Nächste Seite: Erzeuger-Vernichter-Algebra Aufwärts: Operatoren Vorherige Seite: Unschärfe   Inhalt   Index

Kommutator

Trotz der mathematischen Komplikationen, die mit der Verwendung unbeschränkter Operatoren zusammenhängen, formuliert man die Eigenschaften quantenmechanischer Systeme vorzugsweise anhand von Operatoren.

Mit der Sprechweise ,,der Operator $ A$ vertauscht mit Operator $ B$`` bezeichnet man den Fall, daß $ AB=BA$ gilt, das heißt, daß der Kommutator

$\displaystyle [A,B]=AB-BA$ (2.23)

verschwindet. Vertauschen $ A$ und $ B$ und sind sie diagonalisierbar, zum Beispiel weil sie hermitesch oder unitär sind, so können Eigenvektoren des Operators $ A$ auch als Eigenvektoren von $ B$ gewählt werden und umgekehrt, denn $ B$ bildet den Eigenraum $ {\cal{H}}_i$ von $ A$ zum Eigenwert $ a_i$ wieder auf $ {\cal{H}}_i$ ab

$\displaystyle [A,B]=0 \wedge (A-a_i) \Lambda_i = 0 \Rightarrow (A-a_i) (B\Lambda_i)= B (A-a_i) \Lambda_i = 0$ (2.24)

und kann in diesem Unterraum diagonalisiert werden. Ist die Dimension $ d_i$ von $ {\cal{H}}_i$ größer als $ 1$, so ist der Meßwert $ a_i$ entartet und es gibt linear unabhängige Eigenvektoren $ \Lambda_{ij}$ zu $ A$ und $ B$

$\displaystyle A \Lambda_{ij}=a_i \Lambda_{ij}\quad B \Lambda_{ij}=b_{ij} \Lambda_{ij}\quad j=1,\dots,d_i .$ (2.25)

Es kann dann ein feinerer Meßapparat gebaut werden, der gleichzeitig $ A$ und $ B$ mißt, so daß die Teilstrahlen $ a_i$ in Abbildung (1.1) feiner in Teilstrahlen $ b_{ij}$ zerlegt werden.

Ist $ B$ in denselben Unterräumen entartet wie $ A$, so ist $ B=f(A)$. $ B$ ist dann kein wesentlich anderer Meßapparat. $ B$ verwendet nur eine andere Meßskala als $ A$, etwa wie bei einem Volt- und Ampère-Meter.

Bezüglich Messungen, deren zugehörige Operatoren vertauschen, verhalten sich die quantenmechanischen Systeme wie klassische, statistische Systeme. Bezüglich solcher Messungen werden alle Zustände $ \Psi$ schon vollständig durch die Betragquadrate der Skalarprodukte $ \langle \Lambda\vert\Psi\rangle $ mit den gemeinsamen Eigenzuständen $ \Lambda$ der kommutierenden Meßoperatoren charakterisiert, durch eine klassische Wahrscheinlichkeitsverteilung also. Erst Messungen, deren Operatoren nicht miteinander vertauschen, sind empfindlich auf die komplexen Phasen der Komponenten von $ \Psi$.

Daher sind Kommutatorrelationen von grundlegender Bedeutung in der Quantenmechanik. Die wesentlichen algebraischen Eigenschaften des Kommutators sind Antisymmetrie, Linearität und Produktregel

$\displaystyle [A,B]$ $\displaystyle =-[B,A]  ,$ (2.26)
$\displaystyle [A,\lambda_1 B+\lambda_2 C]$ $\displaystyle =\lambda_1 [A,B]+\lambda_2 [A,C]\quad \forall \lambda_1,\lambda_2\in \mathbbm{C}  ,$ (2.27)
$\displaystyle [A,BC]$ $\displaystyle =[A,B]C + B [A,C] .$ (2.28)

Wegen der Antisymmetrie und weil hermitesch Adjungieren die Reihenfolge vertauscht (1.18), ist der Kommutator hermitescher Operatoren antihermitesch. Wegen der Linearität und der Produktregel verhält sich die Operation ,,Kommutator nehmen mit einem Operator $ A$`` so wie Ableiten. Bei diesem Ableiten bleibt die Reihenfolge der Faktoren unverändert. Aus der Regel für Produkte folgt die Produktregel für Kommutatoren, die Jacobi-Identität

$\displaystyle [A,[B,C]]$ $\displaystyle =[[A,B],C] + [B,[A,C]]$ (2.29)
$\displaystyle [A,[B,C]]$ $\displaystyle +[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0 .$ (2.30)




Nächste Seite: Erzeuger-Vernichter-Algebra Aufwärts: Operatoren Vorherige Seite: Unschärfe   Inhalt   Index
FAQ Homepage