Nächste Seite: Zeitumkehr Aufwärts: Die diskreten Symmetrietransformationen , Vorherige Seite: Raumspiegelungen   Inhalt

Ladungskonjugation

Die Ladungskonjugationstransformation $ C$ soll Teilchen und Antiteilchen vertauschen. Da $ \op{\psiup}$ Teilchen vernichtet und Antiteilchen erzeugt, muß $ \op{\psiup}_C$ umgekehrt Antiteilchen vernichten und Teilchen erzeugen. Dies ist aber auch für den Operator $ \overline{\op{\psiup}}^t$ der Fall. Dabei steht das hochgestellte $ t$ für Transposition im Spinorraum. Die Ladungskonjugationsoperation vertauscht mit Orts- und Impulsoperator, woraus aus den Heisenbergschen Vertauschungsrelationen auf analoge Weise wie oben beim Raumspiegelungsoperator folgt, daß sie unitär realisiert werden muß. Es ist also

$\displaystyle \op{\psiup}_C(t,\vec{x})=\op{U}(C) \op{\psiup}(t,\vec{x}) \op{U}^{\dagger}(C) = \eta_C \hat{S}(C) \overline{\op{\psiup}}^t(t,\vec{x}).$ (1.5.111)

Da $ \op{U}(C)$ unitär ist, muß für $ \op{\psiup}_C$ wie für $ \op{\psiup}$ die Diracgleichung gelten, d.h.

$\displaystyle \hat{S}^{-1}(C)(\ii \fslash{\partial}-m) \hat{S}(C) \overline{\op{\psiup}}^t(t,\vec{x}) \stackrel{!}{=}0.$ (1.5.112)

Andererseits gilt für den Dirac-adjungierten Operator

$\displaystyle \overline{\op{\psiup}}(t,\vec{x}) \overleftarrow{(\ii \fslash{\partial}+m)}=0,$ (1.5.113)

und durch Transponieren bzgl. des Spinorraums folgt daraus

$\displaystyle (\ii \fslash{\partial}^t+m) \overline{\op{\psiup}}^t(t,x)=0.$ (1.5.114)

Der Vergleich von (1.5.112) mit (1.5.114) zeigt, daß die Matrix $ \hat{S}(C)$ die Gleichung

$\displaystyle S^{-1}(C) \gamma^{\mu} \hat{S}(C)=-(\gamma^{\mu})^t$ (1.5.115)

erfüllen muß. In unserer Darstellung der Dirac-Matrizen (1.5.6) gilt

$\displaystyle (\gamma^{\mu})^t=(-1)^{\mu} \gamma^{\mu},$ (1.5.116)

und wie man leicht nachrechnet, erfüllt

$\displaystyle \hat{S}(C)=\ii \gamma^2 \gamma^0, \quad \hat{S}^{-1}(C)=\ii \gamma^0 \gamma^2=-\hat{S}(C)$ (1.5.117)

die Relationen (1.5.115).




Nächste Seite: Zeitumkehr Aufwärts: Die diskreten Symmetrietransformationen , Vorherige Seite: Raumspiegelungen   Inhalt
FAQ Homepage