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Erwartungswerte

Die Formel (1.34) gibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung für alle Meßwerte an. Sie enthält damit die vollständige Information über den Ausgang von Meßreihen. Oft ist man an weniger Information interessiert, zum Beispiel am Mittelwert der Meßwerte. Bei vielen Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist der wahrscheinlichste Meßwert nahe beim Mittelwert und der Mittelwert daher der Meßwert, den man erwartet. Deshalb nennen ihn Physiker den Erwartungswert. Man sei jedoch gewarnt, daß es auch zweihöckerige Verteilungen gibt, zum Beispiel die Strahlauffächerung in einer Stern-Gerlach-Apparatur, bei denen Meßwerte in der Nähe des Mittelwertes unwahrscheinlich sind und der Erwartungswert nicht zu erwarten ist.

Der Mittelwert $ \langle A \rangle $ der Meßwerte des Apparates $ A$ ist die Summe der mit den Wahrscheinlichkeiten gewichteten Meßwerte

$\displaystyle \langle A \rangle = \sum_i a_i  w(i,A,\rho) =\sum_i a_i \langle ...
...left ( \sum_i a_i \vert\Lambda_i\rangle \langle \Lambda_i\vert \right ) \rho .$ (2.1)

Er ist also durch

$\displaystyle \langle A \rangle = \tr \rho A$ (2.2)

gegeben, wobei $ A$ jetzt nicht nur den Meßapparat sondern auch den Operator

$\displaystyle A=\sum_i a_i \vert\Lambda_i\rangle \langle \Lambda_i\vert$ (2.3)

bezeichnet. Er ist für den Meßapparat charakteristisch, da sich aus ihm die Meßwerte und ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung für alle Gemische $ \rho$ berechnen lassen. Zu jedem Meßapparat $ A$ gehört ein Operator $ A$ im Hilbertraum. Allerdings ist enttäuschend, daß die Hersteller von Meßapparaten den Operator nicht der Gebrauchsanweisung beilegen.

Im Gegensatz zu weitverbreiteten Behauptungen entspricht das Anwenden des Operators auf den Zustand $ \Psi$ nicht der Messung des Zustands.

Die Notation $ \langle A \rangle $ für den Mittelwert $ \tr A\rho$ stammt vom reinen Zustand (1.33). In diesem Fall gilt spezieller, wenn wir wieder ein normiertes $ \Psi$ verwenden,

$\displaystyle \langle A \rangle = \langle \Psi \vert A \Psi \rangle .$ (2.4)

Ohne am Sachverhalt etwas zu ändern, wird in der Bracket-Schreibweise noch ein ,,$  \vert $`` eingefügt: $ \langle A \rangle = \langle \Psi \vert A \vert \Psi \rangle$. Man betont dadurch, daß es irrelevant ist, ob der Operator $ A$ auf das zweite oder das erste Argument des Skalarproduktes wirkt, denn $ A$ ist ein linearer, hermitescher (1.17) Operator

$\displaystyle A=A^\dagger .$ (2.5)

Man überzeugt sich leicht, daß die Projektionsoperatoren (1.23) hermitesch sind und daß reelle Linearkombinationen (2.3) von hermiteschen Operatoren wieder hermitesch sind.

Aus dem gleichen Grund ist die Dichtematrix $ \rho$ hermitesch.

$\displaystyle \rho=\rho^\dagger$ (2.6)

Aus (1.6) folgt unmittelbar, daß die Zustände $ \Lambda_i$ Eigenzustände des Operators $ A$ sind und daß die Eigenwerte die Meßwerte $ a_i$ sind.

$\displaystyle A \Lambda_i = a_i \Lambda_i$ (2.7)

So haben wir in (2.3) den Operator $ A$ aus den Meßwerten und Eigenzuständen konstruiert.

Umgekehrt lassen sich bei gegebenem Operator $ A$ aus der Eigenwertgleichung die Eigenvektoren bis auf einen komplexen Faktor, das heißt also die zugehörigen Strahlen im Hilbertraum, und die Meßwerte $ a_i$ bestimmen.

Die Eigenwerte $ a$ eines hermiteschen Operators $ A=A^\dagger$ sind reell, wie sich aus $ A\Lambda=a \Lambda$ und $ \langle \Lambda \vert \Lambda \rangle \ne 0$ mit folgender Argumentationskette ergibt.

$\displaystyle (a^*-a)\langle \Lambda \vert\Lambda \rangle = \langle a\Lambda \v...
...le A \Lambda \vert\Lambda \rangle - \langle \Lambda \vert A \Lambda \rangle = 0$ (2.8)

Die Eigenzustände zu verschiedenen Eigenwerte sind orthogonal zueinander.

$\displaystyle (a_i-a_j)\langle \Lambda_i \vert\Lambda_j\rangle = \langle A \Lam...
... = 0  ,\quad a_i\ne a_j \Rightarrow \langle \Lambda_i \vert\Lambda_j\rangle =0$ (2.9)

Unitäre Operatoren $ U^\dagger=U^{-1}$ haben komplexe Eigenwerte vom Betrag $ 1$. Denn unitäre Transformationen lassen Skalarprodukte invariant.

$\displaystyle \langle U \Phi \vert U \Psi \rangle = \langle U^\dagger U \Phi \vert \Psi \rangle = \langle \Phi \vert \Psi \rangle$ (2.10)

Demnach haben $ \Psi$ und $ U\Psi$ gleiche Länge und $ U\Psi=\lambda \Psi, \lambda\in\mathbbm{C},$ ist nur möglich für $ \vert\lambda\vert=1$

$\displaystyle U^\dagger=U^{-1}{\text{ und }}U\Psi=\lambda\Psi \Rightarrow \lambda=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}  , \quad \alpha\in\mathbbm{R} .$ (2.11)

Unitäre Operatoren $ U$ können als $ \mathrm{e}^{\mathrm{i}H}$ mit einem hermiteschen Operator $ H=H^\dagger$ geschrieben werden.




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