Nächste Seite: Laborsystem Aufwärts: Das klassische Teilchenbild Vorherige Seite: Das klassische Teilchenbild   Inhalt

Die relativistische Kinematik freier Punktteilchen

Prinzipiell kann die Formulierung der relativistischen Mechanik eines Punktteilchens nach Wahl eines beliebigen Inertialsystems genau wie die Newtonsche Mechanik durch die Beschreibung der Bahnen im dreidimensionalen Euklidischen Raum bzgl. des durch dieses Inertialsystem definierten Beobachters erfolgen. Dies ist aber insbesondere zur Formulierung grundlegender Naturgesetze nicht besonders bequem. Es empfiehlt sich hingegen, die Kinematik und Dynamik der Punktteilchen im vierdimensionalen Minkowskiraum zu betrachten.

Wir beschreiben also die Bewegung eines Teilchens als Trajektorie im vierdimensionalen Minkowskiraum, d.h. wir führen einen beliebigen Parameter $ \lambda$ für diese Weltlinie des Teilchens ein: $ x^{\mu} = x^{\mu}(\lambda)$ . Spezialisieren wir nun diese Beschreibung auf ein bestimmtes Inertialsystem, muß sich dieselbe Trajektorie auch umkehrbar eindeutig mit Hilfe der dazugehörigen Koordinatenzeit $ t=x^0$ angeben lassen. Dies ist die schwächste Forderung an ein Kausalgesetz. Das bedeutet, daß die Trajektorie die Bedingung

$\displaystyle \frac{\dd x^0(\lambda)}{\dd \lambda}=\frac{\dd t}{\dd \lambda}>0$ (1.2.1)

erfüllen muß. Wir verlangen der Bequemlichkeit halber das positive Vorzeichen, damit ein Anwachsen des Parameters $ \lambda$ der positiven Zeitrichtung entspricht.

Weiter ist klar, daß für jede eigentlich orthochrone Lorentztransformation $ \Lambda$ ebenfalls die Bedingung (1.2.1) gelten muß, also

$\displaystyle \lor{\Lambda}{0}{\nu} \frac{\dd x^{\nu}}{\dd \lambda}>0.$ (1.2.2)

Wir wollen nun zeigen, daß dies nur dann gewährleistet ist, wenn $ \dd
x/\dd \lambda$ zeit- oder lichtartig ist.

Betrachten wir also zunächst einen raumartigen Vierervektor $ a$ , von dem wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit verlangen dürfen, daß sein räumlicher Teil in $ 3$ -Richtung weist, d.h. $ a^1=a^2=0$ und $ a^3>0$ ist, 1.1 und wenden einen beliebigen Lorentzboost der Gestalt (1.1.19) an. Dann ist

$\displaystyle {a'}^0=a^0\cosh \eta - a^3 \sinh \eta$ (1.2.3)

Angenommen $ a^0>0$ . Da nach Voraussetzung der Raumartigkeit $ a^2=(a^0)^2-(a^3)^2<0$ , ist $ 0>a^3>a^0$ . Verlangen wir also $ {a'}^0<0$ , müssen wir nur $ \eta$ so wählen, daß

$\displaystyle a^0 \cosh \eta<a^3 \sinh \eta \Rightarrow \tanh \eta>a^0/a^3.$ (1.2.4)

Da $ a^0/a^3<1$ und $ \tanh \eta \rightarrow 1$ für $ \eta \rightarrow
\infty$ , ist eine solche Wahl von $ \eta$ stets möglich. Das bedeutet aber, daß in der Tat $ \dd
x/\dd \lambda$ für unsere Trajektorie nicht raumartig sein darf, damit stets (1.2.2) erfüllt ist. Genau dieselbe Betrachtung zeigt, daß man für licht- und zeitartige Vektoren $ a$ durch einen eigentlich orthochronen Lorentzboost das Vorzeichen der Zeitkomponente nicht ändern kann, da $ \vert\tanh \eta\vert<1$ für jedes reelle $ \eta$ , so daß also die Weltlinie eines Teilchens stets so beschaffen sein muß, daß die Tangenten überall zeit- oder lichtartig sind. Wir nennen solche Trajektorien im Minkowskiraum künftig einfach zeit- oder lichtartig.

Nehmen wir nun zunächst an, wir hätten eine zeitartige Trajektorie vorliegen. Greifen wir einen beliebigen Punkt, charakterisiert durch $ \lambda = \lambda_0$ heraus, kann man stets einen Lorentzboost der Form (1.1.26) finden, so daß $ \dd \pvec{x}/\dd
\lambda\vert _{\lambda=\lambda_0}=0$ ist. Dazu braucht man nur mit der Geschwindigkeit

$\displaystyle \vec{v}=\frac{\dd \vec{x}}{\dd \lambda} \left (\frac{\dd x_0}{\dd \lambda} \right )^{-1}$ (1.2.5)

zu boosten. Wegen der Zeitartigkeit der Trajektorie ist ja $ \vert\vec{v}\vert<1$ ! Dies ist das Ruhesystem des Teilchens, in dem es momentan (also zu dem durch $ \lambda = \lambda_0$ gegebenen Zeitpunkt) ruht.

Wir können uns diese Lorentzboosts nun zu jedem Punkt entlang der Trajektorie ausgeführt denken. Dies definiert mit dem Teilchen mitbewegte Inertialsysteme, und man bezeichnet die in diesen Inertialsystemen gemessenen Zeitelemente $ \dd \tau$ als die Eigenzeitelemente des Teilchens. Es wäre nun äußerst mühsam, diese Eigenzeitelemente für eine gegebene Trajektorie zu berechnen, wenn man all diese Lorentztransformationen tatsächlich ausführen müßte. Dies ist aber gar nicht notwendig, denn wir können aufgrund der Lorentzinvarianz $ \dd x'=(\dd \tau,0,0,0)$ schreiben

$\displaystyle \d \tau^2=\dd x' \cdot \dd x'=\dd x \cdot \dd x,$ (1.2.6)

und von einem beliebigen Ereignis $ \lambda_0$ an gezählt vergeht also die Eigenzeit

$\displaystyle \tau(\lambda)=\int_{\lambda_0}^{\lambda} \dd \lambda' \sqrt{\frac{\dd x}{\dd \lambda'}\frac{\dd x}{\dd \lambda'}}.$ (1.2.7)

Da weiter offenbar $ \dd \tau/\dd \lambda>0$ ist, können wir auch die Eigenzeit des Teilchens selbst als Parameter der Weltlinie verwenden.

Dieses Konzept der Eigenzeit ist deshalb wichtig, weil es sich um eine relativistische Invariante handelt, die eine bequeme kovariante Formulierung der Teilchenkinemantik und -dynamik erlaubt. Die kovariante Definition der kinematischen Größen Geschwindigkeit und Beschleunigung erfolgt daher in Bezug auf diese Eigenzeit des Teilchens:

$\displaystyle u=\frac{\dd x}{\dd \tau}, \quad a=\frac{\dd u}{\dd \tau}=\frac{\dd^2 x}{\dd \tau^2}.$ (1.2.8)

In den nicht kovarianten, also auf ein Inertialsystem bezogenen dreidimensionalen Größen geschrieben, gilt also

$\displaystyle u=\frac{\dd x}{\dd t} \frac{\dd t}{\dd \tau} = \gamma \begin{pmatrix}1  \vec{v} \end{pmatrix}$   mit$\displaystyle \quad \vec{v} = \frac{\dd \vec{x}}{\dd t}, \quad \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\vec{v}^2}}.$ (1.2.9)

Kovariante Bewegungsgleichungen lassen sich am bequemsten aus dem Hamiltonschen Prinzip in der Lagrangeformulierung bestimmen. Für freie Teilchen hat man als einzigen Vierervektor $ u$ zur Verfügung, um eine invariante Wirkung zu formulieren. Der einzige Skalar, der sich aus diesem bilden läßt, ist $ u^2=1$ , so daß für ein massives Teilchen

$\displaystyle S_0[x]=-m \int \dd \tau=-m \int \dd \lambda \sqrt{\frac{\dd x^{\mu}}{\dd \lambda} \frac{\dd x_{\mu}}{\dd \lambda}}$ (1.2.10)

der geeignete Ansatz für eine Wirkung darstellt. Wir haben im letzten Schritt die Wirkung wieder bzgl. eines beliebigen Weltparameters $ \lambda$ dargestellt, da die Eigenzeit selbst nicht unabhängig ist. Man kann als Weltparameter selbstverständlich auch die Koordinatenzeit $ t$ bzgl. eines beliebigen Inertialsystems wählen, denn die Wirkung ist unabhängig von dieser Parametrisierung der Weltlinie:

$\displaystyle S_{0}[x]=-m \int \dd t \sqrt{1-\dot{\vec{x}}^{ 2}}.$ (1.2.11)

Das Noethertheorem für die Invarianz unter zeitlichen und räumlichen Translationen liefert dann Energie respektive Impuls eines freien Teilchens:

$\displaystyle E=\frac{m}{\sqrt{1-\vec{v}^2}}, \quad \vec{p}=\frac{m \vec{v}}{\sqrt{1-\vec{v}^2}}.$ (1.2.12)

Mit (1.2.8) zeigt sich, daß Energie und Impuls zusammengenommen den Vierervektor

$\displaystyle p=m u=m \frac{\dd x}{\dd \tau}$ (1.2.13)

bilden. Die kovariante Beziehung zwischen Energie und Impuls lautet demnach

$\displaystyle p^2=E^2-\vec{p}^2=m^2   \Rightarrow   \vert\vec{p}\vert=\sqrt{m^2+\vec{p}^2}.$ (1.2.14)

Damit können wir bereits die Kinematik für Stoßprozesse relativistischer Teilchen betrachten, die im folgenden noch wichtig sein wird. Der einfachste Fall ist ein Prozeß, wo zwei Teilchen $ X_1$ und $ X_2$ mit Viererimpulsen $ p_1$ und $ p_2$ aneinander streuen
l5cm
\includegraphics[width=4.5cm]{kinematics22.eps}
Raumzeitdiagramm für die Streuung zweier Teilchen in zwei (gleiche oder verschiedene) andere Teilchen. Wir folgen der Konvention, daß die Zeit von unten nach oben aufgetragen wird, was sich später bei der diagrammatischen Formulierung (Feynman-Diagramme) der Störungstheorie noch als nützlich erweisen wird.
(Anfangszustand) und zwei Teilchen $ X_3$ und $ X_4$ im Endzustand mit Viererimpulsen $ p_3$ und $ p_4$ resultieren. Dies können die gleichen Teilchen sein (also wieder $ X_1$ und $ X_2$ ), so daß also ein elastischer Streuprozeß betrachtet wird (z.B. die Elektron-Positron Streuung $ e_++e_- \rightarrow e_+ + e_-$ ) oder man hat von den Ausgangsteilchen verschiedene Teilchen im Endzustand vorliegen (inelastischer Streuprozeß), z.B. Paarvernichtung $ e_++e_-
\rightarrow 2 \gamma$ . In jedem Falle müssen Energie- und Impulserhaltung in dem Streuprozeß gelten, was sich sogleich vierdimensional kovariant zusammenfassen läßt:

$\displaystyle p_1+p_2=p_3+p_4.$ (1.2.15)

Weiter müssen die Energie-Impulsbeziehungen für die jeweiligen Teilchen erfüllt sein, wenn man sowohl die einlaufenden als auch die auslaufenden Teilchen weit ab vom Reaktionspunkt (,,Vertex``) betrachtet, wo die Wechselwirkung vernachlässigt werden kann (asymptotisch freie Teilchen):

$\displaystyle p_1^2=m_1^2, \quad p_2^2=m_2^2, \quad p_3^2=m_3^2, \quad p_4^2=m_4^2.$ (1.2.16)

Neben diesen invarianten Massen kann man nun noch drei weitere Invarianten aus den Viererimpulsen bilden, die man als Mandelstamvariablen1.2 bezeichnet:

$\displaystyle s=(p_1+p_2)^2=(p_3+p_4)^2, \quad t=(p_1-p_3)^2=(p_2-p_4)^2, \quad u=(p_1-p_4)^2=(p_2-p_3)^2.$ (1.2.17)

Diese drei Invarianten sind jedoch nicht unabhängig voneinander. Vielmehr findet man durch Ausmultiplizieren der Minkowskiquadrate in (1.2.17) sowie Anwendung der Energie-Impulserhaltungsgleichung (1.2.15) und der Energie-Impulsbeziehungen (1.2.16)

$\displaystyle s+t+u = m_1^2+m_2^2+m_3^2+m_4^2.$ (1.2.18)




Nächste Seite: Laborsystem Aufwärts: Das klassische Teilchenbild Vorherige Seite: Das klassische Teilchenbild   Inhalt
FAQ Homepage