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Messung eines Spin-$ 1/2$-Gemisches

Für Systeme mit zwei Basiszuständen $ \Lambda_1, \Lambda_2$ lassen sich alle Messungen an allen Zuständen mit wenigen Parametern charakterisieren. Prominentes Beispiel für Zweizustandssysteme sind Spin-$ 1/2$-Teilchen, die mit Stern-Gerlach-Apparaten untersucht werden, es kann sich aber auch zum Beispiel um Atome handeln, bei denen aufgrund der experimentellen Anordnung nur zwei der vielen Energiezustände berücksichtigt werden müssen.

In einer Stern-Gerlach-Apparatur wird ein Strahl von Spin-$ 1/2$ Teilchen wie in Abbildung (1.1) in zwei Teilstrahlen ($ n=2$) aufgespalten. Die Intensität des oberen Teilstrahls, bezogen auf die Intensität des einfallenden Strahls, ist die Wahrscheinlichkeit, mit der der Spin in Analyserichtung der Stern-Gerlach-Apparatur nach oben steht. Uns interessiert, wie diese Intensität von der Analyserichtung abhängt.

Die Dichtematrix $ \rho$, die das zu messende Zweizustandssystem charakterisiert, wird in jeder Orthonormalbasis durch eine hermitesche Matrix mit Spur $ 1$ charakterisiert. Hermitesche $ n\times n$-Matrizen bilden einen reellen, $ n^2$-dimensionalen Vektorraum, das heißt in unserem Fall, daß man jede hermitesche $ 2\times 2$-Matrix als reelle Linearkombination von $ 4$ Basismatrizen schreiben kann. Als Basismatrizen bieten sich die $ \mathbbm{1}$-Matrix und die spurfreien, hermiteschen Pauli-Matrizen (2.59) an. Wegen der Normierungsbedingung $ \tr \rho = 1$ ist der Koeffizient bei der $ \mathbbm{1}$-Matrix $ 1/2$ und die allgemeinste Dichtematrix eines Zweizustandssystems hat die Form

$\displaystyle \rho  =  \frac{1}{2} \mathbbm{1} + a \sigma_1 + b \sigma_2 + c...
...athrm{i}b a+\mathrm{i}b & 1/2 - c \end{pmatrix}  a,b,c \in \mathbbm{R} .$ (2.64)

Wir können diese Matrix noch durch Wahl der Basisvektoren des Zweizustandssystems vereinfachen. Wählen wir als Basis die Eigenvektoren von $ \rho$, so wird die zu $ \rho$ gehörige Matrix diagonal. Sie ist also einfacher

$\displaystyle \rho = \begin{pmatrix}1/2+c & 0 0 & 1/2 - c \end{pmatrix} .$ (2.65)

Wählen wir spezieller als ersten Eigenvektor denjenigen, der zum größeren Eigenwert von $ \rho$ gehört, so ist $ c$ nichtnegativ. Zudem ist das Hauptdiagonalelement $ 1/2 - c $ nichtnegativ (1.42). Die Dichtematrix $ \rho$ ist also durch die Basis und den Eigenwert $ \rho_1=1/2+c$, $ 0\le c \le 1/2$, charakterisiert.

An den Meßapparaten, mit denen wir dieses Gemisch vermessen wollen, sind für uns die zwei Meßwerte $ a_1$ und $ a_2$ unwichtig: Der Apparat ändert sich nicht wesentlich, wenn wir eine andere Meßskala unterlegen. Wichtig ist die Wahrscheinlichkeit, mit der der erste Meßwert angezeigt wird. Um sie zu berechnen, brauchen wir gemäß (1.38) den ersten, normierten Eigenzustand $ \Lambda$ des Meßapparates $ A$. Wir schreiben seine Komponenten als Betrag mal Phase. Die Betragsquadrate müssen sich wegen $ \langle \Lambda \vert \Lambda \rangle = 1$ zu Eins summieren, die Beträge sind daher Sinus und Kosinus eines Winkels $ \theta /2$. Eine gemeinsame Phase der Komponenten ist irrelevant2.1, die relative Phase der zwei Komponenten teilen wir hälftig auf.

$\displaystyle \Lambda = \begin{pmatrix}\cos (\theta / 2) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varphi/2} \sin (\theta / 2) \mathrm{e}^{+\mathrm{i}\varphi/2} \end{pmatrix}$ (2.66)

Die Winkel $ \theta$ und $ \varphi$ haben geometrische Bedeutung. Der Zustand $ \Lambda$ (2.66) ist Eigenzustand zum Meßwert $ \hslash/2$ des Spin-$ 1/2$-Operators

$\displaystyle S_{\theta,\varphi} = \frac{\hslash}{2} \begin{pmatrix}\cos \theta...
... =\frac{\hslash}{2} \bigl ( \sigma_x e_x +\sigma_y e_y +\sigma_z e_z\bigr ) ,$ (2.67)

der den Spin in Richtung von $ \vec{e} ({\theta,\varphi})$ mißt.

$\displaystyle \vec{e} ({\theta,\varphi})= \begin{pmatrix}e_x e_y e_z \end{...
...0,79.00){\makebox(0,0)[cc]{$z$}} \end{picture} <tex2html_endfile> ... (2.68)

Der Vektor $ \vec{e} ({\theta,\varphi})$ schließt mit der $ z$-Achse den Winkel $ \theta$ und seine Projektion in die $ x$-$ y$-Ebene schließt mit der $ x$-Achse den Winkel $ \varphi$ ein.

Das Hauptdiagonalelement $ \langle \Lambda \vert \rho \Lambda \rangle$ gibt nach (1.38) die Wahrscheinlichkeit $ w(\uparrow_{\theta,\varphi})$ an, mit der bei Messung des Spins in Richtung $ \vec{e} ({\theta,\varphi})$ der Spin nach oben steht. Mit (2.65) und (2.66) berechnet man

$\displaystyle w(\uparrow_{\theta,\varphi})=1/2 + c \cos \theta .$ (2.69)

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung hängt nicht vom Winkel $ \varphi$ ab. Sie ist invariant unter Drehungen um die $ z$-Achse.

Abbildung 2.1: Strahlaufspaltung bei Spin $ 1/2$
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Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist in Abbildung (2.1) für $ c=0$, $ c=1/2$ und einen mittleren Wert von $ c$ als Funktion von $ \theta$ dargestellt. $ \theta$ ist der Winkel, den die Richtung, in die der Stern-Gerlach-Apparat den Strahl aufspaltet, mit der $ z$-Achse bildet.

Die Wahl der Eigenvektoren von $ \rho$ als Basis für die Spinzustände erweist sich als Wahl der $ z$-Richtung. Die $ z$-Achse ist diejenige Richtung, in der bei Spin-Messung im Gemisch $ \rho$ am meisten Teilchen Spin nach oben haben.

Die Darstellung im Winkelbereich $ 0\le \theta \le 2\pi$ ist redundant. Der Winkel $ \theta$ zur $ z$-Achse durchläuft nur Werte $ 0\le \theta \le \pi$ und bezeichnet für Werte $ \pi <\theta \le 2\pi $ Winkel $ \theta^\prime = 2\pi -\theta$. Für Abbildung (2.1) ist aber der Winkelbereich $ 0\le \theta \le 2\pi$ gewählt worden, um klar zu machen, daß die Meßwerte an einem Spin-$ 1/2$-System nach Drehung um $ 2\pi$ wieder in sich über gehen.

Spin-$ 1/2$-Spinoren (2.66) gehen durch eine Drehung um $ 2\pi$ in ihr negatives über (2.63). Nehmen wir beispielsweise den Eigenzustand $ \Lambda_{\theta,\varphi}=\Lambda_{\frac{\pi}{2},0} $, dessen Spin bei Messung in $ x$-Richtung nach oben steht und drehen ihn um die $ z$-Achse um $ 2\pi$, so wächst der Winkel $ \varphi$ von 0 auf $ 2\pi$ an und $ \Lambda_{\frac{\pi}{2},0}$ geht in sein Negatives über.

$\displaystyle \Lambda_{\frac{\pi}{2},0}= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}1 ...
...1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}-1 -1 \end{pmatrix} =-\Lambda_{\frac{\pi}{2},0}$ (2.70)

Das bedeutet nicht, daß nach der Drehung der Spin in $ x$-Richtung nach unten zeigt $ -\Lambda_{\frac{\pi}{2},0} \ne\Lambda_{\frac{\pi}{2},\pi}$. Das negative Vorzeichen ist nur eine unmeßbare Phase. Es ist der Strahl im Hilbertraum, das heißt der Vektor $ \Psi$ bis auf einen nichtverschwindenden Faktor, der dem physikalischen Zustand entspricht. Dieser Strahl im Hilbertraum geht durch Drehung um $ 2\pi$ in sich über. Das negative Vorzeichen kann man nur als relative Phase messen, wenn man einen Spin-$ 1/2$-Zustand teilt, etwa in einem Doppelspalt, einen Anteil um $ 2\pi$ dreht und die Änderung der Phase relativ zum zweiten Anteil in einem Interferenzbild nachweist.

Für $ c=1/2$ beschreibt $ \rho$ ein Gemisch, bei dem der Spin mit Sicherheit nach oben steht, wenn der Spin in $ z$-Richtung ($ \theta=0$) gemessen wird. Es ist nämlich für $ c=1/2$ die Wahrscheinlichkeit $ w(\uparrow_{\theta=0,\varphi})=1$ und das Gemisch $ \rho$ ein reiner Zustand und zwar der Eigenzustand mit Spin nach oben bei Spin-Messung in $ z$-Richtung.

$\displaystyle \rho_{\vert _{c=1/2}} = \begin{pmatrix}1 & 0 0 & 0 \end{pmatr...
...= \begin{pmatrix}1 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 \end{pmatrix}  .$ (2.71)

Nicht immer ist so einfach zu sehen, ob die Dichtematrix $ \rho = \sum_j p_j \vert\Psi_j\rangle\langle\Psi_j\vert$ vom Rang $ 1$ ist und sich durch einen Term schreiben läßt. In solch einem Fall ist ein $ p_j=1$, die anderen Terme verschwinden und $ \rho=\rho_{\text{rein}}$ ist ein Projektor $ \rho_{\text{rein}}^2=\rho_{\text{rein}}$. Wegen $ \tr \rho = 1$ gilt dann auch

$\displaystyle \tr \rho_{\text{rein}}^2=1 .$ (2.72)

Wertet man die Spur in der Eigenbasis von $ \rho$ aus, so erkennt man, daß diese Gleichung auch hinreichend dafür ist, daß $ \rho$ ein reiner Zustand ist. Es ist nämlich die Spur gleich der Summe über die Eigenwerte von $ \rho$, die zwischen 0 und $ 1$ liegen und sich zu $ 1$ summieren. Daher summieren sich ihre Quadrate dann und nur dann zu $ 1$, wenn ein Eigenwert $ 1$ und die anderen 0 sind.

Der Unterschied zwischen dem Maximalwert $ w_{\text{max}}$ und dem Minimalwert $ w_{\text{min}}$ von $ w(\uparrow_{\theta,\varphi})$ bezogen auf den Maximalwert ist die Polarisation $ P$ des Strahls von Spin-$ 1/2$-Teilchen.

$\displaystyle P=\frac{w_{\text{max}}-w_{\text{min}}}{w_{\text{max}}}$ (2.73)

Für den reinen Zustand ($ c=1/2$) beträgt die Polarisation $ 100$ % . Für $ c=0$ ist der Strahl total unpolarisiert und jede Spin-Messung spaltet unabhängig von der Richtung den Strahl hälftig auf.

Der Unterschied von einem reinen Zustand und einem Gemisch zeigt sich normalerweise erst bei Messen mit unterschiedlichen, in vorliegenden Beispiel gedrehten, Apparaten. Die zugehörigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen hängen bei reinen Zuständen stark vom Messapparat, im vorliegenden Fall von $ \theta$, ab, bei Gemischen verschwindet der Kontrast. Ebenso verschwindet beispielsweise das Interferenzbild von Licht hinter einem Doppelspalt, wenn es so wie Sonnenlicht aus verschiedenen Farben gemischt ist.




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