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Wellenfunktion

Viele Meßapparate, insbesondere die Orts- oder Impulsmessung, haben ein Kontinuum möglicher Meßwerte, die eventuell gemeinsam mit diskreten Meßwerten, wir nennen sie im folgenden Spin, gemessen werden können. In der Eigenbasis der zur Messung gehörigen, miteinander kommutierenden Operatoren wird $ \Psi$ durch die Wahrscheinlichkeitsamplitude $ \psi_i(x)$ angegeben für kontinuierliche, reelle Meßwerte $ x$ und für diskrete Meßwerte $ a_i  ,  i\in \mathrm{I}$, die durch eine Indexmenge $ \mathrm{I}$ abgezählt werden. Der Zustand $ \Psi$ ist durch eine Abbildung der Menge der gemeinsam meßbaren, reellen Meßwerte $ \mathbbm{D}\subset (\mathrm{I}\times\mathbbm{R}^n)$ in die komplexen Zahlen $ \mathbbm{C}$ gegeben.

$\displaystyle \Psi: (i,x) \mapsto \psi_i(x)$ (3.1)

Gehört $ x$ zur Ortsmessung, so heißen die Funktionen $ \psi_i(x)$ die Ortswellenfunktionen.

Das Betragsquadrat $ \vert\psi_i(x)\vert^2$ ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte. Das heißt: Die Wahrscheinlichkeit, daß der Meßwert $ x$ in einem Bereich $ \Delta$ liegt und daß die Spinmessung den $ i$-ten Meßwert $ a_i$ ergibt, ist

$\displaystyle w(i,\Delta,\Psi)=\int_\Delta \mathrm{d}^nx \vert\psi_i(x)\vert^2 .$ (3.2)

Für Meßintervalle $ \Delta$, die den Wert $ x$ enthalten und so klein sind, daß die Wahrscheinlichkeitsdichte $ \vert\psi_i(x)\vert^2$ in ihnen fast konstant ist, können wir das Integral nähern. Bezeichnen wir die Größe des Meßintervalls mit $ \mathrm{d}^n x$, so erhalten wir

$\displaystyle w(i,\Delta,\Psi)\approx\vert\psi_i(x)\vert^2 \mathrm{d}^n x .$ (3.3)

Die Wahrscheinlichkeit, daß der Meßwert bei $ x$ in einem kleinen Bereich liegt und daß der Spin den $ i$-ten Meßwert $ a_i$ hat, ist das Betragsquadrat der Wellenfunktion $ \vert\psi_i(x)\vert^2$ multipliziert mit der Größe $ \mathrm{d}^n x$ des Bereichs.

Da Wahrscheinlichkeiten dimensionslos sind, haben Wellenfunktionen die Dimension

$\displaystyle \mathrm{dim}(\psi_i(x))=\bigl (\mathrm{dim}(\mathrm{d}^n x)\bigr )^{-1/2} .$ (3.4)

Umfaßt das Meßintervall $ \Delta$ die Menge aller möglichen kontinuierlichen Meßwerte und summiert man über alle möglichen Spinwerte, so impliziert die Summenregel für Wahrscheinlichkeiten, daß $ \Psi$ normiert ist.

$\displaystyle \sum_i\int\! \mathrm{d}^n x \vert\psi_i(x)\vert^2 =1$ (3.5)

Hieraus liest man das Skalarprodukt ab.

$\displaystyle \langle \Phi \vert \Psi \rangle = \sum_i\int\! d^nx  \phi_i^*(x)\psi_i(x)$ (3.6)

Genau genommen wird nur über alle mögliche Meßwerte $ (i,x)\in\mathbbm{D}\subset \mathbbm{I}\times\mathbbm{R}^n$ integriert. Wir können diese Einschränkung leicht berücksichtigen, indem wir uns auf den Hilbertraum der quadratintegrablen Funktionen beschränken, die außerhalb von $ \mathbbm{D}$ verschwinden.

Angewendet auf Wellenfunktionen ergeben die zu den kontinuierlichen Meßwerten gehörigen Operatoren $ X^l  , l\in\{1,2,\dots,n\}$, die Wahrscheinlichkeitsamplitude multipliziert mit dem Meßwert

$\displaystyle X^l:\Psi\mapsto X^l\Psi\quad X^l\Psi: (i,x) \mapsto x^l\psi_i(x) .$ (3.7)

Funktionen $ f(X)$ der Operatoren $ X^l$, zum Beispiel $ \mathrm{e}^{\mathrm{i}k \cdot X}$, wirken durch Multiplikation mit $ f(x)$

$\displaystyle f(X):\Psi\mapsto f(X)\Psi\quad f(X)\Psi: (i,x) \mapsto f(x)\psi_i(x) .$ (3.8)

Die Operatoren $ X^l$ sind nur auf Zuständen $ \Psi$ definiert, deren zugehörige Wellenfunktionen $ \psi_i(x)$ nach Multiplikation mit $ x^l$ quadratintegrabel bleibt. Die Operatoren $ \mathrm{e}^{\mathrm{i}k \cdot X}$ sind für alle $ k\in\mathbbm{R}^n$ im ganzen Hilbertraum definiert.




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