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Unschärfe

Als nach dem Mittelwert nächstwichtige Größe charakterisiert in einem Gemisch $ \rho$ (1.39) die Schwankung der Meßwerte eines Apparats $ A$, genauer der Erwartungswert der quadratischen Abweichung vom Mittelwert, die Wahrscheinlichkeitsverteilung.

$\displaystyle (\Delta_\rho A)^2 = \langle (A-\langle A \rangle )^2 \rangle = \s...
...langle A \rangle )^2 \Psi_n\rangle = \langle A^2 \rangle - \langle A \rangle ^2$ (2.14)

$ \Delta_\rho A$ heißt die Unschärfe oder Schwankung von $ A$ im Gemisch $ \rho$. Die Unschärfe hängt vom hermiteschen Operator $ A$ und vom Gemisch $ \rho$ ab.

Die Größe $ (\Delta_\rho A)^2$ ist nichtnegativ, denn sie ist eine mit nichtnegativen Wahrscheinlichkeiten $ p_n$ gewichtete Summe von Längenquadraten.

$\displaystyle \langle \Psi \vert (A-\langle A \rangle )^2 \Psi \rangle = \langl...
...(A-\langle A \rangle ) \Psi \rangle = \Vert (A-\langle A \rangle ) \Psi \Vert^2$ (2.15)

Sie verschwindet genau dann, wenn das Gemisch nur aus Eigenzuständen $ \Lambda_n$ zu einem festen Eigenwert $ a=\langle A \rangle $ gemischt ist

$\displaystyle 0= \sum_n p_n \Vert (A -\langle A \rangle ) \Lambda_n\Vert^2 \Leftrightarrow (A -a) \Lambda_n = 0$    oder $\displaystyle p_n = 0 .$ (2.16)

Die Summe $ \sum_n p_n \Vert\bigl ( c_A (A-\langle A \rangle ) + \mathrm{i}c_B (B - \langle B \rangle )\bigr )\Psi_n\Vert^2$ ist nicht negativ. Betrachtet man reelle Zahlen $ c_A$ und $ c_B$ und hermitesche Operatoren $ A$ und $ B$, so ergibt sich aus dieser Bemerkung eine allgemeine untere Schranke für das Produkt $ \Delta_\rho A \Delta_\rho B$ der Schwankungen von $ A$ und $ B$ im Gemisch $ \rho$. Mit der Schreibweise

$\displaystyle [A,B]=AB-BA$ (2.17)

für den Kommutator von $ A$ mit $ B$ gilt

\begin{displaymath}\begin{split}0 \le \sum_n p_n\Vert \bigl (c_A(A-\langle A \ra...
...gle \Psi_n \vert [A,B] \Psi_n \rangle   \bigr ) . \end{split}\end{displaymath} (2.18)

Wir werten diese Ungleichung für $ c_A=-\Delta_\rho B$ und $ c_B=\Delta_\rho A$ aus. Dann verschwindet der erste Term. Falls weder $ \Delta A$ noch $ \Delta B$ verschwindet, ist $ -2c_Ac_B > 0$ und wir erhalten die allgemeine Unschärferelation

$\displaystyle \Delta_\rho A \Delta_\rho B \ge \frac{1}{2}\vert \langle [A,B] \rangle \vert .$ (2.19)

Wir dürfen Betragszeichen setzen, wenn wir dieselben Überlegungen mit $ B$ statt $ A$ und $ A$ statt $ B$ anstellen. Dabei behält die linke Seite der Ungleichung ihren Wert und der Kommutator $ [A,B]$ wechselt sein Vorzeichen. Auch für $ \Delta_\rho A= 0$ (oder $ \Delta_\rho B= 0$) ist diese Ungleichung erfüllt, denn $ \rho$ ist dann aus Eigenzuständen zu $ A$ (oder $ B$) zu einem Eigenwert $ a$ gemischt und der Erwartungswert eines Kommutators $ [A,B]$ verschwindet in jedem Eigenzustand von $ A$ oder $ B$.

$\displaystyle \langle [A,B] \rangle = \sum_n p_n \langle \Psi_n\vert [A,B] \Psi_n \rangle = \sum_n p_n \langle \Psi_n\vert (a B -B a) \Psi_n \rangle = 0$ (2.20)

Das Schwankungsquadrat nimmt beim Mischen nicht ab. Es ist

$\displaystyle (\Delta_{\rho(\lambda)}A)^2=\tr \rho(\lambda)A^2-(\tr \rho(\lambda)A)^2$    mit $\displaystyle \rho (\lambda)=\lambda \hat{\rho} +(1-\lambda)\tilde{\rho}$ (2.21)

ein Polynom in $ \lambda$ mit nichtpositiver zweiter Ableitung $ -2(\tr \hat{\rho}A -\tr \tilde{\rho}A)^2$ und demnach eine konkave Funktion des Mischungsparameters

$\displaystyle (\Delta_{\rho(\lambda)}A)^2 \ge \lambda (\Delta_{\hat{\rho}}A)^2 + (1-\lambda)(\Delta_{\tilde{\rho}}A)^2 .$ (2.22)

Das Schwankungsquadrat einer Mischung von Gemischen ist mindestens die anteilige Summe der Schwankungsquadrate und stimmt mit der anteiligen Summe nur überein, wenn die Mittelwerte $ \tr \hat{\rho}A$ und $ \tr \tilde{\rho}A$ gleich sind.




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