Nächste Seite: Schwerpunktsystem Aufwärts: Das klassische Teilchenbild Vorherige Seite: Die relativistische Kinematik freier   Inhalt

Laborsystem

Für die Definition des invarianten Streuquerschnitts benötigen wir noch die Relativgeschwindigkeit der Teilchen im Anfangszustand. In der nichtrelativistischen Kinematik ist das einfach die vektorielle Differenz der Dreiergeschwindigkeiten. Dies ist aber im relativistischen Falle keine kovariante, also vom Inertialsystem unabhängige Definition. Wir definieren daher die Relativgeschwindigkeit des Teilchens $ X_2$ zum Teilchen $ X_1$ als seine Geschwindigkeit im Ruhsystem des Teilchens $ X_1$ . Dieses Bezugssystem bezeichnet man gemeinhin als Laborsystem, d.h. es gilt

$\displaystyle p_1^{\text{(lab)}}=\begin{pmatrix}m_1  0  0  0 \end{pmatrix...
...rt{m_2^2+(P_2^{\text{(lab)}})^2}  0  0  P_2^{\text{(lab)}} \end{pmatrix},$ (1.2.19)

wobei $ P_2^{\text{(lab)}}$ den Dreierimpulsbetrag des einlaufenden Teilchens $ X_2$ bezeichnet und die Stoßrichtung in die Richtung der $ 3$ -Achse gelegt wurde. Die Relativgeschwindigkeit ist demnach definitionsgemäß

$\displaystyle v_{\text{rel}}=\frac{P_2^{\text{(lab)}}}{E_2^{(\text{lab})}}.$ (1.2.20)

Dies läßt sich nun offensichtlich auch mit Hilfe kovarianter Ausdrücke schreiben. Aus $ p_1$ und $ p_2$ läßt sich nämlich die Invariante

$\displaystyle p_1 p_2=m_1 \sqrt{m_2^2+(P_2^{\text{(lab)}})^2}$ (1.2.21)

bilden, und wir können (1.2.20) in der Form

$\displaystyle v_{\text{rel}}:=\frac{\sqrt{(p_1 p_2)^2-m_1^2 m_2^2}}{E_1 E_2}$ (1.2.22)

angeben. Im Laborsystem stimmt diese Definition mit (1.2.20) überein. Nun stellt zwar (1.2.22) keinen manifest kovarianten Ausdruck dar, wir werden aber sehen, daß mit Hilfe dieser Definition der Wirkungsquerschnitt manifest kovariant definiert werden kann. Außerdem kann man zeigen, daß für kollineare Lorentzboosts, also Lorentzboosts in Kollisionsrichtung (in unserer Konvention (1.2.19) also in $ 3$ -Richtung) tatsächlich gilt $ v_{\text{rel}}=\vert\vec{v}_1- \vec{v}_2\vert$ . Dies ist aber nicht korrekt für beliebige Lorentzboosts, wenn also die Teilchen im betrachteten Bezugssystem nicht mehr kollinear aufeinandertreffen!

Es ist weiter noch nützlich, einige Beziehungen zwischen den Mandelstamvariablen und den Größen im Laborsystem herzuleiten. Aus (1.2.19) und (1.2.17) folgt sofort

$\displaystyle E_2^{\text{(lab)}}$ $\displaystyle =\frac{s-m_1^2-m_2^2}{2 m_1},$ (1.2.23)
$\displaystyle P_2^{\text{(lab)}}$ $\displaystyle = \sqrt{(E_2^{\text{(lab)}})^2-m_2^2}=\frac{\sqrt{[s-(m_1+m_2)^2][s-(m_1-m_2)^2]}}{2 m_1}.$ (1.2.24)

Die Beziehung zum Endzustand läßt sich durch die Mandelstamvariablen $ t$ und $ u$ ausdrücken:

$\displaystyle E_3^{\text{(lab)}}=\frac{m_1^2+m_3^2-t}{2 m_1}.$ (1.2.25)

Zusammen mit (1.2.18) folgt

$\displaystyle E_4^{\text{(lab)}}=m_1+E_2^{\text{(lab)}}-E_3^{\text{(lab)}}=\frac{m_1^2+m_4^2-u}{2 m_1}.$ (1.2.26)

Entsprechend ergeben sich schließlich die Impulse der auslaufenden Teilchen zu

\begin{displaymath}\begin{split}P_3^{(\text{lab})} &=\frac{\sqrt{[(m_1+m_3)^2-t]...
...\frac{\sqrt{[(m_1+m_4)^2-u][(m_1-m_4)^2-u]}}{2m_1}. \end{split}\end{displaymath} (1.2.27)




Nächste Seite: Schwerpunktsystem Aufwärts: Das klassische Teilchenbild Vorherige Seite: Die relativistische Kinematik freier   Inhalt
FAQ Homepage