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Erzeuger-Vernichter-Algebra

Algebraische Relationen strukturieren den Hilbertraum der Zustände. So kann zum Beispiel die Heisenbergsche Vertauschungsrelation eines hermiteschen Ortsoperators $ X$ mit dem zugehörigen hermiteschen Impulsoperator $ P$

$\displaystyle [X,P]=\mathrm{i}\hslash$ (2.31)

nicht in einem Hilbertraum $ \cal H$ mit endlicher Dimension $ n$ gelten, denn dann wäre die Spur $ \tr (XP-PX)=0$ im Widerspruch zu $ \tr (\mathrm{i}\hslash)=n \mathrm{i}\hslash$.

Existieren für ein $ x_0\in \mathbbm{R}, x_0\ne 0$, die komplexen Linearkombinationen

$\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{X}{x_0} + \frac{\mathrm{i}}{\hslash} x...
...^\dagger = \frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{X}{x_0} - \frac{\mathrm{i}}{\hslash} x_0 P)$ (2.32)

des Orts- und des Impulsoperators, so erfüllen sie die Erzeuger-Vernichter-Algebra

$\displaystyle [a,a]=0  , [a^\dagger,a^\dagger]=0  , [a,a^\dagger]=1 ,$ (2.33)

und es existiert eine Orthonormalbasis

$\displaystyle \Lambda_{n,\tau}=\frac{(a^\dagger)^n}{\sqrt{n!}}\Lambda_{0,\tau}  , n=0,1,2,\dots ,$ (2.34)

auf denen die Operatoren $ a$ als Vernichter und $ a^\dagger$ als Erzeuger wirken

$\displaystyle a \Lambda_{n,\tau} = \sqrt{n}\Lambda_{n-1,\tau} ,\quad a^\dagger \Lambda_{n,\tau}=\sqrt{n+1}\Lambda_{n+1,\tau} .$ (2.35)

Dies ergibt sich aus der Analyse des hermiteschen Operators $ a^\dagger a$. Im Vorgriff auf spätere Ergebnisse nennen wir $ a^\dagger a$ Anzahloperator und bezeichnen seine Eigenwerte mit $ n$.

$\displaystyle a^\dagger a \Lambda_n = n \Lambda_n .$ (2.36)

Aus der Erzeuger-Vernichter-Algebra (2.33) folgt, daß der Kommutator mit $ a^\dagger a$ die Operatoren $ a$ und $ a^\dagger$ auf ein Vielfaches von $ a$ und $ a^\dagger$ abbildet

$\displaystyle [a^\dagger a , a]= -a  ,\quad [a^\dagger a , a^\dagger]= a^\dagger .$ (2.37)

Daher sind $ a\Lambda_n$ und $ a^\dagger\Lambda_n$ entweder Null oder Eigenzustände mit Eigenwerten $ n-1$ beziehungsweise $ n+1$.

$\displaystyle a^\dagger a  a \Lambda_n$ $\displaystyle = ([a^\dagger a, a] + a  a^\dagger a ) \Lambda_n = (-1+n)a\Lambda_n$ (2.38)
$\displaystyle a^\dagger a  a^\dagger\Lambda_n$ $\displaystyle = ([a^\dagger a, a^\dagger] + a^\dagger  a^\dagger a ) \Lambda_n = (1+n)a^\dagger\Lambda_n$ (2.39)

Da der Operator $ a$ den Anzahleigenwert erniedrigt, heißt er Vernichter. Entsprechend ist $ a^\dagger$ der Erzeugungsoperator. Ist $ \Lambda_n$ normiert, so ergeben sich die Normen von $ a\Lambda_n$ und $ a^\dagger\Lambda_n$ aus der Algebra und der Eigenwertgleichung

  $\displaystyle \langle a \Lambda_n \vert a \Lambda_n\rangle =\langle \Lambda_n \vert a^\dagger a \Lambda_n\rangle = n$ (2.40)
  $\displaystyle \langle a^\dagger \Lambda_n \vert a^\dagger \Lambda_n\rangle =\la...
... =\langle \Lambda_n \vert([a, a^\dagger]+ a^\dagger a)\Lambda_n\rangle = n+1 .$ (2.41)

Diese Normen sind nicht negativ (1.5). Daher ist $ n$ nicht negativ. Wiederholtes Anwenden des Vernichter-Operators $ a$ erniedrigt den Anzahleigenwert in ganzen Schritten und muß, bevor $ n$ negativ wird, einen Eigenzustand $ \Lambda_0\ne 0$ ergeben, der durch weiteres Anwenden von $ a$ auf Null abgebildet wird

$\displaystyle a\Lambda_0 = 0 .$ (2.42)

Solch ein Zustand heißt Grundzustand. Er hat nach (2.40) Anzahleigenwert $ n=0$. Demnach ist jeder Anzahleigenwert $ n$ ganzzahlig und nicht negativ. Das Spektrum des Anzahloperators $ a^\dagger a$ besteht aus den ganzen, nichtnegativen Zahlen

$\displaystyle a^\dagger a\Lambda_n=n\Lambda_n  ,\quad n=0,1,2,\dots .$ (2.43)

Man wählt im Raum aller Grundzustände eine Orthonormalbasis $ \Lambda_{0,\tau}$ und betrachtet die Vektoren (2.34), die durch $ n$-faches Anwenden des Erzeugungsoperators $ a^\dagger$ aus dem Grundzustand erzeugt werden. Sie stimmen bis auf einen Faktor mit den Eigenzuständen überein, von denen man durch $ n$-faches Absteigen die Grundzustände gewonnen hat, denn

\begin{displaymath}\begin{split}&(a^\dagger)^n a^n \Lambda_n=(a^\dagger)^{n-1}(a...
...dagger a) a^{n-3} \Lambda_n=\cdots= n! \Lambda_n . \end{split}\end{displaymath} (2.44)

Es sind also die Grundzustände genauso entartet wie die Eigenzustände zu jedem anderen Eigenwert des Anzahloperators.




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