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Sesquilinearformen der Diracfelder

Für die Modellbildung für Wechselwirkungen sind die Kombinationen $ \bar{\op{\psiup}} \Gamma \op{\psiup}$ wichtig, wobei $ \Gamma$ irgendwelche $ 4 \times
4$ -Matrizen sein können. Solche bilinearen Formen können nämlich in der Wechselwirkungslagrangedichte mit anderen Feldern geeigneten Wechselwirkungstermen zusammengesetzt werden. Dabei ist aber noch die relativistische Invarianz, also die Invarianz unter eigentliche orthochronen Lorentztransformationen sowie evtl. unter den oben besprochenen diskreten Transformationen wichtig.

Aus dem in Abschnitt 1.5.3 besprochenen Transformationsverhalten der Feldoperatoren und wegen (1.5.13) folgt sofort, daß

$\displaystyle \op{S}=\overline{\op{\psiup}} \op{\psiup}$ (1.5.133)

ein Skalarfeld unter eigentlich orthochronen Lorentztransformationen ist. Wegen (1.5.110) ist es auch ein Skalarfeld bzgl. Raumspiegelungen.

Ebenso ist

$\displaystyle \op{V}^{\mu}=\overline{\op{\psiup}} \gamma^{\mu} \op{\psiup}$ (1.5.134)

ein Vektorfeld sowohl unter eigentliche orthochronen Lorentztransformationen als auch unter Raumspiegelungen. Man spricht in diesem Zusammenhang genauer von einem polaren Vektor.

Aus den Diracmatrizen läßt sich die Matrix

$\displaystyle \gamma^5=\ii \gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3=-\frac{\ii}{4!} \epsilon_{\mu \nu \rho \sigma} \gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3$ (1.5.135)

bilden. Aus der zweiten Form können wir vermuten, daß sie sich wie ein Skalar unter eigentlich orthochronen Lorentztransformatinen verhält, was sofort aus der Transformationseigenschaft der Dirac-Matrizen und $ \det \Lambda=1$ für $ \Lambda \in$   SO$ (1,3)^{\uparrow}$ folgt. Unter Raumspiegelungen wechselt der Ausdruck allerdings sein Vorzeichen, denn es ist offenbar $ \det \mathcal{P}=-1$ . Folglich ist der Ausdruck

$\displaystyle \op{P}=\overline{\op{\psiup}}\gamma^5 \op{\psiup}$ (1.5.136)

ein pseudoskalares Feld.

Ebenso ist

$\displaystyle \op{A}^{\mu}=\overline{\op{\psiup}} \gamma^{\mu} \gamma^5 \op{\psiup}$ (1.5.137)

ein Axialvektorfeld, d.h. es transformiert sich unter eigentlich orthochronen Lorentztransformationen wie ein Vektorfeld, aber unter Raumspiegelungen mit einem zusätzlichen Vorzeichen, d.h. es gilt

$\displaystyle \vv{\op{A}^{0}(t,\vec{x})}{\vec{\op{A}}(t,\vec{x})} \stackrel{\mathcal{P}}{\rightarrow} \vv{-\op{A}^0(t,-\vec{x})}{+\vec{\op{A}}(t,-\vec{x})}.$ (1.5.138)

Schließlich ist noch

$\displaystyle \op{S}^{\mu \nu}=\overline{\op{\psiup}} \sigma^{\mu \nu} \op{\psiup}$   mit$\displaystyle \quad \sigma^{\mu \nu}=\frac{\ii}{4} \comm{\gamma^{\mu}}{\gamma^{\nu}}$ (1.5.139)

ein antisymmetrisches Tensorfeld zweiter Stufe.

Da die fünf Matrizen

$\displaystyle \bm{1}_4, \quad \gamma^5, \quad \gamma^{\mu}, \quad \gamma^{\mu} \gamma^5, \quad \sigma^{\mu \nu}$ (1.5.140)

linear unabhängig sind (Übung!) und insgesamt $ 1+1+4+4+6=16$ Matrizen vorliegen, kann man alle anderen möglichen Sesquilinearformen, die man aus dem Dirac-Spinor bilden kann, aus den oben definierten Formen durch Linearkombination zusammensetzen. Die Feldoperatoren $ \op{S}$ , $ \op{V}^{\mu}$ , $ \op{A}^{\mu}$ und $ \op{T}^{\mu \nu}$ sind zudem noch selbstadjungiert (Übung!).




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