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Raumspiegelungen

Nach dem Wigner-Theorem muß bei diskreten Symmetrietransformationen untersucht werden, ob die Transformationen als unitärer oder antiunitärer Operator realisiert werden müssen. Dies läßt sich am einfachsten an der Heisenbergalgebra von Orts- und Impulsoperatoren untersuchen. Da wir uns hier nur mit massiven oder masselosen Diracteilchen beschäftigen, ist dies auch im relativistischen Kontext unproblematisch, da für solche Felder sowohl Orts- als auch Impulsoperator existieren, die die Heisenberg-Kommutatorrelationen erfüllen.

Die Raumspiegelung sollte folgendermaßen auf Orts- und Impulsoperatoren operieren:

$\displaystyle \pvec{\op{x}}=\op{U}(P) \vec{\op{x}} \op{U}^{\dagger}(P)=- \vec{\...
... \quad \pvec{\op{p}}=\op{U}(P) \vec{\op{p}} \op{U}^{\dagger}(P)=- \vec{\op{p}}.$ (1.5.102)

Die Kommutatorrelationen transformieren sich gemäß

$\displaystyle \comm{\op{x}_i'}{\op{p}_j'}=\comm{-\op{x}_i}{-\op{p}_j} = \comm{\op{x}_i}{\op{p}_j} \stackrel{!}{=} \ii \delta_{ij}.$ (1.5.103)

Andererseits muß sich dies aus der kanonischen Kommutatorrelation für $ \op{x}$ und $ \op{p}$ durch die Ähnlichkeitstransformation mit $ \op{U}(P)$ ergeben:

$\displaystyle \comm{\op{x}_i'}{\op{p}_j'}=\op{U}(P) \comm{\op{x}_i}{\op{p}_j} \...
...gger}(P) = \op{U}(P) \ii \delta_{ij} \op{U}^{\dagger}(P) = \pm \ii \delta_{ij},$ (1.5.104)

wobei das obere Vorzeichen für einen unitären, das untere für einen antiunitären Operator gilt. Es muß also die Raumspiegeltransformation notwendig durch einen unitären Operator dargestellt werden.

Der Diracspinoroperator sollte sich unter der Paritätstransformation gemäß

$\displaystyle \op{\psiup}_P(t,\vec{x})=\op{U}(P) \op{\psiup}(t,\vec{x}) \op{U}^{\dagger}(P)=\eta_P \hat{S}(P) \op{\psiup}(t,-\vec{x})$ (1.5.105)

transformieren. Dabei ist $ \hat{S}(P)$ eine Spinortransformationsmatrix, die $ \hat{S}^2(P)=\bm{1}$ erfüllt und $ \eta_P$ ein Phasenfaktor. Da $ \op{U}(P)$ unitär ist, muß für $ \op{\psiup}_P$ die Diracgleichung gelten, d.h. es muß

$\displaystyle \hat{S}^{-1}(P) (\ii \fslash{\partial}-M) \hat{S}(P) \op{\psiup}(...
...vec{\gamma} \cdot \vec{\nabla} -m) \hat{S}(P) \psi(t,-\vec{x}) \stackrel{!}{=}0$ (1.5.106)

sein. Für den Operator $ \op{\psiup}$ gilt voraussetzungsgemäß die Diracgleichung

$\displaystyle (\ii \fslash{\partial}-m) \op{\psiup}=(\ii \gamma^0 \partial_t + \ii \vec{\gamma} \cdot \vec{\nabla}-m) \op{\psiup}=0.$ (1.5.107)

Daraus folgt nun aber (1.5.106), wenn

$\displaystyle \hat{S}^{-1}(P) \gamma^0 \hat{S}(P) = \gamma^0, \quad \hat{S}^{-1}(P) \vec{\gamma} \hat{S}(P)=-\vec{\gamma}$   bzw.$\displaystyle \quad \hat{S}^{-1}(P) \gamma^{\mu} \hat{S}(P) = {P^{\mu}}_{\nu} \gamma^{\nu}$ (1.5.108)

gilt. Dabei ist $ ({P^{\mu}}_{\nu})=\diag(1,-1,-1,-1)$ . Es ist klar, daß aufgrund der Antikommutatorrelationen der $ \gamma$ -Matrizen,

$\displaystyle \acomm{\gamma^{\mu}}{\gamma^{\nu}}=2 g^{\mu \nu} \bm{1},$ (1.5.109)

die Matrix

$\displaystyle \hat{S}(P)=\hat{S}^{-1}(P)=\gamma^0$ (1.5.110)

sein muß. Man rechnet auch leicht explizit nach, daß diese Matrix tatsächlich (1.5.109) erfüllt.




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