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Störungstheorie

Wir untersuchen diskrete Eigenwerte und normierbare Eigenzustände einer differenzierbaren Schar $ H(\lambda)$ von hermiteschen Operatoren. Kennt man das Spektrum für zum Beispiel $ \lambda=0$, so kann man mit Reihenentwicklung versuchen, das Spektrum und die Eigenzustände für benachbarte Werte von $ \lambda$ zu nähern.

$\displaystyle \left (H(\lambda)-E_n(\lambda)\right )\Psi_n(\lambda)=0$ (2.74)

Wir unterstellen, daß der Operator $ H(\lambda)$, seine Eigenwerte $ E_n(\lambda)$ und seine Eigenzustände $ \Psi_n(\lambda)$ differenzierbar von $ \lambda$ abhängen.

Alle Ergebnisse der stationären Störungstheorie folgen aus (2.74) durch Differenzieren nach $ \lambda$ mit der folgenden Einschränkung, daß die Eigenwertgleichung den zugehörigen Eigenvektor $ \Psi_n(\lambda)\ne 0$ nicht festlegt, sondern daß auch alle komplexe Vielfache von $ \Psi_n(\lambda)$ die Gleichung lösen. Um die Normierung und die Phase von $ \Psi_n(\lambda)$ festzulegen, verlangen wir

$\displaystyle \langle \Psi_m(\lambda)\vert \Psi_n(\lambda)\rangle$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \delta^m{}_n$ (2.75)
$\displaystyle \langle \Psi_m(\lambda)\vert \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}\Psi_n(\lambda)\rangle _{\vert _{m=n}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0 .$ (2.76)

Die Bedingung (2.75) ist für $ E_n\ne E_m$ erfüllt, weil Eigenvektoren eines hermiteschen Operators zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal sind (2.9). In jedem Unterraum, in dem ein Eigenwert entartet ist, kann eine Orthonormalbasis gewählt und (2.75) erfüllt werden.

Differenzieren von (2.75) für $ n=m$ ergibt, daß $ \langle \Psi_n(\lambda)\vert \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}\Psi_n(\lambda)\rangle =\mathrm{i}f(\lambda)$ imaginär ist. Durch Phasenwahl

$\displaystyle \widetilde{\Psi}_n(\lambda)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}\Psi_n({\lambda}) \quad \alpha(\lambda)= -\int^\lambda\! d\lambda^\prime f(\lambda^\prime)$ (2.77)

kann man die Gleichung (2.76) mit $ \widetilde{\Psi}_n$ erfüllen. Wir unterstellen, daß die Gleichungen (2.75) und (2.76) ohne Redefinition der Phasen schon gelten.

Differenzieren von (2.74) nach $ \lambda$ ergibt

$\displaystyle (\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}H - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}E_n)\Psi_n + (H-E_n)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}\Psi_n = 0 .$ (2.78)

Das Skalarprodukt mit $ \Psi_n$ führt auf $ \langle \Psi_n\vert(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}H - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}E_n)\Psi_n\rangle =0$, also

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}E_n=\langle \Psi_n\vert(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}H) \Psi_n \rangle  .$ (2.79)

Das Skalarprodukt mit $ \Psi_m, m\ne n$, ergibt

$\displaystyle \langle \Psi_m \vert (\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}H)\Psi_...
...-E_n)\langle \Psi_m\vert\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}\Psi_n\rangle =0 .$ (2.80)

Ist ein Eigenwert $ E$ entartet, gilt also $ E_{m_1}=E_{m_2}=\dots = E_{m_k}=E$ für einen Wert von $ \lambda$ für einige orthonormale Zustände $ \Psi_{m_i}$, die einen $ k$-dimensionalen Unterraum aufspannen, so können diese Zustände nur dann differenzierbar vom Störparameter abhängen, wenn der Störoperator $ (\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}H)$ keine Übergänge zwischen diesen Zuständen macht, wenn also gilt

$\displaystyle \langle \Psi_{m_i} \vert (\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}H)\Psi_{m_j}\rangle =0$ für $\displaystyle E_{m_i}=E_{m_j}$ und $\displaystyle m_i\ne m_j .$ (2.81)

Im Unterraum, in dem ein Eigenwert entartet ist, muß also die Orthonormalbasis so gewählt werden, daß der auf den Unterraum eingeschränkte Störoperator $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}H$ diagonal ist.

Durch (2.80), (2.81) und durch (2.76) sind die Skalarprodukte von $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}\Psi_n$ mit allen Basisvektoren $ \Psi_m$ festgelegt. Daher gilt

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}\Psi_n=-\sum_{m : E_m \ne E...
...e \Psi_m\vert(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}H)\Psi_n\rangle }{E_m-E_n} .$ (2.82)

Die Koeffizienten von $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}\Psi_n$ sind quadratsummierbar, wenn der Vektor $ \Psi_n$ differenzierbar von $ \lambda$ abhängt.

$\displaystyle \sum_{m : E_m \ne E_n} \left \vert\frac{\langle \Psi_m\vert(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}H)\Psi_n\rangle }{E_m-E_n}\right \vert^2 < \infty$ (2.83)

Die Gleichungen (2.79) und (2.82) sind ein gekoppeltes Differentialgleichungssystem für $ E_n$ und $ \Psi_n$, aus dem man algebraisch durch wiederholtes Differenzieren alle höheren Ableitungen und dadurch die Potenzreihenentwicklung in $ \lambda$ bestimmen kann.

Hängt der Hamiltonoperator $ H(\lambda)$ linear von $ \lambda$ ab, so ist die zweite Ableitung der Grundzustandsenergie $ E_0(\lambda)$ negativ und sie wird in zweiter Ordnung abgesenkt, die Grundzustandsenergie ist dann eine konkave Funktion des Störparameters.

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2E_0}{\mathrm{d}\lambda^2}= -2\sum_{m : E_m > ...
...m\vert\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}\lambda}\Psi_0\rangle \vert^2}{E_m-E_0}\le 0$ (2.84)

In relativistischen Theorien will man für jeden Wert der Kopplungskonstante einen Poincaré-invarianten Grundzustand haben. Es soll identisch in der Kopplung $ \lambda$ die Gleichung $ H(\lambda) \Psi_0=0$ gelten. Dann kann nicht einfach $ H$ linear von $ \lambda$ abhängen, denn sonst wäre die Grundzustandsenergie eine konkave Funktion von $ \lambda$.

Betrachten wir den Spin-Operator $ S_{\theta,\varphi}$ für $ \theta=\frac{\pi}{2}$ als Funktion von $ \varphi$ und durchlaufen wir mit $ \varphi$ einen Kreis, so geht der Operator wieder in sich über

$\displaystyle S_{\frac{\pi}{2},0}=S_{\frac{\pi}{2},2\pi} .$ (2.85)

Der zugehörige Eigenzustand mit Spin nach oben, dessen Phase und Normierung durch (2.76) und (2.75) festgelegt ist, geht nur bis auf eine Phase, allgemeiner bei Operatoren mit entarteten Zuständen bis auf eine unitäre Transformation, in sich über

$\displaystyle \Psi_{\frac{\pi}{2},0}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi} \Psi_{\frac{\pi}{2},2\pi} .$ (2.86)




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