Nächste Seite: Das klassische Teilchenbild Aufwärts: Teilchen und Felder - Vorherige Seite: Teilchen und Felder -   Inhalt

Relativistische Raumzeitstruktur und Lorentzgruppe

Wir setzen voraus, daß der Leser mit den Grundlagen der klassischen relativistischen Mechanik und Elektrodynamik vertraut ist. Dieser erste Abschnitt soll dazu dienen, die wichtigsten Grundbegriffe zu wiederholen und die Notation dieses Skripts einzuführen. Wir bedienen uns des sogenannten natürlichen Einheitensystems, indem wir das (modifizierte) Plancksche Wirkungsquantum und die Lichtgeschwindigkeit zu $ 1$ setzen:

$\displaystyle \hbar=c=1.$ (1.1.1)

Üblicherweise ist es bequem, Massen, Energien und Impulse in MeV oder GeV anzugeben und Längen in fm ( $ 1\;$fm$ =1\;$femto-meter$ =1\;$Fermi$ =10^{-15}$m ). Zur Umrechnung von fm in MeV$ ^{-1}$ benötigen wir dann lediglich [A+08]

$\displaystyle \hbar c=197.3269631(49) \;$   MeV fm$\displaystyle .$ (1.1.2)

die in Klammern stehenden Ziffern geben dabei die Unsicherheit der Größe auf die entsprechenden letzten Dezimalstellen an.

Die relativistische Raumzeit ist ein affiner vierdimensionaler reeller Punktraum, auf dem eine Fundamentalform (,,Pseudometrik'') der Signatur $ (1,3)$ definiert ist. Führt man ein bzgl. dieser Fundamentalform orthonormiertes Basissystem in einem beliebig gewählten Bezugspunkt der Raumzeit ein, können wir jeden Raumzeitpunkt umkehrbar eindeutig durch die vier kontravarianten Vektorkomponenten $ x^{\mu}$ ( $ \mu \in
\{0,1,2,3\}$ ) beschreiben, und die Fundamentalform besitzt die kovarianten Tensorkomponenten

$\displaystyle (g_{\mu \nu})=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 &0  0 & -1 & 0 & 0  0 & 0 &-1 &0  0& 0 &0 &-1 \end{pmatrix}.$ (1.1.3)

Der $ \R^4$ mit dieser Fundamentalform heißt Minkowskiraum. Im folgenden schreiben wir kontravariante Vektorkomponenten auch als Spaltenvektor

$\displaystyle (x^{\mu})=\begin{pmatrix}x^0  x^1  x^2  x ^3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}x^0  \vec{x} \end{pmatrix}.$ (1.1.4)

Die Fundamentalform definiert das Minkowskiprodukt zwischen zwei Vierervektoren:

$\displaystyle x \cdot y=g_{\mu \nu} x^{\mu} y^{\mu}=x^0 y^0 - \vec{x} \cdot \vec{y},$ (1.1.5)

wobei über gegenständige gleichnamige Indizes summiert wird (Einsteinsche Summationskonvention) und $ \vec{x} \cdot
\vec{y}=x^1 y^1+x^2 y^2 + x^3 y^3$ das übliche Skalarprodukt im Euklidischen $ \R^3$ bezeichnet. Die kovarianten Komponenten eines Vektors erhält man durch ,,Indexziehen'' mit dem Fundamentaltensor:

$\displaystyle (x_{\mu})=(g_{\mu \nu} x^{\nu})=(x^0,-x^1,-x^2,-x^3)=(x^0,-\vec{x}^t),$ (1.1.6)

wobei ein hochgestelltes $ t$ an einem Vektor oder einer Matrix die Transposition bezeichnet, d.h. $ \vec{x}^t$ ist der Zeilenvektor $ (x^1,x^2,x^3)$ .

Entsprechend werden mit $ g^{\mu \nu}$ die kontravarianten Komponenten der Fundamentalform bezeichnet. Da für jeden Vektor

$\displaystyle x^{\mu} = g^{\mu \nu} x_{\nu}=g^{\mu \nu} g_{\nu \sigma} x_{\sigma}$ (1.1.7)

gelten soll, muß notwendig

$\displaystyle g^{\mu \nu} g_{\nu \sigma}=\delta_{\sigma}^{\mu}=\begin{cases}1 & \text{ f\uml {u}r } \mu=\nu 0 & \text{ f\uml {u}r } \mu \neq \nu \end{cases},$ (1.1.8)

so daß

$\displaystyle (g^{\mu \nu})=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 &0  0 & -1 & 0 & 0  0 & 0 &-1 &0  0& 0 &0 &-1 \end{pmatrix}$ (1.1.9)

ist.

Die Vektoren $ x \in \R^4$ fallen in drei Klassen:

$\displaystyle x \cdot x =x^2 \begin{cases}>0 & \text{ zeitartig}, =0 & \text{ lichtartig}, <0 & \text{ raumartig}. \end{cases}$ (1.1.10)

Eine lineare Transformation des Minkowskiraums, der die Fundamentalform zwischen beliebigen Vektoren invariant läßt, heißt Lorentztransformation. Wie jede lineare Abbildung wird eine Lorentztransformation bzgl. einer Basis durch eine Matrix $ ({\Lambda^{\mu}}_{\nu})$ repräsentiert, d.h. die kontravarianten Komponenten eines Vektors transformieren sich gemäß

$\displaystyle {x'}{}^{\mu}={\Lambda^{\mu}}_{\nu} x^{\nu}.$ (1.1.11)

Damit nun die Minkowskiprodukte zwischen beliebigen Vektoren ungeändert bleiben, muß gelten:

$\displaystyle g_{\mu \nu} x'{}^{\mu} y'{}^{\nu}=g_{\mu \nu} {\Lambda^{\mu}}_{\mu'}{\Lambda^{\nu}}_{\nu'} x^{\mu'} y^{\nu'}=g_{\mu' \nu'} x^{\mu'} y^{\nu'}.$ (1.1.12)

Da wir dies für beliebige $ x,y \in \R^4$ verlangen, ist also notwendig

$\displaystyle g_{\mu \nu} {\Lambda^{\mu}}_{\mu'}{\Lambda^{\nu}}_{\nu'}=g_{\mu' \nu'}.$ (1.1.13)

Dafür können wir auch schreiben

$\displaystyle (g_{\mu \nu} {\Lambda^{\mu}}_{\mu'} g^{\mu' \sigma}) {\Lambda^{\nu}}_{\nu'}={\Lambda_{\nu}}^{\sigma} {\Lambda^{\nu}}_{\nu'}=\delta_{\nu'}^{\sigma}.$ (1.1.14)

Dies bedeutet, daß eine Lorentztransformation invertierbar ist und

$\displaystyle {(\Lambda^{-1})^{\mu}}_{\nu}={\Lambda_{\nu}}^{\mu}$ (1.1.15)

sein muß. In Matrix-Vektorschreibweise bedeutet dies

$\displaystyle \Lambda^{-1}=g \Lambda^t g,$ (1.1.16)

Wobei wir Lorentztransformationsmatrizen immer als diejenige Form verstehen, wo der erste Index oben und der zweite Index unten stehen. Offenbar beschreibt umgekehrt auch jede Matrix $ \Lambda$ , die (1.1.16) erfüllt, eine Lorentztransformation.

Die Lorentztransformationen mit der Hintereinanderausführung (entsprechend der Matrixmultiplikation der dazugehörigen Matrizen) bilden eine Gruppe, denn mit zwei Lorentztransformationen $ \Lambda_1$ und $ \Lambda_2$ ist auch $ \Lambda_1 \Lambda_2$ eine Lorentztransformation, denn wegen $ g^2=\bm{1}$ ist

$\displaystyle g(\Lambda_1 \Lambda_2)^t g=g \Lambda_2^t \Lambda_1^t g=(g \Lambda...
...Lambda_1^t g)=\Lambda_{2}^{-1} \Lambda_{1}^{-1}=(\Lambda_{1} \Lambda_{2})^{-1},$ (1.1.17)

so daß $ \Lambda_1 \Lambda_2$ die Bedingung (1.1.16) erfüllt.

Die physikalische Bedeutung der Lorentztransformationen wird unmittelbar einsichtig, wenn man die beiden wichtigsten Spezialfälle betrachtet, nämlich

(i)
Drehungen der rein räumlichen Basis eines beliebigen Orthonormalsystems und
(ii)
Gleichförmig geradlinige Bewegung eines solchen Bezugssystems gegen ein anderes (,,drehungsfreier Lorentzboost``).
Ein Beispiel für Drehungen ist eine Drehung um die $ 3$ -Achse um den Winkel $ \phi \in [0,2\pi)$ :

$\displaystyle D_3(\phi)=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 &0  0 & \cos \phi & \sin \phi & 0  0 & -\sin \phi & \cos \phi & 0  0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$ (1.1.18)

Ein drehungsfreier Lorentzboost entlang der $ 3$ -Achse besitzt die Parametrisierung

$\displaystyle B_3(\eta)=\begin{pmatrix}\cosh \eta & 0 & 0 & -\sinh \eta  0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 -\sinh \eta & 0 & 0 & \cosh \eta \end{pmatrix}.$ (1.1.19)

Dabei ist $ \eta \in \R$ . Um die physikalische Bedeutung der Rapidität $ \eta$ zu verstehen, wenden wir (1.1.19) auf die Komponenten eines beliebigen Vierervektors an:

$\displaystyle x'=B_3(\eta) x =\begin{pmatrix}x^0 \cosh \eta - x^3 \sinh \eta  x^1  x^2  -x^0 \sinh \eta+x^3 \cosh \eta \end{pmatrix}.$ (1.1.20)

Betrachten wir insbesondere den räumlichen Ursprung des Systems $ \Sigma'$ , indem wir $ x'{}^1=x'{}^2=x'{}^3=0$ setzen. Aus (1.1.20) ersehen wir, daß dieser Punkt im System $ \Sigma$ die Koordinaten

$\displaystyle x^1=x^2=0,\quad x^3=x^0 \tanh \eta=t \tanh \eta$ (1.1.21)

besitzt. Das bedeutet, daß sich $ \Sigma'$ relativ zu $ \Sigma$ mit der Geschwindigkeit $ v=\tanh \eta$ entlang der $ 3$ -Achse bewegt. Es ist stets $ \vert\tanh \eta\vert<1$ . Mit Hilfe der folgenden Beziehung läßt sich der Boost (1.1.19) auch mit Hilfe der Geschwindigkeit $ v$ ausdrücken:

$\displaystyle \cosh \eta=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}:=\gamma(v), \quad \sinh \eta=\frac{v}{\sqrt{1-v^2}}=v \gamma(v).$ (1.1.22)

In Analogie zu (1.1.18) bzw. (1.1.19) lassen sich Drehungen um eine beliebige räumliche Achse eines Orthonormalsystems bzw. Boosts entlang einer beliebigen räumlichen Richtung dieses Orthonormalsystems angeben. Wir werden später insbesondere Boosts in eine beliebige räumliche Richtung benötigen. Richtung und Geschwindigkeit des Boosts können wir durch einen dreidimensionalen Vektor $ \vec{v}$ mit $ \vert\vec{v}\vert<1$ charakterisieren. Dann lautet der Boost

$\displaystyle B(\vec{v})= \begin{pmatrix}\gamma & -\vec{v}^t \gamma  -\vec{v} \gamma & \bm{1}+(\gamma-1) \vec{v} \otimes \vec{v}/\vec{v}^{ 2} \end{pmatrix}.$ (1.1.23)

Dabei bezeichnet $ \vec{a} \otimes \vec{b}$ , das dyadische Produkt zwischen zwei Dreiervektoren, die Matrix mit den Elementen

$\displaystyle (\vec{a} \otimes \vec{b})_{ij}=a^i b^j,$ (1.1.24)

und die Multiplikation mit einem Spaltenvektor von links bedeutet also

$\displaystyle (\vec{a} \otimes \vec{b} \; \vec{c})_i=a^i b^j c^j=a_1 \vec{b} \cdot \vec{c}.$ (1.1.25)

Die Wirkung des Boosts (1.1.23) auf die Komponenten eines beliebigen Vierervektors ist also durch

$\displaystyle B(\vec{v}) x=\begin{pmatrix}\gamma (x^0-\vec{v} \cdot \vec{x}) \\...
... \vec{v}   (\vec{v} \cdot \vec{x})/\vec{v}^2+\gamma \vec{v} x^0 \end{pmatrix}$ (1.1.26)

gegeben. Wir bemerken weiter, daß die Drehungen um eine beliebige Achse sowie die Boosts entlang einer beliebigen Koordinatenrichtung jeweils Einparameteruntergruppen der Lorentzgruppe bilden, denn mit Hilfe der Additionstheoreme der trigonometrischen bzw. hyperbolischen Funktionen ergibt sich sofort

$\displaystyle D_3(\phi_1) D_3(\phi_2)=D_3(\phi_1+\phi_2), \quad B_3(\eta_1) B_3(\eta_2)=B_3(\eta_1+\eta_2).$ (1.1.27)




Nächste Seite: Das klassische Teilchenbild Aufwärts: Teilchen und Felder - Vorherige Seite: Teilchen und Felder -   Inhalt
FAQ Homepage