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Translationen und Impuls

Die Forderung, daß Translationen $ T_a: x\mapsto T_a x=x+a$ definiert werden können, und daß keine Translation außer $ T_0=$id einen Punkt fest läßt, legt die möglichen Meßwerte von Ortsmessungen fest $ \mathbbm{D}=\mathrm{I}\times\mathrm{R}^n$, wobei $ n$ die Dimension des Raumes ist.

Translationen bilden gemäß (3.11) auf natürliche Art Zustände $ \Psi$ unitär auf verschobene Zustände $ U(T_a)\Psi$ ab. Es ist $ \det( \mathrm{d}T_a) = 1$ und die transformierten Wellenfunktionen haben an der Stelle $ T_ax=x+a$ denselben Wert wie $ \psi_i$ am Urbild $ x$.

$\displaystyle (U(T_a)\Psi)_i(x)=\psi_i(x-a)$ (3.25)

Die infinitesimale Form (3.20) dieser Transformation erhalten wir, wenn wir die einparametrigen Transformationen $ T_{\alpha\cdot a}$ bei $ \alpha=0$ differenzieren. Das erzeugende Vektorfeld $ \xi^k=a^k$ ist $ x$-unabhängig und daher divergenzfrei $ \partial_{x^k}\xi^k=0$. Die rechte Seite von (3.20) ist also einfach $ -a^k \partial_k \psi_i(x)$. Demnach ist der Operator $ N$, der die unitäre Transformation $ U(T_\alpha)$ erzeugt, linear in $ a^k$: $ N=P_k a^k$. Dabei sind die erzeugenden Operatoren $ P_k$, die zu Translationen in Koordinatenrichtung $ x^k$ gehören, definitionsgemäß die zu den Koordinaten gehörigen Impulse $ P_k$. Koeffizientenvergleich bei den Parametern $ a^k$ in (3.20) ergibt, daß der Impulsoperator die Ortswellenfunktion differenziert.

$\displaystyle (P_k \Psi)_i(x)=-\mathrm{i}\hslash\partial_{x^k}\psi_i(x)$ (3.26)

Die Operatoren $ P_k$ erzeugen die unitäre Transformation $ U(T_a)$ (3.25), die zu endlichen Translationen gehört.

$\displaystyle U(T_a)=\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hslash} P\cdot a}$ (3.27)

Der Impulsoperator ist auf Vektoren im Hilbertraum definiert, die zu differenzierbaren Wellenfunktionen mit quadratintegrabler Ableitung gehören. Die Operatoren $ U(T_a)=\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hslash} P\cdot a}$ sind für alle $ a\in \mathbbm{R}^n$ im ganzen Hilbertraum definiert, wenn $ \mathbbm{D}$ Translationen zuläßt.

Auf Vektoren, die mehrfaches Anwenden von Ortsoperator und Impulsoperator gestatten, vertauschen wegen $ x^kx^l=x^lx^k$ und $ \partial_{x^k}\partial_{x^l}=\partial_{x^l}\partial_{x^k}$ die Komponenten des Ortsoperators und ebenso die Komponenten des Impulsoperators. Orts- und Impulsoperator erfüllen wegen

$\displaystyle ((X^kP_l-P_lX^k)\Psi)_i(x) = -\mathrm{i}\hslash x^k\partial_{x^l}...
...m{i}\hslash\partial_{x^l}(x^k\psi_i(x))=(\mathrm{i}\hslash\delta^k_l \Psi)_i(x)$    

die Heisenbergschen Vertauschungsrelationen

$\displaystyle {}[X^k,X^l]=0  , [P_k,P_l]=0  , [X^k , P_l ] = \mathrm{i}\hslash\delta_l^k .$ (3.28)

Daher können die Ortsunschärfe $ \Delta X^k$ und die Impulsunschärfe $ \Delta P_k$ in derselben Richtung nicht durch Präparation des Zustandes gleichzeitig klein gemacht werden, denn aus der allgemeinen Unschärferelation (2.19) und der Heisenbergschen Vertauschungsrelation folgt die Heisenbergsche Unschärferelation

$\displaystyle \Delta X^k \Delta P_l \ge \frac{\hslash}{2}\delta^k_l  .$ (3.29)

Es kann durchaus in zwei Richtungen durch eine Lochblende der Ort und senkrecht dazu in der dritten Richtung der Impuls scharf gemacht werden. So präpariert man Teilchenstrahlen. Engt man die Lochblende ein, so macht sich der unscharfe Impuls in diesen zwei Richtungen als Beugung an der Lochblende bemerkbar.




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