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Poincaré-Symmetrie der quantisierten Dirac-Theorie

Die Symmetrieanalyse des quantisierten Diracfeldes erfolgt analog wie beim Klein-Gordon-Feld in Abschnitt 1.4.1 bzw. elektromagnetischen Feld in Abschnitt 1.4.2. Wir berechnen zunächst den kanonischen Energie-Impuls-Tensor des Diracfeldes zu

$\displaystyle {\Theta^{\mu}}_{\nu} = \frac{\partial \Lag}{\partial(\partial_{\m...
...i \overline{\psi} \gamma^{\mu} \partial_{\nu} \psi - \Lag {\delta^{\mu}}_{\nu}.$ (1.5.88)

Für den Energie- und Impulsoperator erhalten wir in der quantisierten Theorie unter Berücksichtigung der Normalordnungsvorschrift

$\displaystyle \op{P}_{\nu} = \int_{\R^3} \dd^3 \vec{x} \; :{\op{\Thetaup}^{0}}_...
...^3} \dd^3 \vec{x} :\op{\psiup}^{\dagger}(x) \ii \partial_{\nu} \op{\psiup}(x):,$ (1.5.89)

wobei wir die Beziehung $ \overline{\op{\psiup}}
\gamma^{0}=\op{\psiup}^{\dagger}$ verwendet haben.

Um die entsprechenden Ausdrücke für die Drehimpuls- und Boostoperatoren zu erhalten, müssen wir die entsprechenden infinitesimalen Transformationen

  Drehungen:$\displaystyle \quad \delta x^0=0, \quad \delta \vec{x}=-\delta \vec{\varphi} \times \vec{x}, \quad \delta \psi=\ii \delta \vec{\varphi} \cdot \vec{\Sigma} \psi,$ (1.5.90)
  Boosts:$\displaystyle \quad \delta x^0=-\delta \eta \cdot \vec{x}, \quad \delta \vec{x}...
...ec{\eta} t, \quad \delta \psi = -\ii \delta \vec{\eta} \cdot \vec{\kappa} \psi,$ (1.5.91)

mit den entsprechenden Erzeugern für die Dirac-Spinordarstellungen für Drehungen und Boosts
(1.5.41) bzw. (1.5.30) im allgemeinen kanonischen Noether-Formalismus aus Abschnitt 1.3.6 anwenden, wobei wir hier stets $ \Omega_a^{\mu}=0$ setzen können). Daraus ergeben sich die gesuchten Drehimpuls- und Boostoperatoren zu

$\displaystyle \vec{\op{J}}$ $\displaystyle = \int_{\R^3} \dd^3 \vec{x} \; : \op{\psiup}^{\dagger}(x) \left [ \vec{x} \times (-\ii \vec{\nabla}) + \vec{\Sigma} \right ] \psi(x),$ (1.5.92)
$\displaystyle \vec{\op{K}}$ $\displaystyle = \int_{\R^3} \dd^3 \vec{x} \; : \op{\psiup}^{\dagger}(x) \left [\ii \vec{x} \partial_0 + \ii t \vec{\nabla} + \vec{\kappa} \right] \psi(x).$ (1.5.93)

Beachten wir nun noch, daß der kanonische Feldimpuls durch (1.5.61) gegeben ist, so erhalten wir aus den Antikommutatorregeln für die Felder (1.5.62), daß sich die Dirac-Feldoperatoren unter Lorentz-Transformationen wie die klassischen Felder verhalten, wie es sein muß.

Um dies zu beweisen, betrachten wir zunächst zeitliche und räumliche Translationen. Sie sollten durch den unitären Operator

$\displaystyle \op{U}_{\text{T}}(a)=\exp(\ii a \cdot \op{P})$ (1.5.94)

gegeben sein. Für eine infinitesimale Transformation folgt dann

$\displaystyle \op{\psiup}'(x')=\op{U}_{\text{T}}(\delta a) \op{\psiup}(x') \op{...
...ii \delta a^{\mu} \comm{\op{P}_{\mu}}{\op{\psiup}(x')}+\mathcal{O}(\delta a^2).$ (1.5.95)

Anwenden der für irgendwelche drei Operatoren $ \op{A}$ , $ \op{B}$ und $ \op{C}$ geltenden Gleichung

$\displaystyle \comm{\op{A} \op{B}}{\op{C}}=\op{A} \acomm{\op{B}}{\op{C}}- \acomm{\op{A}}{\op{C}} \op{B}$ (1.5.96)

liefert unter Verwendung von (1.5.89) und den gleichzeitigen Antikommutatorregeln (1.5.62) nach einfacher Rechnung

$\displaystyle \comm{\op{P}_{\mu}}{\op{\psiup}(x')} = - \ii \partial_{\mu} \op{\psiup}(x').$ (1.5.97)

Von der Theorie des nichtquantisierten Dirac-Feldes erwarten wir nun, daß es sich unter infinitesimalen Translationen gemäß

$\displaystyle x'=x-\delta a, \quad \op{\psiup}(x')=\op{\psiup}(x)=\op{\psiup}(x'+\delta a) = \op{\psiup}(x') + \delta a^{\mu} \partial_{\mu} \op{\psiup}(x')$ (1.5.98)

verhält. Der Vergleich mit (1.5.95) zeigt unter Verwendung von (1.5.97), daß dies tatsächlich der Fall ist.

Die Rechnung für Drehungen und Boosts verläuft genau analog. Die unitären Transformationen lauten in diesem Fall1.10

$\displaystyle \op{U}_{\text{D}}(\vec{\varphi}) = \exp(-\ii \vec{\varphi} \cdot ...
...\quad \op{U}_{\text{B}}(\vec{\eta}) = \exp(+\ii \vec{\eta} \cdot \vec{\op{K}}),$ (1.5.99)

und die entsprechenden Kommutatorrelationen lauten (Übung!)

\begin{displaymath}\begin{split}\comm{\vec{\op{J}}}{\psi(x')}&=-\left [\pvec{x} ...
...ii t \vec{\nabla} - \vec{\kappa} \right ] \psi(x'). \end{split}\end{displaymath} (1.5.100)

Dies führt dann zu dem von den klassischen Feldern her zu erwartenden Verhalten unter infinitesimalen Drehungen bzw. Boosts

\begin{displaymath}\begin{split}& \delta x^0=0, \quad \delta \vec{x} = -\delta \...
...{\nabla} -\ii \vec{\kappa} \right) \op{\psiup}(x'). \end{split}\end{displaymath} (1.5.101)

Dies zeigt, daß die quantisierte Dirac-Feldtheorie tatsächlich eine unitäre Darstellung der Poincaré-Gruppe liefert. Da sich die Feldoperatoren wie ihre nichtquantisierten Analoga wie lokale Felder unter diesen Transformationen verhalten, haben wir wieder eine lokale Quantenfeldtheorie vor uns. Wie wir oben gesehen haben, führte zugleich die Quantisierung als Fermionenfeld gemäß (1.5.83) auch zu einem positiv semidefiniten Hamiltonoperator. Lokale Observablen, wie der Energie-Impuls-Tensor1.11 oder der erhaltene Strom (1.5.52), die durch bilineare Ausdrücke in den Feldoperatoren gegeben sind, kommutieren auch stets, wenn die Raumzeit-Argumente raumartigen Abstand haben. Dies folgt unmittelbar aus der Relation (1.5.96) und den Kommutatorregeln zu gleichen Zeiten sowie der soeben nachgewiesenen Lorentzkovarianz dieser Ausdrücke. Da kommutierende Observablen unabhängig voneinander wohldefinierte Werte annehmen können, bedeutet dies, daß Messungen, die auf eine Umgebung in Raum und Zeit beschränkt sind (also sogenannte lokale Messungen), keine Auswirkungen auf andere lokale Messungen, die in einem raumartig dazu gelegenen Raumzeitbereich stattfinden, haben können. Es können also insbesondere auch keine Informationen überlichtschnell ausgetauscht werden, wie es dem relativistischen Kausalitätsprinzip entspricht. Man bezeichnet die Vertauschbarkeit lokaler Observablen auf raumartigen Raumzeitabständen daher auch als Mikrokausalität. Die Dirac-Felder ergeben also eine lokale, mikrokausale Quantenfeldtheorie mit positiv semidefinitem Hamiltonoperator und besitzt somit eine physikalisch sinnvolle Bedeutung im Sinne der Bornschen Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Quantentheorie. Dies ist, wie schon mehrfach betont, für eine Einteilcheninterpretation des unquantisierten Dirac-Feldes für den Fall wechselwirkender Teilchen nicht möglich. In der Tat zeigt sich, daß bei relativistischen Streuprozessen neue Teilchen erzeugt und vernichtet werden können, und daher erweist sich die Quantenfeldtheorie als die (bislang einzige) adäquate Beschreibung relativistischer Streuprozesse.




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