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Drehungen und Bahndrehimpuls

Drehungen sind lineare Transformationen des Orts $ D:  x\mapsto Dx $, die alle Längenquadrate invariant lassen.

$\displaystyle \sum_k(D^k{}_lx^l)^2=D^k{}_lD^k{}_mx^lx^m=x^kx^k \forall x\Leftrightarrow D^k{}_lD^k{}_m=\delta_{lm}$ (3.30)

Die zugehörigen Matrizen $ D$ erfüllen also die Orthogonalitätsrelation

$\displaystyle D^{\mathrm{T}}=D^{-1} .$ (3.31)

Sie bilden die Gruppe O$ (n)$ der orthogonalen Transformationen des $ \mathbbm{R}^n$. Hierbei und im folgenden gestatten wir uns den unter Physikern verbreiteten, bequemen Sprachgebrauch und unterscheiden nicht ausdrücklich zwischen den Transformationen und den zugehörigen Matrizen.

Aus (3.31) folgt $ \det D=(\det D)^{-1}$, also $ \det D = \pm 1$. Orthogonale Transformationen, deren Determinante den speziellen Wert $ 1$ hat, bilden die Untergruppe SO$ (n)$ der speziellen orthogonalen Transformationen.

Jede einparametrige Untergruppe von Drehungen ist eine Schar von Matrizen $ D_\alpha=\mathrm{e}^{\alpha \omega}$ mit erzeugender Matrix $ \omega$, die wegen $ D_{\alpha}^{-1}=\mathrm{e}^{-\alpha \omega}=D_\alpha^{\text{T}}=\mathrm{e}^{\alpha \omega^{\text{T}}}$ (3.31) antisymmetrisch ist.

$\displaystyle (\omega)^k{}_l=-(\omega)^l{}_k$ (3.32)

In $ n$=$ 3$ Raumdimensionen ist die Matrix $ \omega$ daher eine Linearkombination von drei antisymmetrischen Basismatrizen $ \tau_m$, deren Matrixelemente wir mit dem $ \varepsilon$-Tensor schreiben

$\displaystyle \omega^k{}_l=\varphi^m\varepsilon_{kml}  ,\quad (\tau_m)^k{}_l=\varepsilon_{kml} .$ (3.33)

Ist $ \vec{\varphi}=\vec{e}$ ein Einheitsvektor, so ist $ \alpha$ der Drehwinkel, denn $ D_\alpha=\mathrm{e}^{\alpha \omega}$ hat folgende Eigenschaften: $ \omega$ wirkt auf jeden Vektor $ \vec{v}$ wie ein Kreuzprodukt $ \omega \vec{v} = \vec{e}\times \vec{v}$. Daher verschwindet $ \omega \vec{e}$ und $ \vec{e}$ markiert die Drehachse $ D_\alpha \vec{e}=\vec{e}$. Ein zu $ \vec{e}$ senkrechter Einheitsvektor $ \vec{n}_1$ wird durch $ \omega$ auf den auf beiden senkrecht stehenden Einheitsvektor $ \vec{n}_2$ abgebildet.

$\displaystyle \omega \vec{n}_1 = \vec{n}_2  ,\quad \omega \vec{n}_2 = -\vec{n}_1 .$ (3.34)

Wendet man die Reihe $ \mathrm{e}^{\alpha\omega}$ auf $ \vec{n}_1$ und $ \vec{n}_2$ an und trennt man die geraden und ungeraden Potenzen von $ \omega$, so erhält man die Kosinus- und Sinusreihe

$\displaystyle \mathrm{e}^{\alpha\omega} \vec{n}_1 = \vec{n}_1\cos\alpha + \vec{...
...hrm{e}^{\alpha\omega} \vec{n}_2 = -\vec{n}_1\sin\alpha + \vec{n}_2\cos\alpha .$ (3.35)

Insbesondere führt eine Drehung um $ 2\pi$ zur Ausgangslage zurück.

Das zur Transformation $ x^\prime=D_\alpha x$ gehörige Vektorfeld $ \xi(x)=\partial_\alpha D_\alpha x_{\vert _{\alpha=0}}$ ist $ \xi^k=\omega^k{}_lx^l=(\vec{\varphi}\times\vec{x})^k$. Das Vektorfeld ist divergenzfrei $ \partial_{x^k}\xi^k=\delta^l_{k}\omega^k{}_l=0$ und die infinitesimale Transformation (3.20) der Wellenfunktion ist

$\displaystyle -\frac{\mathrm{i}}{\hslash} (N \Psi)_i(x) = -\omega^k{}_lx^l\partial_{x^k}\psi(x) =-\varphi^m\varepsilon_{kml}x^l\partial_{x^k}\psi(x) .$ (3.36)

Die rechte Seite ist linear in $ \varphi^m$, daher ist der Operator $ N$ linear in $ \varphi^m$ und von der Form $ N=L_m \varphi^m$. Definitionsgemäß sind die hier auftretenden Operatoren $ L_m$ die Komponenten des Bahndrehimpulses: sie erzeugen Drehungen um die Koordinatenachsen, $ \vec{L}\cdot\vec{e}$ erzeugt Drehungen um $ \vec{e}$. Der Koeffizientenvergleich von $ \varphi^m$ ergibt

$\displaystyle (L_m \Psi)_i(x)=-\mathrm{i}\hslash \varepsilon_{mkl}x^k\partial_{x^l}\psi_i(x)  ,\quad L_m=\varepsilon_{mkl}X^kP_l .$ (3.37)

Mit der Heisenbergalgebra (3.28) folgt, daß die Komponenten des Bahndrehimpulses die Drehimpulsalgebra (2.45) erfüllen.

\begin{displaymath}\begin{split}{}[L_i,L_j]&=\varepsilon_{ikl}\varepsilon_{jmn}[...
...^mP_n &=\mathrm{i}\hslash \varepsilon_{ijk}L_k . \end{split}\end{displaymath} (3.38)

Die endliche, unitäre Transformation, die zu einer Drehung um den Winkel $ \alpha$ um die Drehachse $ \vec{e}$ gehört, ist

$\displaystyle (U(\vec{e},\alpha)\Psi)_i(x)=(\exp ({-\frac{ \mathrm{i}\alpha}{\hslash}\vec{L}\cdot\vec{e}})\Psi)_i(x) =\psi_i(D_{\vec{e},\alpha}{}^{-1}(x)) .$ (3.39)

Drehungen um $ \alpha=2\pi$ bilden Orte auf sich ab, $ D_{\vec{e},2\pi}{}^{-1}x=x$. Für Bahndrehimpulse (3.37) gilt daher einschränkend $ U(\vec{e},2\pi)=\exp ({-\frac{ 2\pi \mathrm{i}}{\hslash}\vec{L}\cdot\vec{e}})=\mathbbm{1}$. Angewendet auf $ L_3$-Eigenzustände heißt dies für Drehungen um die $ z$-Achse $ \exp (-{ 2\pi \mathrm{i}m})=1$. Daher können die $ m$-Quantenzahlen des Bahndrehimpulses und in der Folge auch seine $ l$-Quantenzahlen nur ganzzahlige Werte haben.




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