Nächste Seite: Mehrteilchenzustände Aufwärts: kontinuierliches Spektrum Vorherige Seite: Drehungen und Bahndrehimpuls   Inhalt   Index

Kontinuierliche Basis

Führen wir geeignet verallgemeinerte Basiselemente $ \Lambda_{i,x}$ ein, so können wir Zustände $ \Psi$ mit den Ortswellenfunktionen als Entwicklungskoeffizienten schreiben.

$\displaystyle \Psi = \sum_i\int\! \mathrm{d}^nx  \Lambda_{i,x}  \psi_i(x)$ (3.40)

Das Skalarprodukt (3.60) mit einem ebenso zerlegten Vektor $ \Phi$ legt die Skalarprodukte der Basiselemente fest.
$\displaystyle \sum_{i,j}\int\! \mathrm{d}^nx\mathrm{d}^nx^\prime  \phi_i^*(x)  \langle \Lambda_{i,x} \vert \Lambda_{j,x^\prime} \rangle   \psi_j(x^\prime)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{i}\int\! \mathrm{d}^nx  \phi_i^*(x)  \psi_i(x) \quad \forall \Phi,\Psi$  
$\displaystyle \Leftrightarrow\quad
\langle \Lambda_{i,x} \vert \Lambda_{j,x^\prime} \rangle$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \delta^n(x-x^\prime)\delta^i_j$ (3.41)

Man liest hieraus ab, daß $ \Lambda_{i,x}$ keine endliche Länge hat und kein Vektor im Hilbertraum ist, sondern daß $ \Lambda_{i,x}$ eine Distribution ist. Erst das Integral (3.40) mit den quadratintegrablen Wellenfunktionen $ \psi_i(x)$ ergibt einen Vektor im Hilbertraum. Verallgemeinerte Basiselemente, deren Skalarprodukte wie in (3.41) durch $ \delta$-Funktionen gegeben sind, nennt man kontinuumsnormiert.3.1

Die Ortswellenfunktionen $ \psi_i(x)$ sind wegen (3.41) die Skalarprodukte von $ \Psi$ mit der kontinuumsnormierten Ortsbasis

$\displaystyle \psi_i(x)=\langle \Lambda_{i,x} \vert \Psi \rangle  .$ (3.42)

Insbesondere sind die Ortswellenfunktionen der Basiselemente $ \Lambda_{j,x^\prime}$ Deltafunktionen $ \delta^n(x-x^\prime)\delta^i_j$. Die Basiselemente sind verallgemeinerte Eigenvektoren des Ortsoperators

$\displaystyle X^k \Lambda_{j,x^\prime}=x^{\prime k}\Lambda_{j,x^\prime} .$ (3.43)

Setzen wir in (3.40) ein, so ergibt sich in Bracket-Schreibweise

$\displaystyle \vert\Psi\rangle = \sum_i\int\!\mathrm{d}^n x  \vert\Lambda_{i,x}\rangle \langle \Lambda_{i,x}\vert\Psi\rangle  .$ (3.44)

Es läßt sich also analog zu (1.22) mit den Basiselementen $ \Lambda_{i,x}$ die Eins kontinuierlich zerlegen.

$\displaystyle \mathbbm{1}=\sum_i \int\!\mathrm{d}^nx  \vert\Lambda_{i,x}\rangle \langle \Lambda_{i,x}\vert$ (3.45)

Die verallgemeinerten Eigenzustände $ \Gamma_{j,p}$ des Impulsoperators

$\displaystyle P_k\Gamma_{j,p} = p_k \Gamma_{j,p}$ (3.46)

zu den Eigenwerten $ p_k$, $ p \in\mathbbm{R}^n$, bilden wie die Ortszustände $ \Lambda_{i,k}$ eine kontinuierliche Basis. Ihre Ortswellenfunktionen $ (\Gamma_{j,p})_i (x)=\langle \Lambda_{i,x} \vert \Gamma_{j,p} \rangle $ sind Lösungen der Eigenwertgleichung

$\displaystyle -\mathrm{i}\hslash\partial_{x^k} (\Gamma_{j,p})_i(x) = p_k (\Gamma_{j,p})_i(x)$ (3.47)

und daher, nach geeigneter Wahl von Normierungsfaktoren $ c^i_j$, durch

$\displaystyle \langle \Lambda_{i,x}\vert\Gamma_{j,p}\rangle = (\Gamma_{j,p})_i(...
...qrt{(2\pi\hslash)^n}}\delta^i_j \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{\hslash}p\cdot x}$ (3.48)

gegeben. Wie man mit

$\displaystyle \int\!\frac{\mathrm{d}^n x}{(2\pi)^n} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x \cdot (y - y^\prime)}=\delta^n(y-y^\prime)$ (3.49)

sieht, sind die Basiselemente $ \Gamma_{j,p}$ kontinuumsnormiert

$\displaystyle \langle \Gamma_{i,p}\vert\Gamma_{j,p^\prime}\rangle = \delta^n(p - p^\prime)\delta^i_j$ (3.50)

und bilden eine kontinuierliche Basis, mit der man die Eins zerlegen kann.

$\displaystyle \mathbbm{1}=\sum_i\int\! \mathrm{d}^n p  \vert\Gamma_{i,p}\rangle \langle \Gamma_{i,p} \vert$ (3.51)

Analog zur Ortswellenfunktion definiert man die Impulswellenfunktion3.2eines Zustandes $ \Psi$ als Skalarprodukt mit der kontinuierlichen Basis von Impulseigenzuständen

$\displaystyle \tilde{\psi}_j(p) =\langle \Gamma_{j,p} \vert \Psi \rangle = \sum...
...mma_{p,j} \vert\Lambda_{i,x}\rangle \langle \Lambda_{i,x}\vert \Psi \rangle  .$ (3.52)

Die Impulswellenfunktion ist also die Fouriertransformierte der Ortswellenfunktion und, bis auf ein Vorzeichen, umgekehrt

$\displaystyle \tilde{\psi}_i(p)=\int\! \mathrm{d}^nx  \frac{1}{\sqrt{(2\pi\hsl...
...\hslash)^n}}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{\hslash}p\cdot x}\tilde{\psi}_i(p) .$ (3.53)

Wir können also einen Zustand $ \Psi$ statt durch die Ortswellenfunktionen $ \psi_i(x)$ durch die Impulswellenfunktionen $ \tilde{\psi}_i(p)$ darstellen und daraus, wenn wir wollen, die Ortswellenfunktion rekonstruieren.

Zu $ P_k\Psi$ gehört wegen $ \langle \Gamma_{j,p}\vert P_k\Psi\rangle = p_k \langle \Gamma_{j,p} \vert \Psi\rangle $ die Impulswellenfunktion $ p_k\widetilde{\psi}_j(p)$. Zu $ X^k\Psi$ gehören die Impulswellenfunktionen $ \mathrm{i}\hslash\partial_{p_k}\widetilde{\psi}_j(p)$

$\displaystyle \langle \Gamma_{j,p} \vert X^k \Psi \rangle$ $\displaystyle = \sum_i\int\! \mathrm{d}^nx  \langle \Gamma_{j,p} \vert\Lambda_{ix}\rangle \langle \Lambda_{i,x}\vert X^k\Psi \rangle$    
  $\displaystyle =\int\! \frac{\mathrm{d}^nx}{\sqrt{(2\pi\hslash)^n}} \mathrm{e}^...
...p\cdot x}x^k\psi_j(x) =\mathrm{i}\hslash\partial_{p_k}\widetilde{\psi}_j(p)  ,$    
$\displaystyle {(\smash[b]{P_k}\Psi)\sptilde}_i(p)$ $\displaystyle =p_k\widetilde{\psi}_i(p)  ,\quad {(X^k\Psi)\sptilde}_i(p)=\mathrm{i}\hslash\partial_{p_k}\widetilde{\psi}_i(p) .$ (3.54)

Das Betragsquadrat der Impulswellenfunktion ist die Wahrscheinlichkeitsdichte für Impulsmessungen. Die Wahrscheinlichkeit, den Impuls im Intervall $ \Delta_p$ zu finden und den $ i$-ten, diskreten Meßwert $ a_i$ zu messen, ist

$\displaystyle w(i,\Delta_p,\Psi)=\int_{\Delta_p} \! \mathrm{d}^np  \vert\tilde{\psi}_i(p)\vert^2 .$ (3.55)

Der Bahndrehimpuls $ \vec{L}=\vec{X}\times\vec{P}$ dreht die Argumente der Impulswellenfunktion $ \tilde{\psi}_i({p})$ genauso wie die Ortsargumente der Ortswellenfunktion (3.39).

$\displaystyle {(L_m\Psi)\sptilde}_i(p)$ $\displaystyle =-\mathrm{i}\hslash \varepsilon_{mkl} p^k\frac{\partial}{\partial {p^l}}\tilde{\psi}_i(p)$ (3.56)
$\displaystyle {(U(\vec{e},\alpha)\Psi)\sptilde}_i(p)$ $\displaystyle = {(\exp ({-\smash[b]{\frac{ \mathrm{i}\alpha}{\hslash}}\vec{L}\cdot\vec{e}})\Psi)\sptilde}_i(p) =\tilde{\psi}_i(D_{\vec{e},\alpha}{}^{-1}(p)) .$ (3.57)




Nächste Seite: Mehrteilchenzustände Aufwärts: kontinuierliches Spektrum Vorherige Seite: Drehungen und Bahndrehimpuls   Inhalt   Index
FAQ Homepage