik, denn die Observablen werden stets durch Funktionen aus einer geraden Anzahl von Fermionenfeldoperatoren aufgebaut; insbesondere die Hamiltondichte ist eine bilineare Form in den Feldern. Wie wir zeigen werden, erfüllt der dazugehörige Hamiltonoperator die korrekten Kommutatorrelationen mit den Feldern, so daß sich aus der Quantendynamik wieder die Dirac-Gleichung für den Feldoperator ergeben wird, wie es sein muß. Wir verlangen also die Antikommutator-Relationen zu gleichen Zeiten

$\displaystyle \acomm{\op{\psiup}_a(t,\vec{x})}{\op{\psiup}_b(t,\vec{y})}=0, \qu...
...psiup}_b^{\dagger}(t,\vec{y})} = \ii \delta_{ab} \delta^{(3)}(\vec{x}-\vec{y}).$ (1.5.62)

Die $ a,b \in \{1,2,3,4 \}$ numerieren dabei die Dirac-Spinorkomponenten durch.

Wir berechnen nun die Modenentwicklung nach ebenen Wellen. Wir erwarten für die Teilchen und Antiteilchen jeweils zwei Spinfreiheitsgrade (insgesamt also vier Feldfreiheitsgrade für jede Impulsmode). Wie in der relativstischen Teilchenphysik üblich, wird der Spin im Ruhsystem des Teilchens gemessen. Es sei also $ \sigma=\pm 1/2$ der Eigenzustand zum Spinoperator $ \op{\Sigma}^3$ für $ \vec{k}=0$ . Es ist sehr zweckmäßig und bequem, die übrigen Zustände durch einen drehungsfreien Lorentzboost in Richtung von $ \vec{k}$ , d.h. durch

$\displaystyle \Lambda_{\mathrm{B}}(-\eta \vec{n}) \vvvv{m}{0}{0}{0}=k$   mit$\displaystyle \quad \eta=\arcosh \left(\frac{E(\vec{k})}{m} \right), \quad \vec{n}=\frac{\vec{k}}{K},$ (1.5.63)

zu definieren. Dieses Programm führen wir nun aus. Dazu definieren wir zunächst die Feldmoden mit positiver Frequenz durch

$\displaystyle u_{\vec{k},+}(x)=\frac{1}{\sqrt{(2 \pi)^{3} 2 E(\vec{p})}} \exp(-\ii k \cdot x)\vert _{k^0=E(\vec{k})},$ (1.5.64)

Die korrekte quantenfeldtheoretische Modenentwicklung muß mit dem Feynman-Stückelberg-Trick, der einfach darin besteht, den Feldmoden mit negativer Frequenz einen Erzeugungs- statt einen Vernichtungsoperators zuzuordnen, wie folgt aussehen

$\displaystyle \op{\psiup}(x)=\int_{\R^3} \dd^3 \vec{k} \sum_{\sigma} \left [\op...
...op{b}^{\dagger}(\vec{k},\sigma) v(\vec{k},\sigma) u_{\vec{k},+}^{*}(x) \right].$ (1.5.65)

Damit diese Funktion die Dirac-Gleichung erfüllt, müssen die Spinoren $ u$ und $ v$ offenbar den Gleichungen

$\displaystyle (\fslash{k}-m) u(\vec{k},\sigma)=0, \quad (\fslash{k}+m) v(\vec{k},\sigma)=0$   mit$\displaystyle \quad k^0=E(\vec{k})$ (1.5.66)

genügen. Es ist klar, daß beide Gleichungen mit der Onshell-Bedingung $ k^0=E(\vec{k})$ verträglich sind, denn multipliziert man die Gleichungen jeweils mit $ \fslash{k} \pm m$ , erhält man die Forderung $ k^2=(k^0)^2-\vec{k}^2=m^2$ .

Für $ \vec{k}=0$ erhalten wir die Gleichungen

$\displaystyle \gamma^0 u(0,\sigma)=u(0,\sigma), \quad \gamma^0 v(0,\sigma)=-v(0,\sigma).$ (1.5.67)

Setzt man die Diracmatrix $ \gamma^0$ ein, erhält man die linear unabhängigen Lösungen

\begin{displaymath}\begin{split}u(0,+1/2)&=\sqrt{m} \vvvv{1}{0}{1}{0}=:\sqrt{m} ...
...2)=\sqrt{m} \vvvv{0}{1}{0}{-1}=\sqrt{m} v'(0,-1/2). \end{split}\end{displaymath} (1.5.68)

Die etwas ungewohnte Normierung ist bequem, wie wir gleich noch sehen werden. Jetzt führen wir den Boost (1.5.63) aus. Mit (1.5.36) erhalten wir dabei unter Berücksichtigung von $ \gamma=E(\vec{k})/m:=E/m$ und den Eigenwertgleichungen (1.5.67) für die Felder bei $ \vec{k}=0$

\begin{displaymath}\begin{split}u(\vec{k},\sigma)&=\sqrt{\frac{1}{2(E+m)}}(m+\fs...
...\sqrt{\frac{1}{2(E+m)}}(m-\fslash{k}) v'(0,\sigma). \end{split}\end{displaymath} (1.5.69)

Es ist wichtig zu bemerken, daß dies i.a. keine Eigenzustände des Spinoperators $ \Sigma^3$ sind, da $ \Sigma^3$ i.a. nicht mit dem Boost $ S_{\mathrm{B}}(\vec{\eta})$ kommutiert. Vielmehr besitzt konstruktionsgemäß das Teilchen in seinem Ruhsystem eine wohldefinierte Spin-$ z$ -Komponente $ \sigma \in \{\pm 1 \}$ .

Für ein masseloses Teilchen wird

\begin{displaymath}\begin{split}u(\vec{k},\sigma)&=\sqrt{\frac{1}{2E}} \fslash{k...
...ma)&=\sqrt{\frac{1}{2E}}(-\fslash{k}) v'(0,\sigma). \end{split}\end{displaymath} (1.5.70)

In diesem Fall repräsentieren diese Zustände für Teilchen, die sich in $ z$ -Richtung bewegen, Zustände mit bestimmter Helizität. Die Helizität ist dabei als die Projektion des Spins auf die Impulsrichtung definiert, d.h. der entsprechende Operator ist

$\displaystyle \op{h}=\frac{\vec{k} \cdot \vec{\Sigma}}{\vert\vec{k}\vert}.$ (1.5.71)

Es ist leicht zu zeigen, daß $ \op{h}$ mit den $ \gamma^{\mu}$ vertauscht. Für $ \vec{k}=k^3 \vec{e}_3$ ist also

$\displaystyle \op{h} u(k^3 \vec{e}_3,\sigma)=\sigma u(k^3 \vec{e}_3,\sigma), \quad \op{h} v(k^3 \vec{e}_3,\sigma)=\sigma v(k^3 \vec{e}_3,\sigma).$ (1.5.72)

Für masselose Teilchen sind also $ u$ und $ v$ Eigenzustände der Helizität in dem Bezugssystem, in dem $ \vec{k} \parallel \vec{e}_3$ ist, zu den Eigenwerten $ \sigma \in \{-1/2,+1/2 \}$ .

Für praktische Rechnungen benötigen wir noch die folgenden ,,Pseudoorthogonalitäterelationen``

  $\displaystyle \overline{u}(\vec{k},\sigma) u(\vec{k},\sigma')=2m \delta_{\sigma...
...ad \overline{v}(\vec{k},\sigma) v(\vec{k},\sigma')=-2m \delta_{\sigma,\sigma'},$ (1.5.73)
  $\displaystyle \overline{u}(\vec{k},\sigma) v(\vec{k},\sigma')= \overline{v}(\vec{k},\sigma) u(\vec{k},\sigma')=0,$ (1.5.74)
  $\displaystyle u(\vec{k},\sigma)^{\dagger} u(\vec{k},\sigma')=2 E \delta_{\sigma...
...uad v(\vec{k},\sigma)^{\dagger} v(\vec{k},\sigma')=2 E \delta_{\sigma \sigma'},$ (1.5.75)
  $\displaystyle u(\vec{k},\sigma)^{\dagger}v(-\vec{k},\sigma')=v(\vec{k},\sigma)^{\dagger}u(-\vec{k},\sigma')=0.$ (1.5.76)

Diese Gleichungen lassen sich unmittelbar mit einfachen Manipulationen mit den Diracmatrizen und den Eigenwertgleichungen $ \gamma^0
u(0,\sigma)=u(0,\sigma)$ und $ \gamma^0 v(0,\sigma)=-v(0,\sigma)$ herleiten. In der letzten Gleichung (1.5.76) ist es wichtig zu beachten, daß die Dreierimpulse in diesen Formeln zueinander entgegengesetzt gerichtet sein müssen, d.h. das Argument in einer der beiden Funktionen muß $ -\vec{k}$ sein!

Zur Berechnung der Antikommutatorrelationen für die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren versuchen wir, die Modenentwicklung (1.5.65) nach $ \op{a}(\vec{k},\sigma)$ und $ \op{b}^{\dagger}(\vec{k},\sigma)$ aufzulösen. Aus der Definition der Feldmoden (1.5.64) folgt

  $\displaystyle \int_{\R^3} \dd^3 \vec{x} \; u_{\vec{k},+}^*(x) u_{\pvec{k},+}(x) = \frac{1}{2 E(\vec{k})} \delta^{(3)}(\vec{k}-\pvec{k}),$ (1.5.77)
  $\displaystyle \int_{\R^3} \dd^3 \vec{x} \; u_{\vec{k},+}^*(x) u_{\pvec{k},+}^*(x) = \frac{1}{2 E(\vec{k})} \exp(2\ii E t) \delta^{(3)}(\vec{k}+\pvec{k}).$ (1.5.78)

Multiplizieren wir also die Modenentwicklung (1.5.65) mit $ u_{\vec{k},+}(x)$ bzw. mit $ u_{\vec{k},+}^*(x)$ und wenden
(1.5.75) und (1.5.76) an, erhalten wir

\begin{displaymath}\begin{split}\op{a}(\vec{k},\sigma) &= \int_{\R^3} \dd^3 \vec...
...^{\dagger}(x) v(\vec{k},\sigma) u_{\vec{k},+}^*(x). \end{split}\end{displaymath} (1.5.79)

Mit Hilfe der Antikommutatorrelationen für die Felder (1.5.62) und der Orthogonalitätsrelationen (1.5.75-1.5.76) erhalten wir daraus die Antikommutatorrelationen für die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren

\begin{displaymath}\begin{split}& \acomm{\op{a}(\vec{k},\sigma)}{\op{a}^{\dagger...
...{k},\sigma)}{\op{b}^{\dagger}(\pvec{k},\sigma')}=0. \end{split}\end{displaymath} (1.5.80)

Zur Berechnung des Hamilton-Operators müssen wir, wie oben beim elektromagnetischen Feld, die Hamilton-Dichte normalordnen. Dabei ist zu beachten, daß wir diesmal die fermionischen Antikommutatorregeln zu berücksichtigen haben, d.h. es gilt z.B.

$\displaystyle :\op{a}(\vec{k},\sigma) \op{a}^{\dagger}(\pvec{k},\sigma'):=-\op{a}^{\dagger}(\pvec{k},\sigma') \op{a}(\vec{k},\sigma),$ (1.5.81)

d.h. der normalgeordnete Ausdruck erhält zusätzlich das Vorzeichen der Permutation, die nötig ist, um die Normalordnung aus der ursprünglichen Operatoranordnung herzustellen.

Für die Lösung der Feldgleichungen lautet die Hamiltondichte gemäß (1.5.59)

$\displaystyle \Ham=:\overline{\op{\psiup}}(-\ii \gamma \cdot \vec{\nabla}+m) \o...
...rtial}+m) \op{\psiup}(x): = :\op{\psiup}^{\dagger} \ii \partial_t \op{\psiup}:.$ (1.5.82)

In diese Gleichung die Modenentwicklung (1.5.65) eingesetzt, über $ \vec{x}$ integriert und die Orthogonalitätsbeziehungen (1.5.75-1.5.76) angewandt, liefert dann den positiv semidefiniten Hamiltonoperator

$\displaystyle \op{H}=\int_V \dd^3 \vec{x} \; \Ham = \int_{\R^3} \dd^3 \vec{k} \...
...} E(\vec{k}) \left[\op{n}_a(\vec{k},\sigma) + \op{n}_b(\vec{k},\sigma) \right].$ (1.5.83)

Ebenso findet man den Ladungsoperator gemäß (1.5.56)

$\displaystyle \op{Q}=\int_{V} \dd^3 \vec{x} \; :\op{\psiup}^{\dagger} \op{\psiu...
...sum_{\sigma} \left[\op{n}_a(\vec{k},\sigma) - \op{n}_b(\vec{k},\sigma) \right].$ (1.5.84)

Man beachte, daß wegen der fermionischen Normalordnungsvorschrift $ \op{Q}$ nicht positiv definit ist, wie es der hermitesche Ausdruck unter dem Normalordnungssymbol suggeriert. Es ist also wieder nicht die totale Teilchenzahl die Noetherladung der Phaseninvarianz sondern die ,,Nettoteilchenzahl``, also die Differenz zwischen der Anzahl der Teilchen und der Anzahl der Antiteilchen, ganz analog wie beim geladenen Bosefeld. Die Besetzungszahloperatoren sind dabei durch

$\displaystyle \op{n}_a(\vec{k},\sigma)=\op{a}^{\dagger}(\vec{k},\sigma) \op{a}(...
...op{n}_b(\vec{k},\sigma)=\op{b}^{\dagger}(\vec{k},\sigma) \op{b}(\vec{k},\sigma)$ (1.5.85)

definiert.

Das Energieeigenwertproblem läßt sich wieder wie beim harmonischen Oszillator lösen, nur daß jetzt wegen der Antikommutatorregeln $ \op{a}^2(\vec{k},\sigma) = \op{b}^2(\vec{k},\sigma)=0$ gilt, d.h. die Fockbasis ist durch

\begin{displaymath}\begin{split}& \ket{\{n_a(\vec{k},\sigma)\},\{n_b(\vec{k},\si...
...\vec{k},\sigma), \; n_b(\vec{k},\sigma) \in \{0,1\} \end{split}\end{displaymath} (1.5.86)

gegeben. Dabei ist $ \ket{\Omega}$ wieder der Vakuumzustand, der eindeutig durch

$\displaystyle \forall \vec{k},\sigma: \quad \op{a}(\vec{k},\sigma) \ket{\Omega}=\op{b}(\vec{k},\sigma) \ket{\Omega}=0$ (1.5.87)

definiert ist. Es kann also jeder Einteilchenzustand höchstens von einem Teilchen besetzt sein. Die Antivertauschungsregeln haben somit das Paulische Ausschließungsprinzip zur Folge.




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