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Unbeschränktes Spektrum

Die Menge der Eigenwerte eines Operators $ A$ - genauer das Komplement der komplexen Zahlenmenge $ \lambda\in \mathbbm{C}$, für die die Resolvente $ (A-\lambda)^{-1}$ als Operator im ganzen Hilbertraum existiert - heißt Spektrum von $ A$. Wenn das Spektrum nicht beschränkt ist, ist der lineare Operator nicht auf allen Vektoren $ \Psi$ definiert und mit einer beliebig kleinen Änderung eines Zustandes, auf dem $ A$ definiert ist, kann man eine beliebig große Änderung des Erwartungswertes bewirken.

Das ist aus dem Alltag bekannt: soll zum Beispiel die mittlere Studiendauer berechnet werden, so ändert ein einziger Student im vierzigsten Semester den Mittelwert drastisch. Man behilft sich bei Statistiken mit Zusatzargumenten, wie ,,Ein Student im vierzigsten Semester ist kein Student`` und läßt ihn einfach weg. Bei Messungen verfährt man oft genauso und läßt Ausreißer bei der Bestimmung von Mittelwerten weg.

Vornehm heißt dies Verfahren Regularisierung. Will man nur genügend gutartige Fragen untersuchen, zum Beispiel: ,,Begreifen die Studenten den Lehrstoff seit Einführung des neuen Studienplanes schneller?`` hängt die Antwort nicht vom Altstudenten und der Regularisierung ab, und sie ist akzeptabel.

Die mathematischen Schwierigkeiten bei Operatoren mit unbeschränktem Spektrum zeigen sich schon beim Energieerwartungswert des harmonischen Oszillators. Die Energiewerte sind die Eigenwerte des Hamiltonoperators $ H=\hslash\omega a^\dagger a$. Sie sind nichtnegative, ganzzahlige Vielfache von $ \hslash \omega$

$\displaystyle H \vert\Lambda_n \rangle = E_n \vert\Lambda_n \rangle  ,  E_n=n\hslash\omega  ,  n=0,1,2,\dots .$ (2.12)

Wir unterstellen, daß die $ \Lambda_n$ normiert sind. Dann bilden sie eine Orthonormalbasis (1.6) und ein allgemeiner Vektor kann als Linearkombination $ \vert\Psi\rangle = \sum_n \vert\Lambda_n \rangle \psi_n $ mit quadratsummierbaren Komponenten $ \psi_n$ geschrieben werden.

Der Hamiltonoperator ist hermitesch und bildet $ \Psi$ auf $ H\Psi$ mit Komponenten

$\displaystyle \langle \Lambda_n\vert H\Psi\rangle = \hslash\omega n \langle \Lambda_n\vert\Psi\rangle = \hslash\omega n \psi_n$ (2.13)

ab. Es lassen sich leicht quadratsummierbare Folgen angeben, zum Beispiel $ \psi_n=1/(n+1)$, so daß die Folge $ n \psi_n$ nicht quadratsummierbar ist. Auf den zugehörigen Vektoren ist $ H$ nicht definiert. Wenn man solche Folgen bei großem $ n$ abbricht, und mit einem genügend kleinen Vorfaktor zu einem physikalischen Zustand hinzufügt, so sieht man, daß in jeder Umgebung jedes Zustandes ein weiterer Zustand existiert, dessen Energieerwartungswert jede vorgegebene Grenze überschreitet. Das ist zwar mathematisch störend aber physikalisch unwichtig: der hohe Energieerwartungswert rührt von sehr seltenen Messungen mit sehr hohen Energien her.

Zahmer als ein Meßoperator mit unbeschränktem Spektrum sind die Projektoren (1.23) auf die zugehörigen Eigenräume. Nur sie werden benötigt, um die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Meßwerte beim Vermessen eines Gemisches $ \rho$ anzugeben.




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