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Mehrteilchenzustände

Die Berücksichtigung mehrerer kontinuierlicher Meßwerte, wie etwa die sechs Ortskoordinaten eines Zweiteilchensystems, und die Berücksichtigung zusätzlicher diskreter Meßwerte, wie zum Beispiel der Spins der beiden Teilchen, ist offensichtlich. Solch ein Zweiteilchenzustand $ \Psi$ ordnet sechs kontinuierlichen Meßwerten und zwei diskreten Quantenzahlen eine Wahrscheinlichkeitsamplitude zu

$\displaystyle \Psi: (i,\vec{x},j,\vec{y})\mapsto \psi_{ij}(\vec{x},\vec{y})$ (3.58)

und wird durch Wellenfunktionen $ \psi_{ij}(\vec{x},\vec{y})$ angegeben. Dabei ist

$\displaystyle w(i,\vec{x},\mathrm{d}^{3}x,j,\vec{y},\mathrm{d}^{3}y,\Psi)\approx \vert\psi_{ij}(\vec{x},\vec{y})\vert^2 \mathrm{d}^{3}x \mathrm{d}^{3}y$ (3.59)

die Wahrscheinlichkeit dafür, das erste Teilchen mit Spin $ i$ bei $ \vec{x}$ im Bereich $ \mathrm{d}^{3}x$ und das zweite Teilchen mit Spin $ j$ bei $ \vec{y}$ im Bereich $ \mathrm{d}^{3}y$ zu messen. Aus der Wahrscheinlichkeitsformel liest man das Skalarprodukt ab

$\displaystyle \langle \Phi \vert \Psi \rangle = \sum_{ij}\int\!\mathrm{d}^{3}x \mathrm{d}^{3}y  \phi^*_{ij}(\vec{x},\vec{y})\psi_{ij}(\vec{x},\vec{y}) .$ (3.60)

Es handelt sich um identische Teilchen, wenn für alle Zweiteilchenzustände die Wahrscheinlichkeit, das erste Teilchen bei $ \vec{x}$ mit Spin $ i$ und das zweite Teilchen bei $ \vec{y}$ mit Spin $ j$ zu messen, mit derjenigen übereinstimmt, das erste Teilchen bei $ \vec{y}$ mit Spin $ j$ und das zweite Teilchen bei $ \vec{x}$ mit Spin $ i$ zu messen, wenn also für alle Zustände der zwei identischen Teilchen die Wellenfunktion $ \psi_{ji}(\vec{y},\vec{x})$ mit $ \psi_{ij}(\vec{x},\vec{y})$ bis auf eine Phase übereinstimmt. Ist diese Phase $ 1$, heißen die Teilchen Bosonen, ist sie $ -1$ heißen sie Fermionen. Genauer gesagt sind bei $ n$-Teilchenzuständen identischer Bosonen die Wellenfunktionen invariant unter jeder Permutation $ \pi:(1,\dots,n)\mapsto (\pi(1),\dots ,\pi(n))$.

$\displaystyle \left( \psi_{\text {Boson}}\right )_{i_1,\dots ,i_n}(x_1,\dots,x_...
...t {Boson}}\right )_{i_{\pi(1)},\dots ,i_{\pi(n)}} (x_{\pi(1)},\dots,x_{\pi(n)})$ (3.61)

Unter ungeraden Permutationen $ \pi$, sign$ (\pi)=-1$, gehen $ n$-Teilchen-Wellenfunktionen identischer Fermionen in ihr Negatives über.

$\displaystyle \left( \psi_{\text {Fermion}}\right )_{i_1,\dots ,i_n}(x_1,\dots,...
...{Fermion}}\right )_{i_{\pi(1)},\dots ,i_{\pi(n)}} (x_{\pi(1)},\dots,x_{\pi(n)})$ (3.62)

Als Konsequenz unterliegen Fermionen dem Pauli-Verbot, daß Mehrfermionenzustände nicht ein Produkt gleicher Einteilchenzustände enthalten können oder, umgangssprachlich, daß nicht zwei Fermionen in demselben Zustand sein können. Es kann aber zum Beispiel die Grundzustandswellenfunktion der zwei Elektronen im Heliumatom ein Produkt derselben Ortswellenfunktion $ \chi$ sein, weil sie in der Spinquantenzahl antisymmetrisch ist

$\displaystyle \psi_{ij}(\vec{x},\vec{y})=\varepsilon_{ij}\chi(\vec{x})\chi(\vec...
... \varepsilon_{\uparrow\downarrow}=1, \quad i,j\in \{ \uparrow, \downarrow \} .$ (3.63)

Slater-Determinanten sind total antisymmetrische $ n$-Teilchenzustände. Sie entstehen aus einem Produkt (5.1) von orthonormierten Einteilchenzuständen $ \chi_i$, das antisymmetrisiert wird.

$\displaystyle \Psi_n$ $\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{n!}} \sum_{\pi }$sign$\displaystyle (\pi)\chi_{\pi(1)}\otimes \chi_{\pi(2)} \otimes \dots \otimes \chi_{\pi(n)}$    
  $\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{n!}} \varepsilon_{i_1 i_2 \dots i_n}\chi_{i_1}\otimes \chi_{i_2}\otimes \dots \otimes \chi_{i_n}$ (3.64)

Das Pauli-Verbot und die Tatsache, daß Elektronen Spin $ 1/2$ haben, machen die Grundzüge des Periodensystem der Elemente verständlich, wenn man das Wasserstoffatom verstanden hat, und sind grundlegend für die Chemie. Ebenso wird die Festkörperphysik vom Pauli-Verbot beherrscht zum Beispiel mit der Folge, daß im Grundzustand Elektronen alle Einteilchenzustände bis zur Fermikante besetzen.

Fermionen haben halbzahligen Spin, Bosonen haben ganzzahligen Spin. Dies ist zunächst ein experimenteller Befund. Als Spin-Statistik-Theorem folgt dieser Sachverhalt aus den Grundannahmen relativistischer Quantenmechanik.

Bei Zuständen identischer Teilchen existieren keine Operatoren, die individuelle Quantenzahlen, etwa den Impuls $ p_1$ des ersten Teilchens messen. Denn die Eigenzustände $ \Lambda$ der Meßoperatoren unterliegen ebenfalls der Bose- oder Fermisymmetrie und die Operatoren bewahren die Bose- oder Fermisymmetrie der Zustände. Die individuellen Quantenzahlen $ p_1$ und $ p_2$ kann man nur bis auf Teilchenpermutation aus den Eigenwerten der symmetrischen Operatoren $ P_1+P_2$ und $ P_1{}^2+P_2{}^2$ rekonstruieren.




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