Nächste Seite: Translationen und Impuls Aufwärts: kontinuierliches Spektrum Vorherige Seite: Wellenfunktion   Inhalt   Index

Transformationen des Ortes

Der Begriff Ortswellenfunktion überträgt sich zwanglos auf Mannigfaltigkeiten. Gleichung (3.3) gibt die Wahrscheinlichkeit an, das Teilchen mit $ i$-tem Spinmeßwert $ a_i$ im Bereich der Punkte zu finden, die zum Koordinatenintervall $ \Delta$ gehören. Dieser Sachverhalt ist unabhängig vom verwendeten Koordinatensystem, wenn unter allgemeinen Koordinatentransformationen der Orte $ x^\prime(x)$ die Wellenfunktion wie eine Halbdichte transformiert

$\displaystyle \psi_i^\prime(x^\prime)=\bigl \vert \det \frac{\partial x}{\partial x^\prime}\bigr \vert^{\frac{1}{2}}\psi_i(x(x^\prime)) .$ (3.9)

Dies definiert die zu invertierbaren Selbstabbildungen $ T: x\mapsto x^\prime=T(x)$ der Mannigfaltigkeit gehörigen unitären Transformationen $ U(T)$ von Zuständen. Bezeichnen wir mit $ \mathrm{d}T$ die Jacobi-Matrix der partiellen Ableitungen

$\displaystyle (\mathrm{d}T)^k{}_l=\frac{\partial x^{\prime  k}}{\partial x^l}$ (3.10)

so schreiben sie sich mit $ \Psi^\prime=U(T)\Psi$ in (3.9) als

$\displaystyle U(T)\Psi=\vert\det \mathrm{d}T\vert^{-\frac{1}{2}}\Psi\circ T^{-1}$ (3.11)

Die Operatoren $ U(T)$ sind linear und unitär. Linearität in $ \Psi$ ist offensichtlich. Unitarität besagt, daß Skalarprodukte invariant bleiben. Sie ergibt sich aus der Definition von $ U(T)$ und dem Integralsubstitutionssatz

  $\displaystyle \langle U\Phi \vert U\Psi \rangle \!= \sum_i\int\! \mathrm{d}^n x^\prime  (U\Phi)_i^*(x^\prime) (U\Psi)_i(x^\prime)$    
  $\displaystyle = \sum_i\int\! \mathrm{d}^nx^\prime \vert\det \frac{\partial x}{...
...\! \mathrm{d}^n x  \phi_i^*(x) \psi_i(x)= \langle \Phi \vert \Psi \rangle  .$ (3.12)

Invertierbare Selbstabbildungen $ T$ der Mannigfaltigkeit bilden eine Gruppe mit Hintereinanderausführen der Transformationen als Gruppenmultiplikation und der identischen Abbildung als Einselement. Die unitären Transformationen (3.11) sind eine Darstellung dieser Gruppe im Hilbertraum, das heißt, sie sind lineare Transformationen des Hilbertraumes und genügen dem Multiplikationsgesetz

$\displaystyle U(T_2)U(T_1)=U(T_2\circ T_1)  ,$ (3.13)

das hintereinander ausgeführte Transformationen verknüpft.

Verwenden wir die Kettenregel

$\displaystyle (\mathrm{d}T_2\cdot \mathrm{d}T_1)^k{}_l= \frac{\partial x^{\prim...
...\partial x^{\prime\prime  k}}{\partial x^l}=(\mathrm{d}(T_2\circ T_1))^{k}{}_l$ (3.14)

so folgt die Darstellungseigenschaft aus

$\displaystyle U(T_2)U(T_1)\Psi$ $\displaystyle =\vert\det \mathrm{d}T_2\vert^{-\frac{1}{2}}(U(T_1)\Psi)\circ T_2^{-1}$    
  $\displaystyle =\vert\det \mathrm{d}T_2\vert^{-\frac{1}{2}}\vert\det \mathrm{d}T_1\vert^{-\frac{1}{2}}\Psi\circ T_1^{-1}\circ T_2^{-1}$    
  $\displaystyle =\vert\det \mathrm{d}T_2\cdot \mathrm{d}T_1\vert^{-\frac{1}{2}}\Psi\circ (T_2\circ T_1)^{-1}$    
  $\displaystyle =\vert\det \mathrm{d}(T_2\circ T_1)\vert^{-\frac{1}{2}}\Psi\circ (T_2\circ T_1)^{-1}=U(T_2\circ T_1)\Psi .$ (3.15)

Wir betrachten eine einparametrige, kontinuierliche Gruppe $ T_\alpha$ von Transformationen, zum Beispiel Drehungen oder Translationen, die so parametrisiert sei, daß $ T_{\alpha+\beta}=T_\alpha T_\beta$ gilt. Dann gehört $ \alpha=0$ zur identischen Abbildung $ T_0={\text{id}}$ und es gilt $ (T_\alpha)^{-1}=T_{-\alpha}$. Variiert $ \alpha$, so durchläuft $ T_\alpha x=x^\prime(\alpha,x)$ für jedes festgehaltene $ x$ als Funktion von $ \alpha$ eine Kurve mit Tangentialvektoren

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}(T_\alpha x)^m}{\mathrm{d}\alpha}=\xi^m(T_\alpha(x)) .$ (3.16)

Die Tangentialvektoren an diese Kurven definieren ein Vektorfeld, das wegen $ T_{\alpha+\varepsilon}(x)-T_{\alpha}(x)=T_{\alpha}\circ (T_{\varepsilon}(x)-T_0(x))=
(T_{\varepsilon}-T_0)\circ T_{\alpha}(x)$ von $ \alpha$ und $ x$ nur über $ T_\alpha(x)$ abhängt. Bei $ x$ kann es demnach durch Differenzieren für $ \alpha=0$ bestimmt werden oder durch Differenzieren und anschließende Transformation mit $ T_{-\alpha}$.

$\displaystyle \xi^m(x)=\frac{\mathrm{d}(T_\alpha x)^m}{\mathrm{d}\alpha}_{\vert...
...rm{d}(T_\alpha x)^m}{\mathrm{d}\alpha}_{\vert _{{T_{-\alpha}}\circ T_\alpha x}}$ (3.17)

Das Vektorfeld $ \xi^m(x)$ heißt infinitesimale Transformation des Ortes. Die Lösung $ x(\alpha)$ des zugehöriges Differentialgleichungssystem

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}x^m}{\mathrm{d}\alpha}=\xi^m(x(\alpha))$ (3.18)

definiert $ T_\alpha$ als Abbildung der Anfangswerte $ x(0)$ auf $ x(\alpha)$.

$\displaystyle T_\alpha(x(0))=x(\alpha)$ (3.19)

Differenzieren wir das Transformationsgesetz (3.11) für eine einparametrige, kontinuierliche Gruppe $ T_\alpha$ bei $ \alpha=0$ oder entwickeln wir $ x^{\prime  m}=x^m+\alpha \xi^m$ und $ U(T_\alpha)=e^{-\frac{\mathrm{i}}{\hslash} \alpha N}$ nach $ \alpha$, so erhalten wir die infinitesimale Form

$\displaystyle -\frac{\mathrm{i}}{\hslash} (N \Psi)_i(x)= -\frac{1}{2}(\partial_{x^m}\xi^m) \psi_i(x) -\xi^m\partial_m \psi_i(x) .$ (3.20)

Dabei bezeichnet $ N=\mathrm{i}\hslash U^{-1}\partial_\alpha U$ den hermiteschen Operator, der die unitäre Transformation $ U(T_\alpha)$ erzeugt

$\displaystyle U(T_\alpha)=\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hslash} \alpha N} .$ (3.21)

Er ist hermitesch, wie sich aus der Unitaritätsbedingung $ U^\dagger=U^{-1}$ ergibt. Die Ableitung von $ \vert\det \mathrm{d}T_\alpha\vert^{-\frac{1}{2}}$ steuert in (3.20) den Term $ -\frac{1}{2}(\partial_{x^m}\xi^m)$ bei, denn die Determinante $ \det \mathrm{d}T_\alpha$ hat die Entwicklung (D.5)

$\displaystyle \det \frac{\partial x^{\prime  m}}{\partial x^n}=1+\alpha \partial_{x^m}\xi^m + O(\alpha^2) .$ (3.22)

Auf Mannigfaltigkeiten büßen die Komponenten $ X^k$ des Ortsoperators ihre Bedeutung ein, denn Koordinaten $ x$ dienen nur der Bezeichnung der Orte, ihr Wert ist irrelevant. Auf dem Kreis zum Beispiel existiert kein hermitescher Ortsoperator: spinlose Zustände auf einem Kreis mit Umfang $ l$ sind Strahlen im Hilbertraum der $ l$-periodische Ortswellenfunktionen $ \psi(x)=\psi(x+l)$, die im Intervall $ 0\le x\le l$ quadratintegrabel sind. Es ist aber $ x\psi(x)$ nicht periodisch. $ X$ ist kein Operator im Hilbertraum der Wellenfunktionen auf dem Kreis.

Daß $ X$ auf dem Kreis nicht existiert, ist die Auflösung des Rätsels, warum für einen normierten Impulseigenzustand auf dem Kreis $ \psi_n(x)=\frac{1}{\sqrt{l}}\mathrm{e}^{{\mathrm{i}}\frac{2\pi x}{l}n}$ mit Impuls $ p=\frac{2\pi\hslash}{l}n$ der Erwartungswert von $ [X,P]\overset{?}{=}\mathrm{i}\hslash$ je nach Rechnung einmal $ {\mathrm{i}}{\hslash}$ und ein andermal 0 ist.

$\displaystyle {\mathrm{i}}{\hslash} \langle \Psi\vert\Psi \rangle \overset{?}{=...
...e =\langle \Psi\vert(XP-PX)\Psi\rangle =\langle \Psi\vert(Xp-pX)\Psi\rangle = 0$    

Untersucht man dieselben Rechenschritte statt auf dem Kreis auf der reellen Achse, so existieren zwar die hermiteschen Operatoren $ X$ und $ P$, nicht aber ein normierter Eigenzustand zu $ P$ oder $ X$.

Ortsmessungen auf dem Kreis messen Winkel und gehören zu einem unitären Operator

$\displaystyle U:\Psi\mapsto U\Psi  ,\quad U\Psi: x \mapsto \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi }{l}x}\psi(x)  ,$ (3.23)

aus dessen Eigenwerten $ \mathrm{e}^{\mathrm{i}\lambda}$ sich der Ort $ x=\frac{\lambda l}{2\pi}$ bis auf Vielfache von $ l$ ablesen läßt.

Zu einem periodischen Potential $ V(x+l)=V(x)$ gehört der Operator $ V\Psi (x)=V(x)\psi(x)$. Das Potential läßt sich als Fourierreihe $ V(x)=\sum_n c_n \mathrm{e}^{\mathrm{i}n \frac{2\pi }{l}x}$ und der Operator daher als Reihe in $ U$ darstellen

$\displaystyle V=\sum_n c_n U^n .$ (3.24)




Nächste Seite: Translationen und Impuls Aufwärts: kontinuierliches Spektrum Vorherige Seite: Wellenfunktion   Inhalt   Index
FAQ Homepage