Nächste Seite: Mischen von Gemischen Aufwärts: Wahrscheinlichkeit von Me▀werten Vorherige Seite: Strahlen im Hilbertraum   Inhalt   Index


Dichtematrix

Die Wahrscheinlichkeit (1.1) kann mit der Häufigkeit, mit der in Versuchsreihen die Meßwerte auftreten, erst dann sicher verglichen werden, wenn in der Quelle wiederholt derselbe Zustand $ \Psi$ präpariert wird. Dies ist bei vielen Quellen, zum Beispiel bei Öfen, nicht der Fall. Wenn Teil der Quelle in Bild (1.1) ein Würfel ist, der mit Wahrscheinlichkeit $ p_1$ den Zustand $ \Psi_1$, mit Wahrscheinlichkeit $ p_2$ einen Zustand $ \Psi_2$ und so weiter präpariert, dann tritt mit Wahrscheinlichkeit $ p_1 w(i,A,\Psi_1)$ der Fall auf, daß der Zustand $ \Psi_1$ präpariert und der $ i$-te Meßwert $ a_i$ gemessen wird, mit Wahrscheinlichkeit $ p_2 w(i,A,\Psi_2)$ der Fall, daß der Zustand $ \Psi_2$ präpariert und der $ i$-te Meßwert gemessen wird und so weiter. Berücksichtigt man alle Möglichkeiten, so erhält man den $ i$-ten Meßwert $ a_i$ mit Wahrscheinlichkeit

$\displaystyle w(i,A, \rho)=\sum_n p_n w(i,A,\Psi_n) =\sum_n p_n \langle \Lambda...
...\Psi_n\vert\Lambda_i\rangle =\langle \Lambda_i \vert \rho \Lambda_i \rangle  ,$ (1.38)

wobei die Dichtematrix $ \rho$

$\displaystyle \rho = \sum_n p_n \vert\Psi_n\rangle\langle\Psi_n\vert$ (1.39)

das Gemisch in allen meßbaren Eigenschaften charakterisiert.

Die Wahrscheinlichkeit, den $ i$-ten Meßwert $ a_i$ zu messen, ist das zugehörige Hauptdiagonalelement der Dichtematrix in der Basis der Eigenzustände des Meßapparates.

Die Wahrscheinlichkeit (1.38) kann in einer Versuchsreihe nur dann sicher mit der Häufigkeit von Meßwerten verglichen werden, wenn die Wahrscheinlichkeiten $ p_n$ während der Versuchsreihe unverändert bleiben, wenn das Gemisch genügend häufig präpariert werden kann und wenn außerhalb des quantenmechanischen Systems Meßapparate existieren. Daher ist unsicher, wie eine ,,Wellenfunktion des Universums`` zu deuten ist, die das einmalige Universum einschließlich aller Meßapparate beschreiben soll. Von dieser Frage sind wir allerdings gnädig verschont, da wir diese Wellenfunktion nicht kennen.

Mit der Bezeichnung Gemisch benennt man den Normalfall, daß verschiedene Zustände $ \Psi_n$ mit Wahrscheinlichkeiten $ p_n$ präpariert werden. Wird in Meßreihen immer derselbe Zustand $ \Psi$ präpariert, nennen wir das zu messende System auch deutlicher einen reinen Zustand. Reine Zustände sind spezielle Gemische, bei denen eine Produktionswahrscheinlichkeit $ 1$ ist und die anderen Produktionswahrscheinlichkeiten verschwinden.

Die Zustände $ \Psi_n$, aus denen sich das Gemisch zusammensetzt, sind normalerweise nicht paarweise orthogonal und bilden normalerweise keine Basis. Normalerweise lassen sich die einzelnen Summanden $ p_n \vert\Psi_n\rangle\langle\Psi_n\vert$ nicht aus der Dichtematrix $ \rho$ rekonstruieren, ebenso wie man einer gegebenen Zahl nicht ihre Summanden ansieht. Man kann aber die Eigenwerte $ \rho_n$ und orthonormierte Eigenvektoren $ \Upsilon_n$ von $ \rho$ bestimmen1.2

$\displaystyle \rho \Upsilon_n = \rho_n \Upsilon_n$    mit $\displaystyle \quad \langle \Upsilon_m\vert \Upsilon_n\rangle = \delta^m{}_{n}$ (1.40)

und damit die Dichtematrix in der zum Verwechseln ähnlichen Form

$\displaystyle \rho = \sum_n \rho_n \vert\Upsilon_n\rangle\langle\Upsilon_n\vert$ (1.41)

schreiben. Die Eigenwerte $ \rho_n$ und die Projektoren auf die zugehörigen Eigenräume sind durch die Eigenwertgleichung von $ \rho$ festgelegt.

Jedes Hauptdiagonalelement $ \langle \Lambda \vert \rho \Lambda \rangle$ der Dichtematrix ist nichtnegativ

$\displaystyle \langle \Lambda \vert \rho \Lambda \rangle = \sum_n \langle \Lamb...
...rangle = \sum_n p_n \vert \langle \Lambda \vert \Psi_n\rangle \vert ^2 \ge 0 .$ (1.42)

Insbesondere haben daher Dichtematrizen nichtnegative Eigenwerte $ \rho_n$. Ein Hauptdiagonalelement $ \langle \Lambda \vert \rho \Lambda \rangle$ verschwindet genau dann, wenn alle Skalarprodukte $ p_n \langle \Psi_n \vert\Lambda \rangle$ verschwinden, also wenn $ \rho \Lambda$ Null ist

$\displaystyle \langle \Lambda \vert \rho \Lambda \rangle=0 \Leftrightarrow \rho \Lambda=0 .$ (1.43)

Zudem ist die Spur $ \tr \rho$ der Dichtematrix

$\displaystyle \tr \rho = \sum_i \langle \Lambda_i \vert \rho \Lambda_i\rangle =...
...t\Lambda_i \rangle =\sum_n \langle \Psi_n \vert p_n \Psi_n \rangle = \sum_n p_n$    

durch die Summenregel $ \sum_n p_n=1$ für Wahrscheinlichkeiten festgelegt.

$\displaystyle \tr \rho = 1 = \sum_n \rho_n$ (1.44)




Nächste Seite: Mischen von Gemischen Aufwärts: Wahrscheinlichkeit von Me▀werten Vorherige Seite: Strahlen im Hilbertraum   Inhalt   Index
FAQ Homepage