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Zeitumkehr

Die Zeitumkehrtransformation muß wie folgt auf Orts- und Impulsoperatoren wirken:

$\displaystyle \op{U}(T) \vec{\op{x}} \op{U}^{\dagger}(T) = \vec{\op{x}}, \quad \op{U}(T) \vec{\op{p}} \op{U}^{\dagger}(T) = -\vec{\op{p}}.$ (1.5.118)

Eine analoge Rechnung wie oben beim Paritätsoperator ergibt, daß die Zeitumkehrtransformation antiunitär zu repräsentieren ist. Da ein antiunitärer Operator mit einer Adjunktion der ähnlichkeitstransformierten Operatoren einhergeht, muß die Wirkung der Zeitumkehrtransormation auf den Dirac-Feldoperator durch

$\displaystyle \op{\psiup}_T(t,\vec{x})=\op{U}(T) \op{\psiup}(t,\vec{x}) \op{U}^{\dagger}(T) = \eta_T \hat{S}(T) \overline{\op{\psiup}}^t(-t,\vec{x})$ (1.5.119)

gegeben sein. Aus der Gültigkeit der Diracgleichung für $ \op{\psiup}(t,\vec{x})$ folgt wegen der Antiunitarität von $ \op{U}(T)$

$\displaystyle (-\ii \fslash{\partial}^*-m) \op{\psiup}_T(t,\vec{x})=0.$ (1.5.120)

Dies in (1.5.119) eingestzt, liefert die Bedingung

$\displaystyle \hat{S}^{-1}(T)(\ii \fslash{\partial}^* + m) \hat{S}(T) \overline{\op{\psiup}}^{t}(-t,\vec{x}) = 0.$ (1.5.121)

Ein Vergleich mit (1.5.114) ergibt, daß

$\displaystyle \hat{S}^{-1}(T) (\gamma^0)^* \hat{S}(T) = -(\gamma^0)^t, \quad \h...
... \hat{S}^{-1}(T) (\gamma^{\mu})^* \hat{S}(T) = {T^{\mu}}_{\nu} (\gamma^{\mu})^t$ (1.5.122)

mit der Zeitumkehrmatrix $ ({T^{\mu}}_{\nu})=\diag(-1,1,1,1)$ . In unserer Darstellung der Diracmatrizen (1.5.6) sind $ \gamma^0$ , $ \gamma^1$ und $ \gamma^3$ reell und $ \gamma^2$ rein imaginär. Zusammen mit (1.5.116) folgt dann aus (1.5.122)

$\displaystyle \hat{S}^{-1}(T) \gamma^{\mu} \hat{S}(T)=-\gamma^{\mu}.$ (1.5.123)

Es ist sofort klar, daß

$\displaystyle \hat{S}(T)=\hat{S}^{-1}(T)=\gamma^5$ (1.5.124)

mit

$\displaystyle \gamma^5=\gamma_5:=\ii \gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3$ (1.5.125)

diese Gleichung erfüllt.

Alternativ können wir aber wegen (1.5.111) auch

$\displaystyle \op{\psiup}_T(t,\vec{x})=\eta_T \eta_C^* \hat{S}(T) \hat{S}^{-1}(C) \op{\psiup}_C(-t,\vec{x})$ (1.5.126)

schreiben. Da sich $ \op{\psiup}_C$ von $ \op{\psiup}$ nur um eine unitäre Transformation unterscheidet, können wir die Zeitumkehrtransformation auch mit dem Ansatz

$\displaystyle \op{\psiup}_T(t,\vec{x})=\eta_T' \hat{S}'(T) \op{\psiup}(-t,\vec{x})$ (1.5.127)

realisieren. Offenbar ist bis auf eine Phase $ \eta$

$\displaystyle \hat{S}'(T)=\eta \hat{S}(T) \hat{S}^{-1}(C)=\eta \gamma_5 \ii \gamma^0 \gamma^2=\eta \gamma^1 \gamma^3.$ (1.5.128)

Die Standardwahl der Phase ist $ \eta=\ii$ , d.h.

$\displaystyle \hat{S}'(T)=\ii \gamma^1 \gamma^3=\hat{S}'{}^{-1}(T).$ (1.5.129)

Setzt man (1.5.127) in die Bewegungsgleichung (1.5.120) des Operators $ \op{\psiup}_T(t,\vec{x})$ ein, erhalten wir durch Vergleich mit der Diracgleichung, die voraussetzungsgemäß für $ \op{\psiup}(t,\vec{x})$ gilt, die Bedingungen

$\displaystyle \hat{S}'{}^{-1}(T) (\gamma^{0})^* \hat{S}'(T) = \gamma^0, \quad \hat{S}'{}^{-1}(T) \vec{\gamma}^* \hat{S}'(T)=-\vec{\gamma}.$ (1.5.130)

In der Dirac-Darstellung und der chiralen Darstellung der Diracmatrizen sind $ \gamma^0$ , $ \gamma^1$ und $ \gamma^3$ reell und $ \gamma^2$ rein imaginär, d.h. wir können (1.5.130) in der Form

$\displaystyle \hat{S}'{}^{-1}(T) \gamma^{\mu} \hat{S}'(T)=(-1)^{\mu} \gamma^{\mu} =(\gamma^{\mu})^t.$ (1.5.131)

schreiben. Man weist durch direkte Rechnung nach, daß (1.5.129) in der Tat diese Bedingungen erfüllt. Alternativ können wir auch das konjugiert Komplexe von (1.5.130) bilden. Wegen $ [\hat{S}'(T)]^*=-\hat{S}'(T)$ ergibt sich für diese Beziehungen dann die Form

$\displaystyle \hat{S}'{}^{-1}(T) \gamma^0 \hat{S}'(T)=(\gamma^0)^*, \quad \hat{...
...  \hat{S}'{}^{-1}(T) \gamma^{\mu} \hat{S}'(T)={P^{\mu}}_{\nu} (\gamma^{\nu})^*$ (1.5.132)

mit dem Raumspiegelungsoperator $ ({P^{\mu}}_{\nu})=\diag(1,-1,-1,-1)$ .




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