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Drehimpulsalgebra

Ein weiteres Beispiel für algebraische Relationen ist die Drehimpulsalgebra

$\displaystyle [L_i,L_j]=\mathrm{i}\hslash\varepsilon_{ijk}L_k  , \quad i,j,k\in\{1,2,3\} .$ (2.45)

Ein Vektorraum mit einem bilinearen Produkt $ [A,B]$, das antisymmetrisch ist und die Jacobi-Identität (2.30) erfüllt, ist eine Lie-Algebra. Es sind also die Drehimpulsoperatoren Basiselemente einer Lie-Algebra, genauer der zur Drehgruppe in drei Dimensionen, der SO$ (3)$, gehörigen Lie-Algebra.

Wenn die hermiteschen Drehimpulsoperatoren $ L_i$ existieren, so hat der Hilbertraum $ \cal H$ eine Orthonormalbasis $ \Lambda_{l,m,\tau}$. $ \tau$ ist ein Entartungsindex. $ 2l$ ist ganzzahlig nichtnegativ, $ l$ kann also Werte $ 0,1/2,1,3/2,\dots$ haben. Die Algebra legt nicht fest, welche dieser erlaubten $ l$-Werte auftreten und wie sie entartet sind. Bei festem $ l$ treten die $ m$-Werte $ -l,-l+1,\dots,+l$ auf. Auf der Orthonormalbasis $ \Lambda_{l,m,\tau}$ können die Drehimpulsoperatoren explizit angegeben werden.

$\displaystyle L_3 \Lambda_{l,m,\tau}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \hslash m \Lambda_{l,m,\tau}$ (2.46)
$\displaystyle (L_1+\mathrm{i}L_2)\Lambda_{l,m,\tau}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \hslash\sqrt{(l-m)(l+m+1)}\Lambda_{l,m+1,\tau}$ (2.47)
$\displaystyle (L_1-\mathrm{i}L_2)\Lambda_{l,m,\tau}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \hslash\sqrt{(l+m)(l-m+1)}\Lambda_{l,m-1,\tau}$ (2.48)

Dies läßt sich folgendermaßen aus der Drehimpulsalgebra ableiten. Man rechnet nach, daß der Gesamtdrehimpuls $ L^2=(L_1^2 +L_2^2+L_3^2)$ mit jedem der Drehimpulsoperatoren $ L_1$, $ L_2$ und $ L_3$ vertauscht. Denn Drehimpulsoperatoren erzeugen Drehungen und lassen Längenquadrate von Vektoren, wie $ x^2+y^2+z^2$ oder $ L^2$, invariant.

$\displaystyle [L_i,L^2]=0$ (2.49)

Die Drehimpulsoperatoren bilden daher (2.24) Drehimpulsmultipletts, das heißt Unterräume $ {\cal H}_l$ von Eigenzuständen von $ L^2$ mit Eigenwert $ \hslash^2 l (l+1)$, auf sich ab. Man kann also gemeinsame Eigenzustände $ \Lambda_{lm}$ zu $ L^2$ und $ L_3$ finden

$\displaystyle L^2 \Lambda_{lm}= \hslash^2 l(l+1) \Lambda_{lm}  ,\quad L_3 \Lambda_{lm}= \hslash m \Lambda_{lm} .$ (2.50)

Der Eigenwert $ \hslash^2\lambda$ von $ L^2$ ist nicht negativ, denn für jeden Eigenzustand gilt $ \hslash^2\lambda \norm {\Lambda}^2 = \langle \Lambda \vert L^2 \Lambda \rangle =
\sum_i\norm {L_i \Lambda}^2$. Im Vorgriff auf spätere Ergebnisse schreiben wir $ \lambda$ als $ \lambda=l(l+1)$ mit nichtnegativem $ l=-\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+\lambda}$.

Aus der Drehimpulsalgebra (2.45) folgt, daß die komplexen Linearkombinationen $ L_+$ und $ L_-=(L_+)^\dagger$

$\displaystyle L_+=L_1+\mathrm{i}L_2  ,\quad L_-=L_1-\mathrm{i}L_2$ (2.51)

durch den Kommutator mit $ L_3$ auf ein Vielfaches von $ L_+$ beziehungsweise $ L_-$ abgebildet werden und daß ihr Kommutator $ 2\hslash L_3$ ergibt

$\displaystyle [L_3,L_+]=+\hslash L_+  ,\quad [L_3,L_-]=-\hslash L_-  , \quad [L_+,L_-]=2\hslash L_3 .$ (2.52)

Daher sind $ L_+\Lambda_{lm}$ und $ L_-\Lambda_{lm}$ entweder Null oder $ L_3 $-Eigenzustände zum Eigenwert $ \hslash(m+1)$ beziehungsweise $ \hslash(m-1)$

$\displaystyle L_3 L_+ \Lambda_{lm}$ $\displaystyle =([L_3, L_+] + L_+ L_3) \Lambda_{lm}=\hslash(1+m)L_+\Lambda_{lm}$ (2.53)
$\displaystyle L_3 L_- \Lambda_{lm}$ $\displaystyle =([L_3, L_-] + L_- L_3) \Lambda_{lm}=\hslash(-1+m)L_-\Lambda_{lm} .$ (2.54)

Da $ L_+$ und $ L_-$ die $ L_3 $-Eigenwerte mit konstanter Schrittweite erhöhen und erniedrigen, heißen sie auch Leiteroperatoren. Hat $ \Lambda_{lm}$ Einheitslänge, so folgt die Norm von $ L_+\Lambda_{lm}$ und $ L_-\Lambda_{lm}$ aus

  $\displaystyle L^2=L_+ L_- + L_3^{ 2}-\hslash L_3=L_- L_+ +L_3^{ 2}+\hslash L_3 ,$ (2.55)
  $\displaystyle \langle L_+\Lambda_{lm}\vert L_+\Lambda_{lm}\rangle = \langle \La...
...gle = \langle \Lambda_{lm}\vert(L^2-L_3^{ 2}-\hslash L_3)\Lambda_{lm}\rangle =$    
  $\displaystyle =\langle \Lambda_{lm}\vert\hslash^2(l(l+1)-m(m+1))\Lambda_{lm}\rangle =\hslash^2(l(l+1)-m(m+1))$    
  $\displaystyle =\hslash^2(l-m)(l+m+1) ,$ (2.56)
  $\displaystyle \langle L_-\Lambda_{lm}\vert L_-\Lambda_{lm}\rangle =\hslash^2(l(l+1)-m(m-1)) =\hslash^2(l+m)(l-m+1) .$ (2.57)

Diese Normen sind nicht negativ (1.5), daher ist bei gegebenem $ l$ die Quantenzahl $ m$ nach unten und oben beschränkt.

Auf den Eigenzustand $ \Lambda_{lm_{\text{max}}}$ mit höchstem $ L_3$-Eigenwert angewendet, muß $ L_+$ verschwinden. Also gilt $ (l-m_{\text{max}})(l+m_{\text{max}}+1)=0$ und $ m_{\text{max}}=l $, denn $ l$ ist nicht negativ. Ebenso muß $ L_-$, auf den Zustand mit niedrigstem $ L_3$-Eigenwert angewendet, verschwinden. Daher folgt $ (l+m_{\text{min}})(l-m_{\text{min}}+1)=0$ und, wegen $ m_{\text{min}}\le l $, $ m_{\text{min}}=-l $,

$\displaystyle m_{\text{max}}=l  ,\quad m_{\text{min}}=-l .$ (2.58)

Da man durch wiederholtes Anwenden von $ L_+$ auf den Zustand mit minimalem $ L_3 $-Eigenwert die $ m$-Quantenzahl in ganzen Schritten erhöht bis man zum Zustand mit $ m_{\text{max}}=l$ gelangt, muß die Differenz $ m_{\text{max}}-m_{\text{min}}=2l$ ganzzahlig und nicht negativ sein. Es ist also $ l\in\{0,\frac{1}{2},1,\dots \} $ ganz- oder halbzahlig. Die Drehimpulsoperatoren wirken in einem $ 2l+1$-dimensionalen Raum, dem Drehimpulsmultiplett mit Gesamtdrehimpuls $ l$, der von Basiszuständen $ \Lambda_{lm}$ mit $ m=-l,-l+1,\dots,+l$ aufgespannt wird.

Für $ l=1/2$ wirken die Drehimpulsoperatoren, die Spin-$ 1/2$-Operatoren $ S_1, S_2,$ und $ S_3$, in einem zweidimensionalen Raum auf den Spinoren des Spin-1/2-Multipletts mit Basiszuständen $ \Lambda_{l,m}$ mit $ l=1/2$ und $ m=\pm 1/2$. In dieser Basis sind die Spinoperatoren wegen (2.46), (2.47) und (2.48) durch das $ \hslash/2$-fache der Pauli-Matrizen $ \sigma_1,\sigma_2$ und $ \sigma_3$ gegeben

$\displaystyle \sigma_1= \begin{pmatrix}0&1 1&0 \end{pmatrix}, \sigma_2= \b...
...{pmatrix}, \sigma_3= \begin{pmatrix}1 & \phantom{-}0 0 & -1 \end{pmatrix},$ (2.59)

$\displaystyle S_i= \frac{\hslash}{2}\sigma_i  ,\quad i\in\{1,2,3\} .$ (2.60)

Die Pauli-Matrizen erfüllen die algebraischen Relationen

$\displaystyle \sigma_{i}\sigma_{j}=\delta_{ij}\mathbbm{1}+\mathrm{i}\varepsilon_{ijk}\sigma_k .$ (2.61)

Drehimpulsoperatoren erzeugen Drehungen von Zuständen. Zeigt die Drehachse in Richtung des Einheitsvektors $ \vec{e}$, dann gehört zu einer Drehung um den Winkel $ \alpha$ der unitäre Operator

$\displaystyle U_{\vec{e},\alpha}=\exp ({-\frac{ \mathrm{i}\alpha}{\hslash}\vec{L}\cdot\vec{e}}) .$ (2.62)

Für Spin-$ 1/2$ läßt sich die zu (2.62) gehörige Matrix leicht angeben, weil die $ \mathrm{e}$-Reihe wegen $ (\mathrm{i}  \vec{\sigma}\cdot\vec{e})^{2}=-\mathbbm{1}$ % latex2html id marker 20770
$ (\ref{sigmaalg})$ wie bei der Euler-Formel $ \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha}=\cos\alpha - \mathrm{i}\sin \alpha$ summiert werden kann.

$\displaystyle U_{\vec{e},\alpha}=\exp (-{{\frac{\mathrm{i}\alpha}{2} \vec{\sigm...
...bbm{1} \cos \alpha/2  - \mathrm{i}  \vec{e}\cdot\vec{\sigma}  \sin \alpha/2$ (2.63)

Eine Drehung um $ 2\pi$ führt einen Spin-$ 1/2$-Spinor in sein negatives über, $ U_{\vec{e},2\pi}= -\mathbbm{1}$.




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